❶ 数学公式
公式：
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一,格林公式
一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿,莱布尼兹公式
表明:函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示.
无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式.
1,单连通区域的概念
设为平面区域,如果内任一闭曲线所围的部分区域都属于,则称为平面单连通区域;否则称为复连通区域.
通俗地讲,单连通区域是不含"洞"(包括"点洞")与"裂缝"的区域.
2,区域的边界曲线的正向规定
设是平面区域的边界曲线,规定的正向为:当观察者沿的这个方向行走时,内位于他附近的那一部分总在他的左边.
简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手.
3,格林公式
【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有
(1)
其中是的取正向的边界曲线.
公式(1)叫做格林(green)公式.
【证明】先证
假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)
易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可.
另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有
因此
再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证
综合有
当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有
,
同时成立.
将两式合并之后即得格林公式
注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立.
格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛.
若取,, ,则格林公式为
故区域的面积为
【例1】求星形线 所围成的图形面积.
解:当从变到时,点依逆时针方向描出了整个封闭曲线,故
【例2】设是任意一条分段光滑的闭曲线,证明
证明:这里 ,
从而
这里是由所围成的区域.
二,平面曲线积分与路径无关的条件
1,对坐标的曲线积分与路径无关的定义
【定义一】设是一个开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,如果对于内任意两点,以及内从点到点的任意两条曲线,,等式
恒成立,就称曲线积分在内与路径无关;否则,称与路径有关.
定义一还可换成下列等价的说法
若曲线积分与路径无关, 那么
即: 在区域内由所构成的闭合曲线上曲线积分为零.反过来,如果在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为零,也可方便地导出在内的曲线积分与路径无关.
【定义二】曲线积分在内与路径无关是指,对于内任意一条闭曲线,恒有
.
2,曲线积分与路径无关的条件
【定理】设开区域是一个单连通域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,则在内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式
在内恒成立.
证明:先证充分性
在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的区域全部在内.从而 在上恒成立.
由格林公式,有
依定义二,在内曲线积分与路径无关.
再证必要性(采用反证法)
假设在内等式不恒成立,那么内至少存在一点,使
不妨设
由于在内连续,在内存在一个以为圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有
由格林公式及二重积分性质有
这里是的正向边界曲线,是的面积.
这与内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾.故在内等式
应恒成立.
注明:定理所需要的两个条件
缺一不可.
【反例】讨论 ,其中是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的.
这里
,
除去原点外,在所围成的区域内存在,连续,且 .
在内,作一半径充分小的圆周
在由与所围成的复连通域内使用格林公式有
三,二元函数的全微分求积
若曲线积分在开区域内与路径无关,那它仅与曲线的起点与终点的坐标有关.假设曲线的起点为,终点为,可用记号
或
来表示,而不需要明确地写出积分路径.
显然,这一积分形式与定积分非常相似, 事实上,我们有下列重要定理
【定理一】设是一个单连通的开区域,函数,在内具有一阶连续偏导数,且 ,则
是的单值函数,这里为内一固定点,且
亦即
【证明】依条件知,对内任意一条以点为起点,点为终点的曲线,曲线积分 与路径无关,仅与的起点和终点的坐标有关,亦即, 确为点的单值函数.
下面证明
由于可以认为是从点沿内任何路径到点的曲线积分,取如下路径,有
类似地可证明
因此
【定理二】设是单连通的开区域,,在上具有一阶连续偏导数,则在内为某一函数全微分的充要条件是
在内恒成立.
【证明】显然,充分性就是定理一
下面证明必要性
若存在使得 ,则
由于 ,在 内连续, 则二阶混合偏导数适合等式
从而
【定理三】设是一个单连通的开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数, 若存在二元函数使得
则
其中,是内的任意两点.
【证明】由定理1知,函数
适合
于是 或
因此 (是某一常数 )
即
而
这是因为由点沿任意内的路径回到点构成一条封闭曲线,故
因此 □
【确定的全微分函数的方法】
因为,而右端的曲线积分与路径无关,为了计算简便,可取平行于坐标轴的直线段所连成的折线作为积分路径(当然折线应完全属于单连通区域).
❷ 地图五色定理数学难题是怎样证明的
正§6 关于Eulet公式 令ν,ε,φ分别表示一个平面图的节点,边和面(包括无限面)的数目。为方便,自然只讨论连通的平面图。这时,总有如下关系: ν-ε+φ=2.(6.1) 这就是所谓Euler公式。其证明也相当简单,通过对边施行归纳,即可得到。它是研究平面以致多面体有关的很多问题的基础。这里也将会看到它在研究四色问题中的作用。
❸ 数学中的区域怎么理解
一般而言，区域指连续的集合点构成的集合，而集合则有可能是由离散的点构成的，
即区域是一种集合，但集合不一定都能叫区域
❹ 求教:高等数学中的区间 区域 领域各自是什么意思，有什么区别啊
“有界闭区间”就是[a,b],“有界”两个字是多余的.事实上闭区间都是有界的,这个叫法其实来自“有界闭集”,因为闭集不一定是有界的,比如[a,+无穷)不叫闭区间,但是是闭集.实轴上的有界闭集等价于紧集,而闭区间的很多性质其实是继承了紧集的性质.
❺ 数学证明题怎么证明
你的问题有点笼统了。图形证明题你可以把求证的当作已知条件反推，得出一些条件，然后和题目已知取得联系，这应该是一般证明题的做法吧（也即是反推、反证明）；对一些有难度的证明题那就得看自己的认知和“运气”了，运气当然不是指你是否碰到以前做过，而是你能否碰巧看出辅助线之类的。另外如果有两个证明题，一般都是有关系的，你可以一起证明，或者先证后面的再证第一个！个人愚见，抛砖引玉！
❻ 数学里的区域是什么有没开区域
没有开区域，只有开区间，区间与区域就不是在一起说的东西，不过，纠结这名字也没用处，会用就行了
❼ 初中数学几何证明题技巧
几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。
一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。
二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。
三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。
四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。
五要归纳总结。很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，往后出现同样类型的题该怎样入手。
以上是常见证明题的解题思路，当然有一些的题设计的很巧妙，往往需要我们在填加辅助线，
分析已知、求证与图形，探索证明的思路。
对于证明题，有三种思考方式：
（1）正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
（2）逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。
（3）正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。
下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。
一、证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
三、证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
11.利用半圆上的圆周角是直角。
四、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
五、证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
六、证明 角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
❽ 初中数学几何证明，如何证明过程
你好！
初中数学的证明：1、步骤要会，（这个你没问题）
主要是2、你要用反推法来证明，一般证明题结果是给你的，你先想一想，要得到这样的结果你需来证明什么，也就是结果成立的时候。你以结果为条件，看能得到什么，例如结果三角形全等，你可得到对应的角相等，对应的边相等，你再从已知的条件证明对应的边和角相等，只要你证明了对应的边和角相等了行了，结果得证。说白了就是两头向中间挤，即结果与已知同时能得到什么，你就先证明什么，由此可得。
3、找条件， 就是结果成立时需要什么条件，你再从已知中找，看能不能找到，找到了也就可以证明了，如证明两个绝线段相等，你就考虑三角形全等，平行线夹的两平行线段相等，等腰三角形，角平分线上的点到边的距离等等。
也不知道说的对不对，只是希望对你有一点点帮助， 祝你快乐1
❾ 用数学归纳法证明：平面内的n条直线至多将平面分成(n^2+n+2)/2个区域。
因为n=1时,f(1)=2,n=2时,f(2)=4,
n=3时,f(3)=7,于是可以猜想f(n)=(n^2+n+2)/2
下面证明猜想正确即可
证明:①:n=1时已经证明了其正确性
②:假设n=k时也成立,则f(k)=(k^2+k+2)/2
当n=k+1时,由于多了一条线，就可以多分割出
k+1个面,所以f(k+1)=f(k)+k+1=
(k^2+k+1)/2+(k+1)=[(k+1)^2+(k+1)+2]/2
所以当n=k+1时也成立,由①②得,对于任意n值
都有f(n)=(n^2+n+2)/2
❿ 数学证明的一些技巧
学数学重要的是多想,多尝试.
其次就是做点题,主要是自己思考思路
然后你看到题目就会有很多的想法
多尝试几种不同的方法
绝对是必要的
做证明题
我一般是用反推的方法(术语好象是叫综合法)
在草纸上从结果推要证明什么
一般简单点的都能做出来
复杂的就得看你的运气和知识掌握的程度了
记住辅助线的目的是为了更直观的了解要证明的内容