㈠ 例如:在Excel里sum是求和,sin是求正弦值,那么请问还有什么字母代表什么呢
Excel函数大全
数据库和清单管理函数
DAVERAGE 返回选定数据库项的平均值
DCOUNT 计算数据库中包含数字的单元格的个数
DCOUNTA 计算数据库中非空单元格的个数
DGET 从数据库中提取满足指定条件的单个记录
DMAX 返回选定数据库项中的最大值
DMIN 返回选定数据库项中的最小值
DPRODUCT 乘以特定字段（此字段中的记录为数据库中满足指定条件的记录）中的值
DSTDEV 根据数据库中选定项的示例估算标准偏差
DSTDEVP 根据数据库中选定项的样本总体计算标准偏差
DSUM 对数据库中满足条件的记录的字段列中的数字求和
DVAR 根据数据库中选定项的示例估算方差
DVARP 根据数据库中选定项的样本总体计算方差
GETPIVOTDATA 返回存储在数据透视表中的数据
日期和时间函数
DATE 返回特定时间的系列数
DATEDIF 计算两个日期之间的年、月、日数
DATEVALUE 将文本格式的日期转换为系列数
DAY 将系列数转换为月份中的日
DAYS360 按每年 360 天计算两个日期之间的天数
EDATE 返回在开始日期之前或之后指定月数的某个日期的系列数
EOMONTH 返回指定月份数之前或之后某月的最后一天的系列数
HOUR 将系列数转换为小时
MINUTE 将系列数转换为分钟
MONTH 将系列数转换为月
NETWORKDAYS 返回两个日期之间的完整工作日数
NOW 返回当前日期和时间的系列数
SECOND 将系列数转换为秒
TIME 返回特定时间的系列数
TIMEVALUE 将文本格式的时间转换为系列数
TODAY 返回当天日期的系列数
WEEKDAY 将系列数转换为星期
WORKDAY 返回指定工作日数之前或之后某日期的系列数
YEAR 将系列数转换为年
YEARFRAC 返回代表 start_date（开始日期）和 end_date（结束日期）之间天数的以年为单位的分数
DDE 和外部函数
CALL 调用动态链接库 (DLL) 或代码源中的过程
REGISTER.ID 返回已注册的指定 DLL 或代码源的注册 ID
SQL.REQUEST 连接外部数据源，并从工作表中运行查询，然后将结果作为数组返回，而无需进行宏编程。
有关 CALL 和 REGISTER 函数的其他信息
工程函数
BESSELI 返回经过修改的贝塞尔函数 In(x)
BESSELJ 返回贝塞尔函数 Jn(x)
BESSELK 返回经过修改的贝塞尔函数 Kn(x)
BESSELY 返回贝塞尔函数 Yn(x)
xlfctBIN2DEC BIN2DEC 将二进制数转换为十进制数
BIN2HEX 将二进制数转换为十六进制数
BIN2OCT 将二进制数转换为八进制数
COMPLEX 将实系数和虚系数转换为复数
CONVERT 将一种度量单位制中的数字转换为另一种度量单位制
DEC2BIN 将十进制数转换为二进制数
DEC2HEX 将十进制数转换为十六进制数
DEC2OCT 将十进制数转换为八进制数
DELTA 检测两个值是否相等
ERF 返回误差函数
ERFC 返回余误差函数
GESTEP 检测数字是否大于某个阈值
HEX2BIN 将十六进制数转换为二进制数
HEX2DEC 将十六进制数转换为十进制数
HEX2OCT 将十六进制数转换为八进制数
IMABS 返回复数的绝对值（模）
IMAGINARY 返回复数的虚系数
IMARGUMENT 返回参数 theta，一个以弧度表示的角
IMCONJUGATE 返回复数的共轭复数
IMCOS 返回复数的余弦
IMDIV 返回两个复数的商
IMEXP 返回复数的指数
IMLN 返回复数的自然对数
IMLOG10 返回复数的常用对数
IMLOG2 返回复数的以 2 为底数的对数
IMPOWER 返回复数的整数幂
IMPRODUCT 返回两个复数的乘积
IMREAL 返回复数的实系数
IMSIN 返回复数的正弦
IMSQRT 返回复数的平方根
IMSUB 返回两个复数的差
IMSUM 返回两个复数的和
OCT2BIN 将八进制数转换为二进制数
OCT2DEC 将八进制数转换为十进制数
OCT2HEX 将八进制数转换为十六进制数
财务函数
ACCRINT 返回定期付息有价证券的应计利息
ACCRINTM 返回到期一次性付息有价证券的应计利息
AMORDEGRC 返回每个会计期间的折旧值
AMORLINC 返回每个会计期间的折旧值
COUPDAYBS 返回当前付息期内截止到成交日的天数
COUPDAYS 返回成交日所在的付息期的天数
COUPDAYSNC 返回从成交日到下一付息日之间的天数
COUPNCD 返回成交日过后的下一付息日的日期
COUPNUM 返回成交日和到期日之间的利息应付次数
COUPPCD 返回成交日之前的上一付息日的日期
CUMIPMT 返回两个期间之间累计偿还的利息数额
CUMPRINC 返回两个期间之间累计偿还的本金数额
DB 使用固定余额递减法，返回一笔资产在指定期间内的折旧值
DDB 使用双倍余额递减法或其他指定方法，返回一笔资产在指定期间内的折旧值
DISC 返回有价证券的贴现率
DOLLARDE 将按分数表示的价格转换为按小数表示的价格
DOLLARFR 将按小数表示的价格转换为按分数表示的价格
DURATION 返回定期付息有价证券的修正期限
EFFECT 返回实际年利率
FV 返回投资的未来值
FVSCHEDULE 基于一系列复利返回本金的未来值
INTRATE 返回一次性付息证券的利率
IPMT 返回给定期间内投资的利息偿还额
IRR 返回一组现金流的内部收益率
ISPMT 计算在投资的特定期间内支付的利息
MDURATION 返回假设面值 $100 的有价证券的 Macauley 修正期限
MIRR 返回正负现金流使用不同利率的修正内部收益率
NOMINAL 返回名义年利率
NPER 返回投资的期数
NPV 基于一系列现金流和固定的各期贴现率，返回一项投资的净现值
ODDFPRICE 返回首期付息日不固定的面值 $100 的有价证券的价格
ODDFYIELD 返回首期付息日不固定的有价证券的收益率
ODDLPRICE 返回末期付息日不固定的面值 $100 的有价证券的价格
ODDLYIELD 返回末期付息日不固定的有价证券的收益率
PMT 返回投资或贷款的每期付款额
PPMT 返回投资在某一给定期次内的本金偿还额
PRICE 返回定期付息的面值 $100 的有价证券的价格
PRICEDISC 返回折价发行的面值 $100 的有价证券的价格
PRICEMAT 返回到期付息的面值 $100 的有价证券的价格
PV 返回投资的现值
RATE 返回年金的各期利率
RECEIVED 返回一次性付息的有价证券到期收回的金额
SLN 返回一项资产每期的直线折旧费
SYD 返回某项资产按年限总和折旧法计算的某期的折旧值
TBILLEQ 返返回国库券的债券等效收益率
TBILLPRICE 返回面值 $100 的国库券的价格
TBILLYIELD 返回国库券的收益率
VDB 使用递减余额法，返回指定期间内或某一时间段内的资产折旧额
XIRR 返回一组不定期发生的现金流的内部收益率
XNPV 返回一组不定期发生的现金流的净现值
YIELD 返回定期付息有价证券的收益率
YIELDDISC 返回折价发行的有价证券的年收益率，例如：国库券
YIELDMAT 返回到期付息的有价证券的年收益率
信息函数
CELL 返回有关单元格格式、位置或内容的信息
COUNTBLANK 计算区域中空单元格的个数
ERROR.TYPE 返回对应于错误类型的数字
INFO 返回有关当前操作环境的信息
ISBLANK 如果值为空，则返回 TRUE。
ISERR 如果值为除 #N/A 以外的错误值，则返回 TRUE。
ISERROR 如果值为任何错误值，则返回 TRUE。
ISEVEN 如果数为偶数，则返回 TRUE。
ISLOGICAL 如果值为逻辑值，则返回 TRUE。
ISNA 如果值为 #N/A 错误值，则返回 TRUE。
ISNONTEXT 如果值不是文本，则返回 TRUE。
ISNUMBER 如果值为数字，则返回 TRUE。
ISODD 如果数字为奇数，则返回 TRUE。
ISREF 如果值为引用，则返回 TRUE。
ISTEXT 如果值为文本，则返回 TRUE。
N 返回转换为数字的值
NA 返回错误值 #N/A
xlfctTYPE TYPE 返回表示值的数据类型的数字
逻辑函数
AND 如果所有参数为 TRUE，则返回 TRUE
FALSE 返回逻辑值 FALSE
IF 指定要执行的逻辑检测
NOT 反转参数的逻辑值
OR 如果任何参数为 TRUE，则返回 TRUE
TRUE 返回逻辑值 TRUE
查找和引用函数
ADDRESS 以文本形式返回对工作表中单个单元格的引用
AREAS 返回引用中的区域数
CHOOSE 从值的列表中选择一个值
COLUMN 返回引用的列号
COLUMNS 返回引用中的列数
HLOOKUP 查找数组的顶行并返回指示单元格的值
HYPERLINK 创建快捷方式或跳转，打开存储在网络服务器、企业内部网或 Internet 上的文档
INDEX 使用索引从引用或数组中选择值
INDIRECT 返回由文本值表示的引用
LOOKUP 在向量或数组中查找值
MATCH 在引用或数组中查找值
OFFSET 从给定引用中返回引用偏移量
ROW 返回引用的行号
ROWS 返回引用中的行数
TRANSPOSE 返回数组的转置
VLOOKUP 查找数组的第一列并移过行，然后返回单元格的值
数学和三角函数
ABS 返回数的绝对值
ACOS 返回数的反余弦
ACOSH 返回数的反双曲余弦值
ASIN 返回数的反正弦
ASINH 返回数的反双曲正弦值
ATAN 返回数的反正切
ATAN2 从 X 和 Y 坐标返回反正切
ATANH 返回参数的反双曲正切值
CEILING 对数字取整为最接近的整数或最接近的多个有效数字
COMBIN 返回给定数目对象的组合数
COS 返回数的余弦
COSH 返回数的双曲线余弦
COUNTIF 计算符合给定条件的区域中的非空单元格数
DEGREES 将弧度转换为度
EVEN 将数向上取整至最接近的偶数整数
EXP 返回 e 的指定数乘幂
FACT 返回数的阶乘
FACTDOUBLE 返回参数 Number 的半阶乘
FLOOR 将参数 Number 沿绝对值减小的方向取整
GCD 返回最大公约数
INT 将数向下取整至最接近的整数
LCM 返回最小公倍数
LN 返回数的自然对数
LOG 返回数的指定底数的对数
LOG10 返回以 10 为底的对数
MDETERM 返回数组的矩阵行列式
MINVERSE 返回数组的反矩阵
MMULT 返回两个数组的矩阵乘积
MOD 返回两数相除的余数
MROUND 返回参数按指定基数取整后的数值
MULTINOMIAL 返回一组数的多项式
ODD 将数取整至最接近的奇数整数
PI 返回 Pi 值
POWER 返回数的乘幂结果
PRODUCT 将所有以参数形式给出的数字相乘
QUOTIENT 返回商的整数部分
RADIANS 将度转换为弧度
RAND 返回 0 和 1 之间的随机数
RANDBETWEEN 返回指定数之间的随机数
ROMAN 将阿拉伯数字转换为文本形式的罗马数字
ROUND 将数取整至指定数
ROUNDDOWN 将数向下靠近 0 值取整
ROUNDUP 将数向上远离 0 值取整
SERIESSUM 返回基于公式的幂级数的和
SIGN 返回数的正负号
SIN 返回给定角度的正弦
SINH 返回数的双曲正弦值
SQRT 返回正平方根
SQRTPI 返回某数与 Pi 的乘积的平方根
SUBTOTAL 返回清单或数据库中的分类汇总
SUM 添加参数
SUMIF 按给定条件添加指定单元格
SUMPRODUCT 返回相对应的数组部分的乘积和
SUMSQ 返回参数的平方和
SUMX2MY2 返回两个数组中相对应值的平方差之和
SUMX2PY2 返回两个数组中相对应值的平方和之和
SUMXMY2 返回两个数组中相对应值差的平方之和
TAN 返回数的正切
TANH 返回数的双曲正切值
TRUNC 将数截尾为整数
统计函数
AVEDEV 返回一组数据与其均值的绝对偏差的平均值
AVERAGE 返回参数的平均值
AVERAGEA 返回参数的平均值，包括数字、文本和逻辑值
BETADIST 返回 Beta 分布累积函数的函数值
BETAINV 返回 Beta 分布累积函数的反函数值
BINOMDIST 返回单独项二项式分布概率
CHIDIST 返回 chi 平方分布的单尾概率
CHIINV 返回 chi 平方分布的反单尾概率
CHITEST 返回独立性检验值
CONFIDENCE 返回总体平均值的置信区间
CORREL 返回两个数据集之间的相关系数
COUNT 计算参数列表中的数字多少
COUNTA 计算参数列表中的值多少
COVAR 返回协方差，即成对偏移乘积的平均数
CRITBINOM 返回使累积二项式分布小于等于临界值的最小值
DEVSQ 返回偏差的平方和
EXPONDIST 返回指数分布
FDIST 返回 F 概率分布
FINV 返回反 F 概率分布
FISHER 返回 Fisher 变换
FISHERINV 返回反 Fisher 变换
FORECAST 根据给定的数据计算或预测未来值
FREQUENCY 返回作为矢量数组的频率分布
FTEST 返回 F 检验的结果
GAMMADIST 返回伽玛分布
GAMMAINV 返回反伽玛累积分布
GAMMALN 返回伽玛函数的自然对数，Γ(x)
GEOMEAN 返回几何平均数
GROWTH 根据给定的数据预测指数增长值
HARMEAN 返回数据集合的调和平均值
HYPGEOMDIST 返回超几何分布
INTERCEPT 返回回归线截距
KURT 返回数据集的峰值
LARGE 返回数据集中第 k 个最大值
LINEST 返回线条趋势的参数
LOGEST 返回指数趋势的参数
LOGINV 返回反对数正态分布
LOGNORMDIST 返回对数正态分布的累积函数
MAX 返回参数列表中的最大值
MAXA 返回参数列表中的最大值，包括数字、文本和逻辑值
MEDIAN 返回给定数字的中位数
MIN 返回参数列表的最小值
MINA 返回参数列表中的最小值，包括数字、文本和逻辑值
MODE 返回数据集中的出现最多的值
NEGBINOMDIST 返回负二项式分布
NORMDIST 返回普通累积分布
NORMINV 返回反普通累积分布
NORMSDIST 返回标准普通累积分布
NORMSINV 返回反标准普通累积分布
PEARSON 返回 Pearson 乘积矩相关系数
PERCENTILE 返回区域中值的第 k 个百分比
PERCENTRANK 返回数据集中值的百分比排位
PERMUT 返回对象给定数的排列数
POISSON 返回泊松分布
PROB 返回区域中的值在两个限制之间的概率
QUARTILE 返回数据集的四分位数
RANK 返回某数在数字列表中的排位
RSQ 返回 Pearson 乘积力矩相关系数的平方
SKEW 返回分布的偏斜度
SLOPE 返回线性回归直线的斜率
SMALL 返回数据集中的第 k 个最小值
STANDARDIZE 返回正态化数值
STDEV 估计样本的标准偏差
STDEVA 估计样本的标准偏差，包括数字、文本和逻辑值
STDEVP 计算整个样本总体的标准偏差
STDEVPA 计算整个样本总体的标准偏差，包括数字、文本和逻辑值
STEYX 返回通过线性回归法计算 y 预测值时所产生的标准误差
TDIST 返回学生氏- t 分布
TINV 返回反学生氏- t 分布
TREND 返回沿线性趋势的值
TRIMMEAN 返回数据集的内部平均值
TTEST 返回与学生氏- t 检验相关的概率
VAR 估计样本的方差
VARA 估计样本的方差，包括数字、文本和逻辑值
VARP 计算整个样本总体的方差
VARPA 计算整个样本总体的方差，包括数字、文本和逻辑值
WEIBULL 返回韦伯分布
ZTEST 返回 z 检验的双尾 P 值
文本函数
ASC 将字符串中的全角（双字节）英文字母或片假名更改为半角（单字节）字符。
CHAR 返回由编码号码所指定的字符
CLEAN 删除文本中的所有不可打印字符
CODE 返回文本串中第一个字符的数字编码
CONCATENATE 将多个文本项连接到一个文本项中
DOLLAR 使用当前格式将数字转换为文本
EXACT 检查两个文本值是否相同
FIND 在其他文本值中查找文本值（区分大小写）
FIXED 使用固定的十进制数将数字设置为文本格式
JIS 将字符串中的半角（单字节）英文字符或片假名更改为全角（双字节）字符。
LEFT 返回文本值中最左边的字符
LEN 返回文本串中字符的个数
LOWER 将文本转换为小写
MID 从文本串中的指定位置开始返回特定数目的字符
PHONETIC 从文本串中提取拼音 (furigana) 字符
PROPER 将文本值中每个单词的首字母设置为大写
REPLACE 替换文本中的字符
REPT 按给定次数重复文本
RIGHT 返回文本值中最右边的字符
SEARCH 在其他文本值中查找文本值（不区分大小写）
SUBSTITUTE 在文本串中使用新文本替换旧文本
T 将参数转换为文本
TEXT 设置数字的格式并将其转换为文本
TRIM 删除文本中的空格
UPPER 将文本转换为大写
VALUE 将文本参数转换为数字
YEN 使用 ￥ (yen) 货币符号将数字转换为文本。
㈡ 物理化学中“l”表示液体，“g”表示气体，那么“sln”表示什么啊求详细解答。
表示的是理想液态
液态混合物中任意一种物质在任意浓度下均遵守拉乌尔定律的液态混合物称理想液态混合物。
由此可推理想液态
㈢ maple 在初中数学的应用
Maple
简介
计算机代数系统的基本功能及特征以及网络资源. 然后介绍Maple V 的基本功能, 窗口环境以
及组织结构.
1.1 计算机代数系统的发展历史
什么是计算机代数系统? 从历史的角度来看\COMPUTE” 的涵义是\数值的计算". 数值
计算的涵义不仅仅是数的算术计算, 还包括其它复杂的计算, 例如: 数学函数的计算、求多项式
的根、矩阵的计算、矩阵特征值的计算等等. 数值计算的一个本质的特征是它不能保证绝对的
准确, 原因在于, 在数值计算的过程中我们是用浮点数进行计算的, 对于简单的问题, 我们可以
用纸和笔手工计算, 对于复杂的问题, 就需要用计算器或计算机进行计算. 然而, 对计算机来说,
要想绝对精确的表达一个浮点数几乎是不可能的, 在计算的过程中必然会产生误差.
数学的计算除了数值计算以外还有另一个重要的分枝, 我们称之为符号计算或代数计算. 简
单的讲, 就是对代表数学对象的符号进行计算. 这些符号可以代表整数、有理数、实数、复数或
代数数, 也可以代表其它的数学对象如多项式、有理函数、矩阵、方程组, 或者其它抽象的数学
对象如群、环、域等等. 对于这些抽象的数学符号, 我们通常是手工计算的, 这也是数学家传统
的工作方式. 然而随着计算机技术的发展, 以及对符号算法的深入研究, 用计算机代替人工进行
符号计算已经成为可能.
从二十世纪六十年代以来, 符号计算这个研究领域获得了极大的发展. 一系列符号计算算
法的提出为现代计算机代数系统奠定了理论基础. 比较着名的算法包括: 计算多项式理想的
Grobner 基算法、多项式分解的Berlekamp 算法、计算有理函数积分的Risch 算法.
在二十世纪六十年代, 比较流行的计算机程序语言是FORTRAN 和ALGOL. 这两种语言
主要是用来作数值计算的, 至今FORTRAN 依然是数值计算领域的标准语言之一. 然而FORTRAN 语言和ALGOL 语言并不适合于编写符号计算软件. 六十年代初出现的LISP 语言为符
号计算软件提供了合适的语言环境, 因此早期的符号计算软件都是用LISP 语言编写的. 其中最
着名的符号计算系统是REDUCE, REDUCE 系统是由Stanford 大学的Tony Hearn 开发的基
于LISP 语言的交互式符号计算系统, 最初的目的是用来进行物理计算. 到了二十世纪七十年代
初, 由麻省理工学院的Joel Moses, Willian Martin 等人开发的MACSYMA 系统诞生了, 它是那
个时代功能最强大的符号计算系统. 它的功能除了标准的代数计算以外, 还包括极限的计算、符
号积分、解方程等. 事实上, 许多符号计算的标准算法都是由麻省理工学院的研究小组提出的.
由G. Collins 和R. Loos 开发的SAC/ALDES 系统是另外一种类型的符号计算系统, 它的
前身是G. Collins 在IBM 编写的PM 系统(它是一个处理多项式的符号计算系统). SAC 是一
个非交互的系统, 它是由ALDES(ALgebraic DEScription) 语言编写的模块组成的, 并且带有一
个转换程序, 可以把结果转换成FORTRAN 语言. 到了1990 年, H. Hong 用C 语言重写了SAC
系统, 形成了新的SACLIB 系统. 这个系统提供了完整的C 语言源代码, 可以自由的从国际互
联网上下载.
在二十世纪七十年代的第四个通用的符号计算系统是muMATH. 它是由Hawaii 大学的
David Stoutemyer 和Albert Rich 开发的第一个可以在IBM 的PC 机上运行的计算机代数系统.
1
2 第一章Maple 系统简介
它所使用的开发语言是LISP 语言的一个子集称为muSIMP.
进入二十世纪八十年代, 随着个人PC 机的普及, 计算机代数系统也获得了飞速的发展. 在
这个时代推出的计算机代数系统大部分是用C 语言编写的, 比较着名的系统包括Maple, Mathematica, DERIVE 等. 有关Maple 的特点我们将在后面介绍, 这里, 我们简单介绍一下DERIVE
和Mathematica.
DERIVE 是muMATH 的后继版本, 它是第一个在PC 机上运行的符号计算系统.DERIVE
具有友好的菜单驱动界面和图形接口, 可以很方便的显示二维和三维图形. 它唯一的缺陷是没
有编程功能, 直到1994 年DERIVE 的第三版问世时, 才提供了有限的编程功能. 现在DERIVE
的大部分功能都被移植到由HP 公司和Texas 公司生产的图形计算器上.
Mathematica 是由Stephen Wolfram 开发的符号计算软件,Mathematica 系统的计算能力非
常强, 它的函数很多, 而且用户自己可以编程. 它的最大优点是, 在带有图形用户接口的计算机
上Mathematica 支持一个专用的Notebook 接口. 通过Notebook 接口, 我们可以向Mathematica
核心输入命令, 可以显示Mathematica 的输出结果, 显示图形、动画、播放声音. 通过Notebook,
我们可以书写报告、论文, 甚至整本书. 事实上, 有关Mathematica 的论文, 软件, 杂志大部分都
是用Notebook 写的, 并且在Internet 网络上广泛传播.Mathematica 的另一个重要特点是它具
有Mathlink 协议, 通过Mathlink, 我们可以把Mathematica 的核心与其它高级语言连接, 我们
可以用其它语言调用Mathematica, 也可以在Mathematica 中调用其它语言编写的程序. 到现
在为止, 能够与Mathlink 连接的语言包括C 语言,Excel,Word 等. 事实上Notebook 就是通过
Mathlink 与Mathematica 核心相连接的.
上面我们介绍的软件都是通用的符号计算系统, 其它通用的符号计算系统还有IBM 公司
的Thomas J. Watson 研究中心开发的AXIOM, 它的前身称为SCRATCHPAD.
除了上述通用的符号计算系统以外, 还有一些在某个领域专用的符号计算系统. 例如: 用于
高能物理计算的SCHOONSCHIP, 用于广义相对论计算的SHEEP 和STENSOR. 在数学领域
中用于群论的Cayley 和GAP, 用于数论的PARI, SIMATH 和KANT. 在代数几何和交换代数
领域中常用的系统是CoCoA 和Macaulay. 还有专门计算Lie 群的Lie 等等.
1.2 计算机代数系统的网络资源
进入二十世纪九十年代以来, 随着国际互联网的迅速发展, 符号计算系统的发展变的更加
迅速和开放. 从国际互联网上可以获取各种符号计算系统, 以及其他数学软件的相关信息. 有些
新的符号计算系统甚至提供源代码. 有些数学软件还有新闻组或讨论组, 通过讨论组, 用户可以
彼此交流信息、解答问题. 厂家也可以及时发现软件的问题, 进行修改. 下面我们介绍一些常用
数学软件的网络资源, 以及主要研究机构的地址.
Mathematica 的网络资源:
http://www.wolfram.com
http://www.mathsource.com
http://www.matheverywhere.com
http://smc.vnet.net/MathTensor.html
ftp://ftp.mathsource.com
news://comp.soft-sys.math.mathematica
1.3 Maple 的基本功能3
maillist:[email protected]
Maple 的网络资源：
http://www.maplesoft.com
http://daisy.uwaterloo.ca
ftp://ftp.maplesoft.com
maillist:[email protected]
Matlab 的网络资源：
http://www.mathworks.com
ftp://ftp.mathworks.com
news://comp.soft-sys.matlab
REDUCE 的网络资源：
http://www.rrz.uni-koeln.de/REDUCE
http://www.zib.de/Symbolik/rece
ftp://ftp.rand.org/software_and_data/rece
符号计算研究机构及信息中心
http://symbolicnet.mcs.kent.e
http://www.cain.nl/
http://www.risc.uni-linz.ac.at
news://sci.math.symbolic
其它符号计算软件的网络地址：
Derive http://www.derive.com
Macaulay2 http://www.math.uiuc.e/Macaulay2/
Macsyma http://www.macsyma.com
Magma http://www.maths.usyd.e.au:8000/u/magma/
Mathcad http://www.mathsoft.com
MuPad http://www.mupad.de
Scilab http://www-rocq.inria.fr/scilab/
1.3 Maple 的基本功能
计算机代数系统与其它计算机语言的本质区别是: 计算机代数系统具有符号计算的能力,
为用户提供交互式的计算环境, 可以进行常规的数学计算, 可以根据给定的数学函数画出函数
的二维或三维图形. 下面我们简要描述Maple 的基本功能.
数值计算
对于普通的数,Maple 总是进行精确的计算, 这种规则对于有理数和无理数是相同的. 因此
对于无理数Maple 按照有关的数学规则进行计算, 只有当用户需要计算浮点数近似值时,Maple
才按照用户要求的精度计算.
> 1/5+1/4;
9
20
4 第一章Maple 系统简介
> 5!/21;
40
7
> evalf(%);
5:714285714
> evalf(Pi,40);
3:
> 2.496745643/2;
1:248372822
> abs(3+5*I);
p34
> (3+4*I)/(1+I);
71
+ I
22
从上面的例子可以看到, 对于复数Maple 按照复数的规则进行计算.
多项式
符号计算系统的最基本功能是处理符号表达式, 多项式则是最基本的符号表达式. 从下面
的例子中可以看到Maple 可以用各种方式处理多项式、三角表达式、指数与对数等许多数学表
达式.
> factor(x^4+2*x^3-12*x^2+40*x-64);
(x . 2) (x 3 +4 x 2 . 4 x + 32)
> expand((x+1)^5);
x 5 +5 x 4 + 10 x 3 + 10 x 2 +5 x +1
> simplify(exp(x*log(y)));
x
y
> simplify(sin(x)^2+cos(x)^2);
1
> expand((x^2-a)^3*(x+b-1));
x 7 + x 6 b . x 6 . 3 x 5 a . 3 x 4 ab +3 x 4 a +3 x 3 a 2 +3 x 2 a 2 b . 3 x 2 a 2 . a 3 x . a 3 b + a 3
> expand(cos(4*x)+4*cos(2*x)+3,trig);
8 cos(x)4
1.3 Maple 的基本功能5
> combine(4*cos(x)^3,trig);
cos(3 x) + 3 cos(x)
解方程
用Maple 来解简单的方程是毫无问题的, 即使是很复杂的方程,Maple 也可以用数值计算的
方法来处理.
> solve(x^2-3*x=2,x);
31 31
2+
2
p17, 2 . 2
p17
> glsys:=f2*x+3*y+z=1,x-y-z=4,3*x+7*z=3g:
> solve(glsys);
..24 97 ..43
fz =
41 ;x =
41;y =
41 }
> fsolve(fx^2+y^2=10,x^y=2g,fx,yg);
fx =3:102449071;y = :6122170880}
矩阵计算
Maple 还有许多命令可以处理矩阵和向量, 不过需要调用线性代数软件包linalg. 还有一
点特别的是, 作矩阵的乘法需要一个特殊的算子&*.
> with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> a:=matrix([[2,3],[1,4]]);
> inverse(a),det(a);
a :=
. ..
23
14
. ..
2..
4 ..3
55
..12
55
3..
, 5
> b:=matrix([[w,x],[y,z]]);
b :=
. ..
wx
. .5
yz
第一章Maple 系统简介
> evalm(a+b);
. ..
2+ w 3+ x
1+ y 4+ z
. ..
> evalm(a &* b);
. ..
2 w +3 y 2 x +3 z
w +4 yx +4 z
. ..
极限, 求和与乘积
对于普通的求极限问题, 可以直接用Maple 来计算, 它还可以符号的计算级数的和与积. 当
符号计算不成功时, 还可以作数值计算.
> limit((sqrt(1+x)-1)/x,x=0);
1
2
> limit(x!/x^x,x=infinity);
0
> sum(1/2^n, n=1..infinity);
1
> evalf(proct(1+1/x^2, x=1..infinity));
3:676077910
微分与积分
用Maple 来求微分是相当容易的, 使用diff 命令即可以求出数学表达式的微分, 不过求出
的结果可能是相当复杂, 因此通常还要用simplify 命令进行化简. 求数学表达式的定积分和不
定积分就相对复杂一些, 需要某些特定的算法. 对于复杂的函数, 求出的结果可能是某些特殊函
数. 对于定积分, 还可以用evalf 求出积分的数值.
> simplify(diff((x-1)/(x^2+1),x));
x2 . 1 . 2 x
. (x2 + 1)2
> diff(sin(x*y),x);
cos(xy) y
> int(1/(1+x+x^2),x);
21
p3 arctan( (2 x + 1) p3)
33
1.3 Maple 的基本功能7
> int(sin(x^2),x=a..b);
1
FresnelS( b p2) p2 pπ .
1
FresnelS(a p2) p2 p
2 pπ 2 pπ
> int(sin(x)/x,x=0..5);
Si(5)
> evalf(%);
1:549931245
微分方程
对于不太复杂的常微分方程,Maple 可以求出它的符号解. 如果你没有给初始条件, 或者给
的初始条件或边界条件不全, 在解的公式中会带有积分常量.
> deq:=diff(y(x),x)*y(x)*(1+x^2)=x;
deq := ( . y(x)) y(x)(1 + x 2)= x
@x
> dsolve(fdeq,y(0)=0g,fy(x)g);
y(x)= pln(1 + x2), y(x)= ..pln(1 + x2)
> dsolve((y(x)^2-x)*D(y)(x)+x^2-y(x)=0,fy(x)} );
11
x 3 . y(x) x + y(x)3 = C1
33
级数展开
当数学问题比较复杂时, 求出准确解通常是不可能的, 用series 作级数展开是有帮助的.
> series(sin(x),x=0, 10);
11 5 11 10)
x . 6 x 3 +
120 x . 5040 x 7 +
362880 x 9 + O(x
例如在下列微分方程中, 就是用级数方式求出的微分方程级数解.
> Order:=10:
> deq:=diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)+y(x)=x+sin(x );
@2 @
deq :=( y(x))+( y(x)) + y(x)= x + sin(x)
@x2 @x
> sln1:=dsolve(fdeq, y(0)=0, D(y)(0)=0g,fy(x)g,series);
1 3 1 4 1 5 +
1 6 1 7 1 8 +
1 10)
sln1 := y(x)=
3 x . 12 x . 120 x 240 x . 5040 x . 20160 x 181440 x 9 + O(x
第一章Maple 系统简介
Laplace 和Fourier 变换
Laplace 变换和Fourier 变换是常用的数学变换. 在Maple 中有一个积分变换的程序包
inttrans 提供了各种积分变换和它们的逆变换.
> with(inttrans):
> laplace(cos(t-a),t,s);
s cos(a) + sin(a)
s2 +1
> invlaplace(%,s,t);
cos(a) cos(t) + sin(a) sin(t)
> combine(%,trig);
cos(t . a)
> alias(sigma=Heaviside):
> f:=sigma(t+1)-sigma(t-1):
> g:=simplify(fourier(f,t,w));
g := 2 I (π Dirac(w) w . I) sin(w)
w
插值与函数拟合
interp命令可以由n 个点出发计算n . 1 阶的插值多项式. 在下例中,x 的取值是1 到10,
y 的值是1 到10 之间的10 个随机数.f 是相应的插值多项式.
> datax:=[seq(i,i=1..10)]:
> datay:=[seq(rand(10)(),i=1..10)]:
> dataxy:=zip((x,y)->[x,y], datax, datay);
dataxy := [[1, 1], [2, 0], [3, 7], [4, 3], [5, 6], [6, 8], [7, 5], [8, 8], [9, 1], [10, 9]]
> f:=interp(datax, datay, x);
17 9 517 11699 7 3719 27323 176741 4 652577 3f :=
51840 x . 40320 x 8 +
60480 x . 2880 x 6 +
17280 x 5 +
5760 x . 3240 x
1816483 2 1669153
+ xx + 293
3360 . 2520
使用数值逼近程序包numapprox 中的pade 命令可以计算一个给定函数的有理逼近函数,
以及其它类型的逼近函数.
> with(numapprox):
> x0:=solve(x^2=Pi/2)[1];
x0 :=
1 p2 p
2
1.3 Maple 的基本功能9
> f:=pade(tan(x^2), x=x0, [3,3]);
8 10
f := (..17280 19=2 p2 + 10800 %1 7 + 43200 %13 . 7680 %13
12
. 3072 %12 25=2 p2 . 32400 15=2 p2 + 3840 23=2 p2 + 28800 %1 9 + 3072 %13
+ 23040 %12 21=2 p2 + 14400 %12 17=2 p2 . 11520 %1 11) .(
(..11520 11 + 1024 13 . 14400 9 . 10800 7) %13
+ (7680 23=2 p2 . 11520 19=2 p2 + 21600 15=2 p2) %12
+(..7680 12 + 34560 10 + 64800 8) %1)
%1 := x .
1 p2 pπ
2
> evalf(normal(f));
6:(..:4532958122 109 x 2 . :1125313130 109 + :1054184360 109 x 3 + :5353835473 109 x)
((2:x . 2:506628274)
(..:1097168700 109 x 2 + :8958248690 109 x . :1356288866 1010))
图形
最常用的画图命令是plot和plot3d.下面的例子说明了使用在两个命令的方法.
>plot(sin(x)*exp(1)^(-x/7),x=0..4*Pi);
-0.4-0.200.20.40.60.824681012x>plot3d(sin(x)*exp(1)^y,x=0..2*Pi,y=0..Pi,axes=boxed);
20-1001020
Maple 编程
Maple 不仅可以对数学表达式进行计算, 还可以编程. 他的编程语言和其它的结构化编程
语言很相似.
10 第一章Maple 系统简介
> f:=proc(x::nonnegint)
> option remember;
> if x=0 then 0
> elif x=1 then 1
> else f(x-1)+f(x-2) end if
> end proc:
> f(40);
102334155
1.4 Maple 系统的交互使用
Maple 的窗口环境提供了先进的工作区界面, 其扩充的数学功能简明易用, 用户可以在其
中展现数学思想, 创建复杂的技术报告, 充分发挥Maple 的功能.
图1.1: Maple 的窗口环境
A Maple 的工具条
B 内容工具条, 它还包含一个输入和编辑文本的区域
C 节的头部及标题
D Maple 的输入, 提示符为\>", 显示为红色
1.4 Maple 系统的交互使用11
E Maple 的输出, 既执行Maple 命令的结果, 通常显示为蓝色
F 一组Maple 命令及其输出
G Maple 的工作区
H 工作区元素组成的节
I 节的范围: 用一个大的方括号\[” 表示
J 省缺的Maple 输入提示符
K 符号模板, 包含了许多常用的数学符号
L 表达式模板
M 矩阵模板
N 向量模板
Maple 工作区界面
Maple 的图形界面具有现代应用软件界面的常见功能, 它支持鼠标操作, 包括剪切和粘贴等
功能, 如果你已经习惯了这些用法, 那就具备了使用Maple 工作区界面的基本知识. 现在你可
以执行一些标准的操作, 例如: 打开文件、保存和打印文件等.
对于Windows 平台, 只要双击Maple 图标即可启动Maple. 在Unix 系统下, 可在提示符
之后键入xmaple 命令来启动.Maple 启动后将开启一个新的工作区.
在窗口上端是菜单条, 包括File 和Edit 等菜单项, 菜单条之下是工具条, 其中有若干用于
经常性操作的快捷按钮, 如文件打开, 保存和打印等. 工具条之下是内容指示条, 其中有一些控
件规定当前执行的任务. 再向下是较大的工作区区域, 也就是你的工作区. 窗口的最下端是状态
条, 其中显示系统信息.
作为Maple 用户界面的一个组成部分, 工作区是用户交互的求解问题和把工作写成文档的
集成环境. 所谓交互的求解问题, 简单的说就是输入适当的Maple 命令, 得到结果. 在工作区中
可以修改命令, 重新执行并获得新的结果. 除了Maple 命令及其结果以外, 还可以在文档中加入
许多其他类型信息. 主要包括:
可以加入文本, 用户能够逐个字符地控制文本段落.
.
在文本段中, 可以加入数学表达式和Maple 命令.
.
可以加入超连接, 当用鼠标单击某特定文本区域时, 能跳转到工作区的其他位置, 或其它文
.
本中.
可以规定文档的结构, 包括超连接, 节与小节的划分.
.
在Windows 平台上, 用户可以嵌入其他对象, 可借助OLE 2( 对象连接与嵌入标准) 嵌入图
.
形和表格.
添加标题
在Maple 的工作区中不仅可以作数学计算, 还可以编写文档. 首先我们可以给文档加标题.
具体步骤是: 将光标移到第一行, 在Insert 菜单的Execution Group 中选择Region Before
项, 此时在顶部出现一个新区域. 这个区域包含一个Maple 输入的提示符, 这意味着此时是输入
Maple 命令的状态. 点击工具条上的
T 按钮或从Insert 菜单中选择Text Input 项, 就把这个
区域变成了文本输入状态, 现在就可以输入文本. 此时在工具条下面又出现了一个新的文本选
择工具条, 从中你可以选择文本的字体格式等. 如果你输入的是文章的标题, 就可以在文本格式
12 第一章Maple 系统简介
的下拉菜单中选择标题格式. 输入标题后回车, 系统会自动要求你输入作者的名字, 输入完作者
名以后就可以输入正文了.
添加小标题
对文档的进一步加工是把文档分解为节. 具体作法是首先用鼠标选定相关的区域, 然后点
击工具条中的. 键, 此时就在选定的区域前面出现了一个小方块, 下拉一个大括号, 括住了选
定的区域. 并且在这个区域的第一条命令之前插入一个文本区域, 此时你可以输入节的标题, 回
车后还可以输入其他说明文本. 如果需要开始新的一节, 可以在Insert 菜单中选择section.
就可以在这一节之后创建新的一节.
行内数学表达式
在一个文档中有时需要插入数学表达式, 例如下面一段文字:
Look at the integral . x2 sin(x . a)dx. Notice that its integrand, x2 sin(x . a), depends
on the parameter a.
在其中插入数学公式的方法是: 首先将光标移到相应的位置, 从Insert 菜单中选择Math Input
项, 然后输入对应于. x2 sin(x . a)dx 的Maple 代码, 即Int(x^2*sin(x), x), 注意观察内容指
示条中的编码区域, 其中显示输入的代码, 而工作区中则显示使用标准数学符号的积分表达式.
在数学表达式输入完成后, 再将输入状态变成文本输入状态, 就可以继续输入其他文本. 这样就
完成了我们的文档, 它既可以保存也可以打印.
添加超连接
在Maple 系统中, 用户可以同时打开多个工作区, 在不同的工作区之间可以通过建立超连
接的方式建立联系. 建立超连接的方法是: 在一个工作区中用鼠标选定一个位置, 在Insert 菜
单中选择Hyperlink 项. 此时弹出一个对话框, 它要求用户输入联接的文字和另一个工作区的
文件名. 填写完成后单击OK 键就完成了超连接.
建立书签
在工作区中可以插入书签, 以便迅速的查找内容. 单击指向书签的超连接,Maple 将立即转
至书签位置. 建立书签的方法是: 首先将光标移动到要插入书签的位置, 从View 菜单中选择
Edit Bookmark 项. 在弹出的对话框中键入一段文字, 例如\expr command” 作为书签文本, 单
击OK 按钮插入书签. 当你移动光标到工作区的任何位置时, 从View 菜单中选择Bookmark, 再
从弹出的菜单中选择expr command 项, 就可以跳到你插入书签的位置.
此外超连接的方式也可以使用书签. 具体作法是: 首先按照前面的方法建立书签, 将光标
移动到建立超连接的位置, 在Insert 菜单中选择Hyperlink 项. 在弹出的对话框中输入联接的
文字, 然后在Book Mark 区域添入你已经建立的书签的标记, 例如\expr command", 单击OK 键
就完成了超连接.
帮助系统
前面我们介绍了Maple 的计算和排版方面的能力, 然而这只能是简介, 在本书中, 我们不可
能详尽的描述Maple 的所有命令, 因为Maple 包含了数以千计的命令. 为了了解这些命令的使
用方法, 可以使用Maple 软件带有的一个自足的参考手册, 即Maple 的帮助系统. 借助帮助系
1.5 Maple 的组织结构13
统, 可以按名字或主题查询Maple 命令及其特点. 此外用户还可以自行选择关键词或术语, 来
迅速打开含有这些文字的帮助页面. 在每个帮助页面中还提供了超连接, 使用户可以阅读相关
的页面.
在帮助系统中,Maple 提供了三种方法定位信息: 按目录、按主题和按全文查找. 从Help 菜
单中选择Contents, 帮助窗口将变为帮助系统的一个简单目录, 用户可以通过超连接的方式浏
览帮助系统. 这就是按目录的查找方法. 通过这种方法我们可以大致了解Maple V 的基本功
能, 但是要从中找到某个特定的主题还是很困难的. 按主题查找的方法是: 从Help 菜单中选择
Topic Search, 此时帮助窗口将弹出一个对话框, 在其中添入需要查找的主题, 点击OK 键, 就可
以阅读相应的帮助文档. 如果已经知道希望阅读的主题词, 也可以直接从工作区访问该页面, 办
法是在Maple 提示符后键入?topic, 回车后就可阅读相应的页面.
在大多数Maple 版本中(唯一的例外是Maple V Realese 4 版本), 进入帮助系统后,Maple
会打开帮助浏览器, 通过帮助浏览器可以方便地找到你需要的帮助.
有的时候, 在解决某个数学问题时不知道应该使用Maple 的什么命令, 但是由数学问题本
身出发, 有理由推测, 在这些命令的帮助页面应当包含某些特定单词, 此时就要用到全文查找的
方法. 例如我要解一个微分方程, 但是不知道应该用什么命令, 我们可以推测, 在这个命令的帮
助中应该包含solve, di erential 和equation 等单词, 此时可以在Help 菜单中选择Full Text
Search, 在弹出的对话框中, 输入要查找的关键词, 例如solve di erential equation 等, 然后单击
Search 按钮, 通知Maple 开始检索.Maple 将列出匹配的主题, 并附带数值, 表明匹配的程度, 用
户可从列表中选择最感兴趣的主题.
此外从Help 菜单中选定Balloon Help 项以后, 当鼠标停留在某个按钮或菜单上时,Maple
就显示简短的说明. 这也是一个很有用的功能.
1.5 Maple 的组织结构
Maple 是由加拿大Waterloo 大学的符号计算组开发的计算机代数系统. 它可以在各种计
算机上运行, 从超级计算机, 例如Cray Y/MP, 到用于桌面的微型计算机, 例如IBM PC 兼容
机.Maple 既可以在单用户的操作系统, 例如MS-Windows 上
㈣ excel函数SLN VDB DDB SYD的英文全拼 谢谢
1、SLN(cost,salvage,life) 返回某项资产在一个期间中的线性折旧值。
Cost 为资产原值。
Salvage 为资产在折旧期末的价值（有时也称为资产残值）。
Life 为折旧期限（有时也称作资产的使用寿命）。
2、
使用双倍余额递减法或其他指定的方法，返回指定的任何期间内（包括部分期间）的资产折旧值。函数 VDB 代表可变余额递减法。
语法：
VDB(cost,salvage,life,start_period,end_period,factor,no_switch)
Cost 为资产原值。
Salvage 为资产在折旧期末的价值（有时也称为资产残值）。此值可以是 0。
Life 为折旧期限（有时也称作资产的使用寿命）。
Start_period 为进行折旧计算的起始期间，Start_period 必须与 life 的单位相同。
End_period 为进行折旧计算的截止期间，End_period 必须与 life 的单位相同。
Factor 为余额递减速率（折旧因子），如果 factor 被省略，则假设为 2（双倍余额递减法）。如果不想使用双倍余额递减法，可改变参数 factor 的值。有关双倍余额递减法的详细说明，请参阅函数 DDB。
No_switch 为一逻辑值，指定当折旧值大于余额递减计算值时，是否转用直线折旧法。
如果 no_switch 为 TRUE，即使折旧值大于余额递减计算值，Microsoft Excel 也不转用直线折旧法。
如果 no_switch 为 FALSE 或被忽略，且折旧值大于余额递减计算值时，Excel 将转用线性折旧法。
除 no_switch 外的所有参数必须为正数。
3、DDB 使用双倍余额递减法或其他指定方法，计算一笔资产在给定期间内的折旧值。
语法
DDB(cost,salvage,life,period,factor)
Cost 为资产原值。
Salvage 为资产在折旧期末的价值（有时也称为资产残值）。此值可以是 0。
Life 为折旧期限（有时也称作资产的使用寿命）。
Period 为需要计算折旧值的期间。Period 必须使用与 life 相同的单位。
Factor 为余额递减速率。如果 factor 被省略，则假设为 2（双倍余额递减法）。
要点 这五个参数都必须为正数。
注解
双倍余额递减法以加速的比率计算折旧。折旧在第一阶段是最高的，在后继阶段中会减少。DDB 使用下面的公式计算一个阶段的折旧值： Min( (cost - total depreciation from prior periods) * (factor/life), (cost - salvage - total depreciation from prior periods) )
如果不想使用双倍余额递减法，更改余额递减速率。
当折旧大于余额递减计算值时，如果希望转换到直线余额递减法，请使用 VDB 函数。
4、SYD 返回某项资产按年限总和折旧法计算的指定期间的折旧值。
语法
SYD(cost,salvage,life,per)
Cost 为资产原值。
Salvage 为资产在折旧期末的价值（有时也称为资产残值）。
Life 为折旧期限（有时也称作资产的使用寿命）。
Per 为期间，其单位与 life 相同。
注解
函数 SYD 计算公式如下：
示例
如果将示例复制到一个空白工作表中，可能会更容易理解该示例。
㈤ EXCEL中，财务函数VDB、SYD、SLN的详细用法。例如下题，我该如何使用这三个函数呢
直线法：SLN(目前市场价值，残值，剩余使用年限）
倍率余额递减法：VDB（目前市场价值，残值，剩余使用年限，计提该折旧额的期初，期末，递减速率，*）
备注：1.*所代表的参数，如果它为false，即使直线折旧数额大于倍率余额递减法算出的折旧时，函数会将折旧额切换成直线法的折旧额，如果它为true，即使直线折旧数额大于倍率余额递减法算出的折旧时，函数不会将折旧额切换成直线法的折旧额。一般为false时可以缺省
2.递减速率缺省，默认为2，即双倍余额递减法
年数总和法：SYD（目前市场价值，残值，剩余使用年限，期数）
备注：该期数即为要计算折旧额的当期期数，也就是倍率余额递减法的期末数值
刚刚学完计算机财务管理，复习准备考试中，一些浅薄解释，希望指正，谢谢。
㈥ 数学题slnln * =(应该是数学题) 是“slnln”乘以“dx”
应该是sinlnxdx=coslnx/x
㈦ 数学中sln是表示多少数字
Sin是数学函数正弦的意思.得根据后面的角度才能得出具体数字
㈧ 一个数学上的定理
蝴蝶定理 蝴蝶定理
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
这里介绍一种较为简便的初等数学证法。
证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD，BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O，S，X，M四点共圆
同理，O，T，Y，M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ，
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
这个定理在椭圆中也成立，如图
1，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。
求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证： | OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：
（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。
（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1
焦点坐标为
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=kx代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，
整理，得
(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根据韦达定理，得
x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，
所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得
x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②
由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)
所以结论成立。
（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。
由C，P，H共线，得
(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4
解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
由D，Q，G共线，同理可得
q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)
由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：
x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。
3．简评
本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。
第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。
第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（或p+q=0。）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p= -q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。
设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得
1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’
将①’两边同乘以k1·k2，即得
k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。
4．赏析：
上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？
关于圆，有一个有趣的定理：
蝴蝶定理 设AB是圆O的弦，M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于H、G。则MH=MG。
这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。
盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？
像，而且像极了。试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？
[关于“椭圆上的蝴蝶”，张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述，有兴趣的读者请参阅该书P54-59]。
5．启示
椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花（草）园，令人欣喜异常。它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。为什么？你（老师、学生）关注到了它吗？
实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式
证明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以应用定比分点公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去证λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式
证明dc-AB=0；你还可以计算△ABC的面积，去证S△ABC=0。你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。据说考试下来，有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里？北京市有许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。各种各样的复习资料，几十套几十套的各地模拟试卷，使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔，这哪里还谈得上素质教育与培养能力？我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用，从而解放思想，勇敢大胆地摒弃“题海战术”。而要使学生跳出题海，老师就必须首先跳入题海，“题海探珠”，感悟数学教育改革的真谛。——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。
补充：混沌论中蝴蝶定理
数学的一门分支是混沌论。混沌论中有一个非常着名的定理——蝴蝶定理。它是说，一些最轻微的因素，能够在复杂的环境中，引起滔天的巨浪，就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀，那微小的气流，已足已引起北半球的飓风和海啸。
而我们怎能跟踪那叶尖的微微一颤呢？ 所以经济和气象都是不可预测的，正如人生无法预测。
蝴蝶定理的推广
如图I，是“蝴蝶定理”，有结论EP=PF；如图II，是“蝴蝶定理”的演变，点P，Q，R，S是否也存在某种关系呢？
所以过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F、G、H，连AF、BE、CH、DG分别交弦于点P、Q、R、S，则有等式：成立。
证明：引理，如右图，有结论
由及正弦定理即可得到：
原结论
作OM1AD于M1，OM2EH于M2，
于是，MA - MD = MB - MC = 2MM1 = 2Msin；
MH - ME = MG - MF = 2MM2 = 2Msin
且MA*MD = ME*MH，MB*MC = MF*MG，代入上式，又
故原式成立
证毕。