数学中值域怎么求

Ⅰ 数学中，什么是值域，值域该如何算

值域：数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。
计算方法：
1、化归法
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y²+3y+2-12=y²+3y-10=(y+5)(y-2)=(x²+x+5)(x²+x-2)=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6 注意：换元后勿忘还原；利用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
2、图像法
根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。
3、配方法

利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。
4、单调性法

利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。
5、反函数法

若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。
6、换元法
包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围 。
7、判别式法
判别式法即利用二次函数的判别式求值域。
8、复合函数法
设复合函数为f[g(x)，]g(x) 为内层函数, 为了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然后把g(x) 看成一个整体，相当于f(x)的自变量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域，然后根据 f(x)函数的性质求出其值域。
9、三角代换法
利用基本的三角关系式，进行简化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求证：ac+bd小于或等于1. 直接计算麻烦 用三角代换法比较简单：
做法：设a=sin x ,b=cos x ,c=sin y , d=cos y,则 ac+bd= sin x*sin y + cos x * cos y =cos (y-x),因为我们知道cos (y-x)小于等于1，所以不等式成立。；
10、不等式法
基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。
11、分离常数法
把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。

Ⅱ 函数的值域该怎么求

函数的值域怎么求
我来答

LV.6 2018-11-01
一、配方法。将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。（画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。）2二、常数分离这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。3三、逆求法对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。4四、换元法对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解5/9五、单调性可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。6六、基本不等式根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。7七、数形结合可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域8八、求导法求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可的到值域了。9九、判别式法将函数转变成 ****=0 的形式，再用解方程的方法

Ⅲ 求函数值域的方法总结

在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、 认真观察其题型特征, 然后再选择恰当的方法，下面为大家总结了求函数值域的方法，希望可以帮助到同学们。

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的'一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

四．判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3

当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。

五．最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为－2x+1(x≤1)

y=3(-1<x≤2)

2x-1(x>2)

它的图象如图所示。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域

七．单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=√2x+1（t≥0）,则

x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,

KC=√(x+2)2+1。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

以上九种是函数求值域最常用的方法,下面介绍三种特殊情况下求值域的几种方法.

十．比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。

函数的值域为｛z|z≥1｝.

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多项式的除法

例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

十二．不等式法

例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],

由对数函数的定义知x/(1-x)＞0

1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函数的值域（0，1）。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一

Ⅳ 数学函数求值域的12种好方法

图象法通过观察函数的图象.不等式法例12求函数Y=3x/,可得到函数y的值域.最值法对于闭区间[a，求得函数的值域，代入目标函数一.反函数法当函数的反函数存在时。十二;(3x+1)的值域：根据绝对值的意义,b]上的连续函数y=f(x);3)的值域。例5已知(2x2-x-3)/。九，结合函数的解析式.单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.利用多项式的除法例11求函数y=(3x+2)/.f(b)作比较，进而求出值域。例1求函数y=3+√(2-3x)的值域;(x+2)的值域：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。二,可以利用配方法求函数值域例3，赋予几何图形，作出其图象;(x+1)的值域。八。十.比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，运用数形结合的方法得到函数的值域。三,可求出y=f(x)在区间[a,y∈R,并与边界值f(a)。点拨，则其反函数的定义域就是原函数的值域;(x2-x+1)的值域,求函数z=x2+y2的值域。例2求函数y=(x+1)/。五。六,可用判别式法求函数的值域。例9求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,且满足x+y=1,求出函数的最值。四;(3x2+x+1)≤0。例8求函数y=x-3+√2x+1的值域,b]内的极值，进而求出原函数的值域、性质的观察.换元法以新变量代替函数式中的某些量。例4求函数y=(2x2-2x+3)/，且3x-4y-5=0，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，数形结合,求函数z=xy+3x的值域。例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域.构造法根据函数的结构特征.观察法通过对函数定义域，去掉符号后转化为分段函数。十一.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数。七，可将条件转化为比例式。例7求函数y=4x-√1-3x(x≤1/。例10已知x

Ⅳ 高中数学值域怎么求

一、观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，
故3＋√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为[3，＋∞]。

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，

（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

二、反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2：求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y＝(10∧x＋10∧-x)/(10∧x－10∧-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y＞1｝）

Ⅵ 数学值域怎么求

求函数值域关键是要掌握常用的几种方法,
然后才能触类旁通。

1. 用反函数法
适用类型:分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型.
（由反函数的定义域来确定原函数的值域）

解： 易知原函数定义域为：

易求得原函数的反函数表达式为： x = （3y+5）/(5y-3)
由x>-1且 x≠3/5
可得以下不等式组：
（3y+5）/(5y-3) > -1
（3y+5）/(5y-3) ≠3/5
解得
y>3/5 , 或 y< -1/4
所以
原函数值域为 y∈(-∞,-1/4)U(3/5,+∞)

2.用数形结合
y = |x+5|+|x-6|
上式可以看成是数轴上点P(x) 到定点A(-5)， B（6）之间的距离之和。
由图易知，当点P在线段AB上时
y = |x+5|+|x-6| =|AB| = 11
当点P在AB的延长线或反向延长线上时，
y = |x+5|+|x-6| > |AB| = 11

故所求函数值域为 y∈[11,+∞)

3.用直接观察与数形结合（和换元）

令 t = -x^2 +x+2

则 t = -(x-1/2)^2 +9/4 且 t≥0
画出函数t(x)的图形，根据抛物线的性质有
0≤t≤9/4
因 y = 4-√t 为单调函数
则原函数值域为 y∈[5/2, 4]

4. 用换元法
令 t =√(1-2x) ≥0 , 则 x = 1/2 -1/2t^2
原函数转化为

y = 1/2 -1/2t^2 + t = -1/2(t-1)^2 +1
由图形易知
y≤1
故函数值域为｛y|y≤1｝.

Ⅶ 高一数学，值域怎么求，要过程

值域问题是高中函数的一个精华问题。
有很多问题都是围绕着他展开的。比如说恒成立问题，值域反求定义与问题（即反函数求定义域）……等等。下面就说一下最基本的集中求值域问题的类型。
首先要着重说的是：求值域，必先看定义域。所有函数都是如此。
1.单调性法
利用函数的单调性。当一个函数单调性很容易判断时，可用定义域来求解。
e.g.1
y=x-√（1-2x).求值域。
解：1-2x≥0,得x≤1/2.
观察得，函数在指定区间内为增函数，所以y有最大值，即1/2-√（1-1）=1/2.
所以值域为（-∞，1/2]。
2.判别式法。适用于y是x的2次函数的情况。且x∈r.
y=(x^2-x)/(x^2-x+1).求值域。
解：将原式变形得
y*(x^2-x+1)=x^2-x.整理得
（y-1）x^2+(1-y)x+y=0.
因为y=1时，推出y=0.即x∈φ
所以y≠1.
x∈r，即此式恒有根，所以δ=（1-y)^2-4(y-1)*y≥0,
解得-1/3≤y≤1.
又因为y≠1,所以
y∈[-1/3,1).
注：此法可用的原因：化成x的式子后发现，x∈r对该式都成立，也就是说有这样的x,一定可以为根，要y来配合。此式由无穷个根，即如果你给了合适的y后，在式子中总能找到x解。那么这个y就是为了保证让式子一定有解才会满足x∈r成立，即判别式大于等于0.
3.分离常数法。适用于分母分子有相同的形式的部分，然后用观察法（单调性法）
y=(2-sinx)/(2+sinx).求值域。
变形为y=(-2-sinx+4)/(2+sinx)=-1+4/(2+sinx)
因为sinx∈[-1,1],所以2+sinx∈[1,3].所以4/（2+sinx)∈[4/3,4].
所以y∈[1/3,3]
4.反表示法。把未知项（含x项）用y来表示，要知道未知项的范围。
y=3^x/(3^x+1).求值域。
解：变形得3^x(1-y)=y.讨论
当y=1,即3^x/(3^x+1)=1.不成立（因为此式小于1）所以y≠1,
则有3^x=y/(1-y).这就是说3^x与y/(1-y）是等同的。那么他们的范围也就等同。也就是说y/(1-y)＞0.解得y∈(0,1).
5.几何意义法。题干的形式会让我们产生联想。如想到斜率、两点间距离公式等。
①。y=√(x^2+1)+√[(2-x)^2+4].求值域。
先看定义域，全体实数。那么不用管了。
变形得y=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0-2)^2].
y的几何意义是（x,0)点到点（0，1）的距离与（x.0)点到点（2，2）的距离的和。画出图像，观察知，当（x,0)点在直线y-2=3/2(x-2)上时，有最小值。
解直线与x轴交点，得x=2/3.对应的原函数值y=√(4+9)=√13.(勾股定理）
②。求y=sinx/(2-x)的值域。
解：变形得y=-(0-sinx)/(2-cosx).y的几何意义是（2，0）到（cosx,sinx)的斜率的相反数。画图，观察计算得k的范围是[-√3/3,√3/3].
所以y的范围是-k,为[-√3/3,√3/3].
如果你是新生的话，可能有些东西你还没接触到，理解的会差一些。没关系，不出几个月，你就都能学到了。
除了上面我介绍的几种方法外，还有什么换元法，上下同除法，平方去根号法，导数法等等。但最常用的还是上面那几个。

Ⅷ 高中数学如何求函数的值域

值域是函数值所在的集合。一旦函数的定义域和对应法则确定了，函数的值域也就随之确定。下面介绍几种常用的求函数值域的方法:
1.配方法
2.区间划分法
3.不等式比较法
4.函数变换法
5.换元法

Ⅸ 函数的值域的求法

求
函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a
0)的定义域为r，值域为r；
反比例函数
的定义域为{x|x
0}，值域为{y|y
0}；
二次函数
的定义域为r，
当a>0时，值域为{
}；当a<0时，值域为{
}.
例1．求下列函数的值域
①
y=3x+2(-1
x
1)
②
③
④
解：①∵-1
x
1，∴-3
3x
3，
∴-1
3x+2
5，即-1
y
5，∴值域是[-1，5]
②∵
∴
即函数
的值域是
{
y|
y
2}
③
④当x>0，∴
=
，
当x<0时，
=－
∴值域是
[2，+
).（此法也称为配方法）
函数
的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2
求下列函数的最大值、最小值与值域：
①
；
解：∵
，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域r，
∴x=2时，ymin=-3
,无最大值；函数的值域是{y|y
-3
}.
②∵顶点横坐标2
[3,4]，
当x=3时，y=
-2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，
=-2，
=1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2
[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上，
=-2，
=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2
[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,
x=5时，y=6,
∴在[0,1]上，
=-3，
=6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数
,
⑴若定义域为r时，
①当a>0时，则当
时，其最小值
；
②当a<0时，则当
时，其最大值
.
⑵若定义域为x
[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若
[a,b],则
是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较
的大小决定函数的最大（小）值.
②若
[a,b],则[a,b]是在
的单调区间内，只需比较
的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数
的值域
方法一：去分母得
(y-1)
+(y+5)x-6y-6=0
①
当
y11时
∵x?r
∴△=(y+5)
+4(y-1)×6(y+1)
0
由此得
(5y+1)
0
检验
时
（代入①求根）
∵2
?
定义域
{
x|
x12且
x13}
∴
再检验
y=1
代入①求得
x=2
∴y11
综上所述，函数
的值域为
{
y|
y11且
y1
}
方法二：把已知函数化为函数
(x12)
∵
x=2时
即
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数
的值域
解：设
则
t
0
x=1-
代入得
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式：
，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y
3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+
].
如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

Ⅹ 高中数学必修求值域方法

函数作为高中数学的重点知识之一，常常成为不少同学困扰的焦点。下面是我为大家整理的关于高中数学必修求值域 方法 ，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习!

1高中数学必修方法

函数作为高中数学的重点知识之一，常常成为不少同学困扰的焦点。那么高中数学函数的值域该怎么求呢?下面分享几点高中数学必修一求值域方法。

在高中函数定义中，是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大(小)值的几何意义——函数图像的最高(低)点的纵坐标即为该函数的最大(小)值。

2三角函数

多以选择题和填空题形式考查基础知识，多以解答题的形式考查三角函数的图像和性质。在高考中，多以解答题的形式和三角函数的概念、简单的三角恒等变换、解三角形联合考查三角函数的最值、单调区间、对称性等，属于难题。

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的 热点 问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。三角函数求最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。三角函数求最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

3函数值域

换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_√cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。

单调性法：首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p>0)的单调性：增区间为(-∞,-√p)的左开右闭区间和(√p,+∞)的左闭右开区间，减区间为(-√p,0)和(0,√p)

反函数法：若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a≠0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。

注重数形结合的思想，解析几何，很显然，解析是数字的，公式的，而几何是图形的，图形一目了然，给人直观的感受，而公式抽象，能准确的描述图像的特征，结合之后一定会对解题有很大的帮助。并且解析几何想比较其他题型的优点在于，它可以带回试题中检验，如果算出答案后有时间，建议同学们花一两分钟检验一下你的答案，这样也有利于你对算出来的答案更有信心，提高准确率。

4一次函数

象限:y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图像是是一条经过原点的直线)

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当b>0时，直线必通过一、三象限;

当b<0时，直线必通过二、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。

画法:一次函数的图象为直线,由于两点确定一条直线,所以只要过直线上的两个点作直线就是该一次函数的图象了。

答:作出一次函数y=2x-6的图象。

当X=0时,y=2 _ 0-6=-6;

当Y=0时,0=2x-6,x=3。

所以,过点(0,-6)和(3,0)作直线即为y=2x-6的直线。

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