A. 实验数学
5月9日 12:24 高中“数学实验”教学研究及其思考
江苏省太湖高级中学 秦梅芳
随着招生规模的扩大，数学教育的“均贫化”现象已经显现。要克服数学学习的困难，就有必要回到“故乡”，再塑“童年”，使学生重新触摸数学材料，体验数学经历，参与数学操作，享受数学喜悦；就有必要从新的数学观和教育观出发，以人为本，为学生的数学学习开辟新的通道。为此，我参加了由鲍为民老师策划、主持的省“十五”课题——“高中‘数学实验（Mathematics Experiment,以下简称ME）’教学研究”，在国内率先开展了有关研究工作。在此过程中，碰到不少困难，也取得了一定的收获，进行了一些思考。
一、ME及其现状
ME教学是让学生自己动手操作，通过探究、发现、思考、分析、归纳等活动，最后获得概念、理解直至解决问题的一种教学过程。它是一个根据研究目标，创设或改变某种数学情景，在一定条件下，通过思考和操作活动，研究数学本质、发现数学规律的过程。是一种思维实验和操作实验相结合的实验。
计算机技术和网络技术为ME教学提供了有效的手段。在教学中，我们把构成和表现某一个数学问题的各种层面的元素用软件工具制成课件或积件，即在电脑平台上构建一个问题情境，由教师或学生对各元素进行有序的控制操作，变换各种情境，并通过学生小组的协作学习，去观察问题、验证结论、体验本质、归纳和发现新结论。这是一种教学上的数学实验。我们重点从教材入手，精心挖掘教学内容中的实验因子、实验课题，编制课件，汇编成库，并采用典型课例带动的策略，力图构建了基于单机、基于网络教室、基于校园网络的三种“数学实验”教学模式，并对操作要点、程序、实施策略、评价指标和方法手段等评价体系作了研究和实践，争取尽快形成了“数学实验”教学课题、课件、教案、教学录像分析资料库等系列有形产品。
在实验操作过程中，多媒体环境不同，其教学方法和程序也不同。
基于单机或多媒体综合教室的实验研究，课堂上更多的是教师的演示和引导，学生主要是观察实验、体会变化、发现规律。
在网络教室环境中，学生或依据教师实验方案的引导，或自行设计的实验方案，自主实验研究的天地更为广阔，机会和时间更多，兴趣更浓，参与程度更高，小组协商学习真正成为可能，因而“研究性学习”教学思想体现得更加充分，学习能力培养的教学达成度也会更高。
ME教学，激发了学生探究的兴趣，提高了他们的实验、分析、探究能力，这种兴趣和能力可迁移至课外。我们准备选择一些开放性、探索性的课题，放在校园网上，让学生在课外自行上网进行个别化学习，学生和教师可以在线进行沟通和讨论。
ME教学，充分体现了用实验手段和归纳方法进行数学教学的思想：从若干实例出发（包括学生自行设计的实例）→在计算机上做大量的实验→发现规律→提出猜想→进行论证，使学生尽可能去发挥想象力与创造力，这初步体现了教学过程中教师、学生、内容、媒体四要素功能的转变。ME教学，已经得到校内外学生和专家的好评。
二、ME教学研究的几点思考
1、教育观念的更新是关键
在日常教学中，许多教师已开始运用数学实验，但在运用的内容、形式、方法上存在着一些区别，在教学效果上也有不同。笔者认为，其差别来自于教师的教育、教学观念和对现代教育技术的认识。
⑴数学需要进行实验——关于数学的观念。数学具有两重性，数学教学既要重视数学内容的形式化，更要重视数学创造过程的经验化。而数学的经验与数学的实验是分不开的，在数学实验中，往往通过观察、比较、分类、类比、归纳、处理数据、发现规律。只有具备了全面的数学观，才能在备课的过程中，自觉地抓住一些“发现”和“实验”的典型内容，设计出数学实验的教学过程，而不是把结论直接交给学生，或是仅把实验作为验证结论的工具。
⑵重视学生的主体参与——关于教育观念。学生掌握知识的过程是学生个体的认知结构的建构过程。其中活动是第一位的。对处于认识发展阶段的学生来说，这种活动开始表现为外部活动，由于主体的智力参与，使外部活动过程内化为主体的心理过程，产生个人的体验。同时，活动必须是学生主动和积极进行的，学生主体参与的程度是教学成败的重要标志。因此，教师应由知识的传授者改变成为教学的指导者和组织者，使学生充分运用数学实验深层次地参与教学过程，而不仅是让学生简单地观摩教师表演性地使用。
⑶数学创新教育的思路——关于教学观念。创新教育的基本思路是把中学数学教学过程设计成让学生再发现、再创造的过程。离开创造过程谈创新教育就是无源之水、无本之木，因此运用数学实验主要应体现在让学生发现、探究和创造，引导学生对再创造过程的深层次参与。
⑷计算机不只是“教”的辅助工具——关于技术观念。随着科学技术的迅速发展，现代高新技术越来越表现为一种数学技术。要让学生适应时代的要求，就要把计算机为核心的现代技术与数学学科内容整合在一起，让学生在教师的指导下，相对独立地去进行再发现与再创造。因此，不能把计算机等作为一般教具，而要发挥其优势，将它由“教”具向“学”具的功能转化，由教学的辅助手段向掌握数学技术转化，由学习知识向全面提高学生的素质转化，由单一的教法改革向课程、教材、教法、评价的整体改革转化。
2、教育过程的改进是重点
当前教学中，许多教师仍使用单一讲授的教学模式，“教师讲，学生听”，缺少学生自主探究、合作讨论等环节，妨碍了能力的培养。在ME教学中要特别注意不能“穿新鞋、走老路”，应把教学模式的改革作为研究的重点。众所周知，数学教育不存在一种固定的教学模式，它本身是一个开放和创新的过程，但在教学过程中依据教学思想和教学规律常会形成一些比较固定的教学程序及其方法的策略体系，我们也可称之为模式。在ME教学中，主要思考了以下几种模式：
⑴发现模式。它要求学生在教师的引导下，利用材料，主动探究、发现。程序为：创设情景→分析探究→猜想假设→论证评价。这种教学模式在教学中主要适用于概念、法则、公式、定理、例题等知识形成过程的教学，体现学生参与发现过程的主体地位，注重了发现策略和方法的培养。
⑵应用模式。数学知识的应用是培养数学能力的途径与目标，应用模式的一般程序为：实际问题→数学建模→模型求解→实际问题解决。TI与CBL（OR CBR）的配合可方便、迅速地收集现实世界的有关数据，便于学生进行形象直观的分析处理，从而得出实验结论。
⑶结构模式。数学具有系统性的特征，数学的定义、公理、定理、法则、公式等具有系统的逻辑结构，结构模式就是利用这个特征，进行整体结构教学。经常的，在一个问题初步解决以后，引导学生发散思维，在数学实验的开放环境中，变化条件、变化结论、寻求一题多解，一题多变，发现新的结论或共同规律。结构模式的教学程序为：整体结构→部分研究→形成系统→整体结构。
在实施以上基本教学模式时，可以引导学生之间、师生之间开展讨论，把课堂实验与课外实验结合起来，在教学形式上作出新的探索。教学模式反应了教学的基本规律，但不应当成为教学的框框，我们要注意多种教学模式的灵活和综合应用，从整体上优化教学过程。
3、现代教育技术是基础
要开展ME教学首先要求教师掌握电脑技术、图形计算机技术。对教师的技术培训就成为了一个重要的基础性工作。
教师要能顺利地开展ME教学，应该能熟练地掌握“几何画板”，能运用张景中院士开发的“Z＋Z智能教育平台”，熟练运用TI-CBL（CBR）系统。最好能掌握一门计算机语言。
在教师培训上，应该采用两个措施，一是教师培训教师，二是把内容讲授与相互研讨结合起来。教师培训教师，有共同语言，结合教学实践，易见实效。在培训过程中开展研讨活动，加强相互交流，让广大教师在一个开放的环境中学习，有利于观念的更新和技术的进步。
4、与课程整合是方向
我们生活在高科技时代，高科技改变了人们的思维方式和观念，也改变了数学知识的结构。过去人们认为重要的知识，今天可能已经不太重要，而原来人们认为不重要的知识，现在则可以变得十分重要。除了内容的变化，知识呈现的顺序也会变化。随着技术的发展，数学课程的变革是不可避免的。ME恰处在以计算机技术为核心的现代教育技术与数学教材的交集部位，ME教学与课程的整合是数学教育的发展方向。
5、学校支持是成功的保障
ME教学要得以顺利展开，各级领导的重视与支持是必不可少的。要开展实验，课题组必须要有电脑等实验器材，必须购买相关软件，必须有适当的实验场地，必须有一定数量的实验班级与相应的课时安排。此外，由于ME教学对教师有很高的要求，相关教师应该拥有相应的学习机会与时间保障。由于一线骨干教师现有的教学任务已十分繁重，要对他们进行培训，让他们进行研究，就必须建立起合理的激励机制。只有这样，教科研才不会流于形式，才可以扎扎实实地为教育服务，为学校教育插上腾飞的翅膀。
B. 数学小实验的过程
着名数学家华罗庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁，无处不用到数学。”特别是二十一世纪的今天，数学的应用更是无所不在。那么，我们如何从小打下坚实的数学基础，究竟什么样的课堂教学才适合新一代的学生呢？我认为，在课堂中，由学生去担任学习的主角，才是我们的心愿。那么，数学活动课就是让我们充分体现自主学习的一种教学方式。
活动课上，在老师的指导下，我们分成小组，通过自己动手去测量、拼凑、剪切、计算，去探索发现的规律、掌握数学知识。这样，即培养了我们的动手能力，又提高了我们的思维能力，而且让我们初步尝到了数学家研究问题成功时的滋味，使我们对数学的学习兴趣倍增。
例如，我们上《平行四边形面积得计算》这节课时，老师让我们分成几个小组，发一些平行四边形的小纸片，让同学们互相讨论，怎样使一个平行四边形经过剪贴、拼凑变成一个我们已经会计算面积的图形呢？大家七嘴八舌的讨论开了，有的同学发现可以用剪刀沿着平行四边形的高，把它剪成一个直角三角形和一个直角梯形，然后可以把它们拼成一个长方形；一些同学又发现还可以从平行四边形的任意一条高剪开，就得到两个直角梯形，依然可以拼成一个同样大小的长方形。同学们通过观察、思考，认识到拼成的长方形的“长”和“宽”，分别就是原来平行四边形的“底边”和“高”。由此，大家终于自己找到了平行四边形面积公式为：S=ah。再比如，上《有余数的除法》这节课时，老师采用让同学们玩扑克牌的游戏，使大家很快理解和掌握了有余数的除法的计算规律，让大家在轻松愉快的活动中学到知识。
我每次做数奥都是拿起一道题拉起来就做，因为我觉得这样做起来很快。可是今天做数奥时，有一道题改变了我的看法，做得快不一定是做得对，主要还是要做对。
今天，我做了一道题目把我难住了，我苦思冥想了好几个小时都没有想出来，于是我只好乖乖地去看基础提炼，让它来帮我分析。这道题目是这样的：求3333333333的平方中有多少个奇数数字？分析是这样的：3333333333的平方就是3333333333×3333333333，这道乘法算式由于数字太多使计算复杂，我们可以运用转化的方法化繁为简，也就是把一个因数扩大3倍，另一个因数缩小3倍，积不变。使题目转化为求9999999999×1111111111=（10000000000-1）×1111111111=11111111110000000000-1111111111=11111111108888888889因此，乘积中有十个奇数数字。这道题，我们还可以位数少的两个数相乘算起，就能发现积中奇数的数字个数。即3×3=9→积中有1个奇数数字。33×33=1089→积中有2个奇数数字。333×333=110889→积中有3个奇数数字。3333×3333=11108889→积中有4个奇数数字。……
从上面试算中，容易发现积是由1，0，8，9四个数字组成的，1和8的个数相同，比一个因数中的3的个数少1，0和9各一个，分别在1和8的后面。积中奇数的数字个数与一个因数中3的个数相同，可以推导出原题的积是：11111111108888888889，积中有10个奇数数字。
做了这道题，我知道做数奥不能求快，要求懂它的方法。总之，我认为用活动课的方式上数学课，是我们小学生非常喜欢的。在课堂上，每个同学对知识的探索过程充满了好奇心，都迫切渴望通过自己的实验活动，去找到解决问题的方法。学习中，我们充分体验套了做学习的主人的快乐和自豪。希望老师们能多用活动课的方式来上数学课。这样，我们将会学的更扎实、更轻松、更灵活、更优秀
C. 数学实验——开启具身思维的金钥匙
2011年义教数学新课标要求，数学实验是种重要的学习方式。之所以这样充分肯定数学实验的重要性，成为学习策略。是因为动手操作，反复观察，独立思考，开启了具身思维（动作思维），促使表象思维、抽象思维的顺利展开。南师大教授俞平认为：由感知觉产生的形象思维，发展抽象思维这个核心素养，离不了具身思维——动作思维。具身思维也有的叫具身学习，是离不了动手操作，实验验证，实践活动的，是反复多次手脑并用、操作观察、有意义思考的结果。动作思维离不了各种感官的积极参与，协同发展，在此基础上形成的具体可感的认知想象等，离不了实际操作的活动，称为具身思维。可见，数学实验学习过程，不仅积累了数学活动体验，理解了数学思想方法，明白数学知识形成过程，为形成一定的解题技能，积淀认知情感，激发学趣，建立科学学习观，奠定基础，而且为表象思维、抽象思维的展开，开了好头。下面结合具体实例阐述，求教更多读者思考学习。
一、数学实验，有意义理解概念、性质、定理
数学实验，一般因地制宜，简便易行，不怎么受条件的制约，只要善于做有心人，用心准备，充分利用身边条件，动手操作，动脑思考，非常利于理解数学概念、性质、定理。比如，古典概率概念的建立，简单计算一学就会，概率的内涵却不是那么简单理解，需要通过数学实验活动。每人一枚硬币，桌上扑件毛巾，每人抛掷20、40次，画“正”字记录抛掷结果，然后小组合作，汇总研究，再全班交流，最后统计成百上千次的抛掷结果数据，那么抛掷硬币正面朝上的可能性越来越逼近一半。由此，对概率近似准确地表达了某事件变化发展的规律，有了深刻的理解，充分体会变中蕴涵不变的思想方法。
再如，勾股定理的推演有400种，面积证法最多，指导学生用四个全等三角形拼摆“弦图”，利用不同的面积计算方法，构建恒等式，运用乘法公式，展开化简，不难得到“勾股定理”。自己动手操作，推导出的关系式，心情舒畅，应用自如，不自觉地记住，自然地运用勾股定理定理解决问题，掌握学习效果非常好。
数学实验，助推理解概念性质定理，是实现要教到不要教的捷径，是理解数学热爱数学的必然，是激发学趣，学会数学，会学数学的路径。
二、数学实验，有意义掌握数学思想方法
学习数学的目的，达到“四基”要求，理解掌握基本知识、基本技能，理解掌握数学基本思想方法，和基本活动体验。空洞说教，简单重复，显然无济于事，不须想法设法创造实验。实验活动经历了，老师不要苦口婆心，学生自然心领神会。
如，苏科版七下，用方程解决实际问题，有这么个问题，小红与爷爷，沿着400米的环形跑道，从同一个地点，同一个时间，朝着同一个方向跑步，二人的速度关系知道了，第一次追及时间也知道，求二人速度。这里列出方程关键构建等量关系式，孙女跑步的路程比爷爷跑的路程多一个全程。这个数量关系式，很让一部分同学迷茫， 于是，四人一组，分组到操场上，指导学生做追及运动实验，千万记住各自跑的圈数。结果大家兴趣盎然，反复实验，不怕失败重复，乐此不疲。实际上有走的、有跑的，有沿圆形跑的，有沿长方形跑的，有沿半圆形跑的，结果结论相同，快跑的比跑得慢的多了整整一圈。
再如盈亏问题，一般讲解方法，套公式计算，会做是会做了，却索然无味，不理解解题原理，让人很不舒服。笔者将问题改编成两次分东西，一套完整的方案，结果浅显易懂，一想就会。像，一包糖分给几个小朋友，每人3块剩3块；每人5块还差5块。几个小朋友几块糖？这样来想：开始这样分糖果，每人3块剩3块，剩下的糖继续分，每人多分（5-3）2个，就符合第二次分配要求了。我们先把剩下的3块分了，可分1人。但我们知道还要买5块，与分三块还剩一块合起来，就是再要分的6块，正好分玩。
学生学习热情高涨，对数学有意味的认识，类比，转化，逻辑推里，数学结合思想方法改变了数学学习认识，他们喜欢数学学习，热爱数学学习了。
三、数学实验，有意义学习发现问题、解决问题
数学实验，手脑并用，反复观察，情感铺垫，往往生出很多意想不到的教学智慧，让人感喟不已。如有理数乘法法则，“负负得正”的理解掌握，引导学生动手操作，还原问题情境，数学问题生活化，一下子调动学生求知的欲望，和学好数学的信心。每人站立，相当于水位标杆直立，双手的上下平移，相当于水位的升降变化。每天水位上升（下降）变化 4㎝，3天前（后）水位多少？根据每天变化厘米数，每天上升记作+4㎝，-4则表示每天下降厘米数；3天前后水位变化结果，不难列式计算出关系式了。
以此类推，学生以组为单位，构建了很多负数×负数=正数，负数×正数=负数的算式。然后分类归纳，推导出有理数乘法法则，特别是理解“负负得正”的法则。学生被自己的发现研究，高兴得眼睛发光，神采飞扬。课堂有效学习效率很高。
实施数学实验，让具身思维落地生根，改变灌输式教学实施方案，经过动手操作，动脑思考，感知觉协同发展，持之以恒 可以有效改变数学学习方式，理解数学，掌握数学，从而实现用数学的眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，最终实现立德树人的核心素养目标。
D. 作图法巧妙验证平行的基本事实
平行基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
学生在复习平行概念，平移作法技能，掌握了运用“放、贴、移、画”四字作图口诀，能画出已知直线的平行线知识技能后，要求画出“过直线外一点，作出已知直线的平行线。”时，老师在黑板上画出了一条直线AB与直线外一点P，试过点P作直线AB的平行线PC。同时，要求每人使用苏科版实验手册P27，实验11 叠合透明纸，感受平行线“唯一性”。黑板上与实验手册同步实验。
黑板上五位同学作的平行线竟然是一条，下面座位上的同学，各自画好过点P平行线，并以小组为单位，叠合透明纸，发现所作的直线互相重合。
反思：设计系列有层次的问题串，引导学生自主探究学习，具体问题是：
1.过直线外一点，黑板上五位同学所画的5条直线重合在一起，说明什么问题？你能概括为一句话吗？（用自己的话说说。）
2.各组内所画的平行线，重合在一起，不同组间再选代表叠放，结果也重合不？不管三七二十一，过直线外一点，能作几条直线，而且只能作几条直线？
3.简要概括为平行的基本事实是什么？（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。）
黑板上多请几位同学画过某点的已知直线平行线，有几点价值：一是巩固画平行线的操作方法，训练操作技能，体现了及时巩固教学原则；二是通过动手操作，手脑口并用，直观形象地感受平行线的基本事实特点“唯一性”，将“做”与“思”紧密结合，体现自主独立思考“做”数学的性质；三是激趣启思，明理应用。动手操作、交流合作、探究发现，在具身思维的指导下，创新性的理解，也是深度学习，自主学习。
做在座位上的同学，直接应用数学实验手册上的实验材料，作出已知直线的平行线，感受实验活动操作价值。将做实验片段，感受平行线“唯一性”，纳入课堂教学中。将操作实验步骤讲清，画或折出平行线，组内、组际叠放，发现全面重合在一起，验证平行线的“唯一性”。学生在操作实验过程中，经过具身思维，亲自感悟知识，实现“教是为了不要教”的目的。
感受平行线的“唯一性”，每一个学生在探究中，每人都是积极探究者，过直线外一点与已知直线平行线，有且只有一条，不同的同学画得直线不同，重合在一起，说明过直线外一点，千万个同学，可以画出千万条直线，实质是同一条直线。这就帮助学生深刻地体认平行的基本事实。比讲上很多遍强多了。
以上是突破平行的基本事实难点的做法与体验，即是教学后基于片段教学的反思。上过课马上做，不要拖延，在表达过程中，流淌出智慧的想法与新颖的尝试方略。日积月累，教学研究本领与研究眼光，发生质的变化。这叫写出智慧型老师。
E. 如何利用课本实验培养学生实验解题能力
在新课程实施的今天，我们许多师生并没有很好地利用课本，教师在数学的教学过程中，只注意算式的演算步骤，只注重逻辑的严密推理，而忽视对数学课本的阅读；学生认为阅读只是学习语文、英语的事。教师在课堂上深入浅出地讲解，讲完之后就让学生做练习或板演，然后进行课堂小结、布置作业。学生往往缺乏阅读数学课本的能力和习惯，似乎阅读数学课本是老师的事，自己只要听懂课，会解题就行了。数学课本通常仅当习题集用，正文是从来不看的，偶尔老师布置了“看书”的作业，学生以为是“软作业”，不需要检查，于是浮光掠影、一目十行，草草了事，读不准要点，读不出字里行间所蕴藏的数学思想，更读不出问题和自己的独到体会。因此，数学教学中必须重视数学阅读能力的培养。
一、明确阅读数学课本的重要性
创新心理学的研究表明，自学能力对于人的未来具有头等重要的意义，而阅读是自学的重要渠道，自学能力的核心是阅读能力。
阅读理解题是近几年来中考的常见题型，它由两部分组成：一是阅读材料，二是考查内容。这类试题折射出中考数学阅读理解题的一些特点：数学语言的符号化、逻辑化以及严谨的演绎归纳，还时时地呈现出抽象的特点，它要求考生在短时间内读懂并理解一个陌生数学问题的情景，然后运用所学知识和已掌握的解题技能灵活地进行解题，主要考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、文字概括能力、书面表达能力及应变能力和知识迁移能力，所以数学阅读有别于语言文字类学科的阅读。
无论是中考的要求，还是终生学习的需要，我们都必须重视数学阅读能力的培养。
新数学课程标准已明确指出，教师必须注意“指导学生认真阅读课本”。美国着名数学教育家贝尔就数学课本的作用及如何有效地使用数学课本曾作过较为全面的论述，其中重要的一条就是要把课本作为学生学习材料的来源，而不能仅作为教师自己讲课材料的来源。课本是数学专家集结过去经验，在充分考虑学生心理、生理特征、教育教学质量、数学学科的特点等诸多因素的基础上精心编写的，具有极高的阅读价值，是任何教辅用书替代不了的。因此，培养学生阅读能力的根本在于落实数学课本的阅读。
二、激发学生阅读数学课本的兴趣
美国着名心理学家布鲁诺认为：“知识的获取是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动接受者，而应该是知识获得的参与者。”因此，在阅读初期，首先要激发学生的阅读兴趣，复习与问题有关的知识，创设最佳情境，形成阅读预期。问题情境对于学生来说，是引发认知冲突的条件，对于教师来说，是引发学生认知冲突的手段。教师可以利用各种各样的问题情境（如意外的情境，不对应情境，选择的情境，冲突的情境，反驳的情境等）激发学生的兴趣和求知欲，使学生的理智和情绪处于启动状态。
例如：在教学“等比数列求和”一课时，创设这样的问题：“同学们，我愿意在一个月内每天给你100元钱，但在这个月内，你必须第一天回扣给我1分钱；第二天回扣给我2分钱；……即后一天回扣给我的钱数是前一天的2倍，有谁愿意？”该问题引起了学生的极大兴趣，很多学生说愿意，他们还不知道乘方的意义，写出给我的回扣应是1+2+4+……+229分，该和究竟有多大？学生跃跃欲试，但无从下手，接着我让学生阅读“等比数列求和”一节。
三、使学生掌握阅读课本内容的方法
数学课本内容不外乎概念、定理、公式以及例题、图表等。下面我分别讲述理解上述内容的阅读方法。
1、概念的阅读
要正确理解概念中的字、词、句，能正确进行文字语言、图形语言和符号语言的互译；要弄明白概念的内涵和外延，就是说既能区分相近的概念，又能知道其适用范围。
例如：阅读直线与平面垂直这一定义：“直线与平面内任意一条直线垂直，则直线与平面垂直。” 学生只读这句话是不够的。首先学生应利用学生生活中已有的“砌墙”的直观认识，再让学生用三角尺在桌面上转动一直角边不同的情况下，观察另一直角边是否垂直桌面。进一步的理解“任意”二字的含义，再探索只限于平面垂直的判定定理。在此基础上，再思考：
（1）在平面里找一条直线与已知直线垂直行吗？
（2）找几条较合适？
（3）这几条直线应具备什么位置关系呢？
紧接着，让学生借助长方体模型找出直线与平面垂直的判定定理，指出应在平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可。然后再让学生动手比划试，教师引导学生应用直线与平面垂直的定义去解释，使学生在反思中不断提升对概念的理解。
2、定理、公式的阅读
首先定理、公式的产生基本上都是为了研究公式所研究的内容而服务的，只不过不同的公式、定理，其发生、发展的过程可能不一样，教师对公式发生、发展过程都必须了解清楚，然后引导学生在阅读中探索这个过程。学生的能力，资料有限，这些内容须经过教师导入引发学生的兴趣，激发学生自我发现的欲望，在探索中经历知识的发生、发展过程。对定理本身的理解，可以通过以下几个方面：
（1）分析定理中的已知要素及解决什么问题。
（2）仔细研究证明过程，从中吸收思想方法、思路及策略经验，体会课本上不同的定理公式推导中用的方法。
（3）注意体会公式的应用条件及应用范围
每一个定理、公式都是研究某一个方面的内容。因此，它有一定的使用范围，我们要从阅读中体会这些应用条件和范围，从中得出一些经验体会。
（4）注意定理、公式的变形与拓展
例如：在学习扇形的面积公式时，同学们推得 ，并通过比较扇形面积公式与弧长公式 ，得出扇形面积的另一种计算方法 。接着老师让同学们解决两个问题：
问题1：求弧长为 ，圆心角为120°的扇形面积。
问题2：某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知 和 所在的圆的圆心都是点O， 的长为 ， 的长为 ，AC=BD= ，求
⑴请你解答问题1；
⑵在解完问题2后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式 类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积 。他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由。
本题要求利用课本中扇形面积与弧长公式的关系，运用转化的思想，才能有突破，如果平时只记忆公式，而缺乏对课本公式来源过程的阅读，就不知道如何推导。
3、例题的阅读
例题是所学内容的应用举例。课本例题一般都具有典型性、示范性和关联性，它们或是渗透着某些数学方法，或是体现了某种数学思想，或提供某种重要结论。它既有内容的应用意识，也有巩固学生对内容的理解和掌握作用。看例题要求学生先自己做，然后对比，从中可以知道自己思维的严密性与逻辑推理能力，也能看出自己书写的规范性，找出差距，从而提高解题能力。
例如：北师大版必修1第二章《4.2二次函数的性质》的例3：
绿源商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多售出40 瓶。在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：售价定为多少元和从工厂进多少瓶时，才可获得最大的利润？
课本中的解答：
设销售价为x元/瓶（x>3），则根据题意（销售量=进货量），正好当月销售完的进货量为 即400（9-2x）瓶
此时所得的利润为
根据函数的性质，当 时，f(x)取得最大值450.
这时进货量为 400（9-2x）=400（9-2x ）=600瓶。
故销售价为 元，购进600瓶是可获得最大利润为450元。
学生阅读时应思考以下一些问题：
（1）若每降低0.05元，此时销售多少瓶，平均每瓶盈利为几元？
（2）若每降低0.10元，此时销售多少瓶，平均单株盈利为几元？
（3）若每降低x元，此时销售多少瓶，平均单株盈利为几元？
（4）每盆盈利=____________×________________
学生带着这些层层深入的问题认真“读题，审题”，也就能深刻理解课本的解题过程，掌握知识的来龙去脉，收效显着,触类旁通。
4、图形表格的阅读
要重视文字阅读，但也要重视图形表格的阅读。不少同学在阅数学课本时，往往对课本中的文字叙述十分重视，能仔细阅读，但对课本中的图形表格就不太重视，眼光一扫而过。数形结合是数学的基本思想方法，这些图形表格出现在书中是有它的意义的，认真看看，会使你对这部分内容有更直观的感受，从而有更深刻的理解。
例如：在数学活动中，小明为了求 的值（结果用n表示），设计如图1所示的几何图形，即先把边长为1的正方形平分成两个矩形，再把所得的其中一个矩形平分，依次类推下去。（1）请年利用这个几何图形求 的值；（2）请你再利用图2，再设计一个能求 的值的几何图形。
F. 数学实验怎么做
看是什么实验，做实验都是差不多的。和其他科目的实验一样的。老师会说的。
G. 六年级数学表态发言稿
引导语：怎样写一份六年级数学表态发言稿？六年级数学表态发言稿范文哪里有？接下来是我为你带来收集整理的文章，欢迎阅读！
各位领导、同行：上午好
我代表数学组把我们数学教师的课堂教学和教学成绩，向各位领导，老师作以汇报。
xx初中数学教研组是一个团结协作、积极向上，勤奋好学、教研气氛浓厚的教学集体。从实施学讲计划以来，我校数学教研组以“学讲方式”为契机，以新课程理念为导向，以促进每个学生发展为目标，以解决数学课堂教学的各种实际问题为任务，立足校本，在课程改革的浪潮中，一路走来，接受着诸多的冲击与洗礼。在此期间，我们有过成功的体验，也有颇多问题的困惑。两年来，教师的知识观、质量观发生了巨大的变化，由原来只注重知识的传授转到注重知识生成内化、知识应用和能力培养教育，由过分追求学科的严密性转到注重数学教育的育人性;由注重学生学习的结果转到注重学生实践探索和交流的主动学习。互动、和谐、教学相长的师生关系逐步形成，学生已基本形成探索性学习方式，养成独立思考，勇于探索的精神。学生在学习的过程中，不但学会了独立思考和自主探索，懂得了如何与他人合作、交流，还学会了评价、质疑与反思;应用意识和实践能力得到了培养，创造力得到了充分的发挥。与此同时，新课程改革下的数学课堂也存在一些问题。所有的这些都值得我们去深刻的思考，下面就具体谈谈课改几年来的收获。
过去的课堂教学，大都是教师给学生的“填压式”教学，唯恐自己课讲的不详细、讲的不完整。对一节课的内容讲了又讲。感到时间不够时又占用课外时间给学生补。然而学生根本没有思考的时间，对教师所讲内容的理解也就一知半解。教师讲的再多又有什么作用呢?学讲计划要求把课堂还给学生，使学生成为课堂的主人。然而，有很多教师仍然唯恐讲的不够;还有一些教师在现代化教学用具的掩盖下继续着“满堂灌”。结果造成教师教得十分辛苦，学生学的异常辛苦，教学效果依然不佳。对此我们数学组经过漫长的摸索，由简单的模仿，到把学讲理念带进课堂，形成了我们自己的特色，教学环节加以修改，从机械的六步模仿，改变为复习旧知 情境创设 引入新知 例题精讲 质疑拓展 检测反馈 小结思考 ，课堂活动中我们主要抓好五个多即多看、多想、多做、多说、多议。下面我结合我们数学组的优秀教师的体会和我不成熟的看法。
1.多看，提高学生们的观察能力
“看”是获得数学知识必要的前提，要给学生足够的观察机会，不断提高学生的观察品质。如在教学“年、月、日”时，要求学生带来一些挂历，然后将连续几年的挂历挂在教室里，上课开始就让学生按要求去看这些挂历。同学们饶有兴趣地看完后很快得出该教学的基本内容，教学效果特别好。在教学“三视图”时，让学生把事先准备的物体摆在桌子上，要求他们在不同的角度(走出座位)观察这些物体的形状。同学们饶有兴趣的互相看看，并进行交流意见。这样学生很快地就能掌握本节课要学的知识，教学效果特别良好。
又如，在学习圆周角定理时，可以通过教具移动圆周角顶点的位置，让学生观察一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角的位置关系，通过观察，许多学生就能够发现当圆心在圆周角的一条边上，同一弧所对的.圆周角相等，同一弧所对的圆周角比圆心角小。然后让学生先猜想，再证明同一弧所对的圆周角和圆心角的关系，教学效果就很好。
2.多想，提高学生们的思考能力
教学中最重要的是让学生有思考的机会，思考可以激发学生学习的兴趣。如“三角形内角和”的引入部分，我先要求学生拿出自己预先准备的三个不同的三角形(直角、锐角和钝角三角形)，各自用量角器量出每个三角形中三个角的度数，然后分别请几个学生报出不同三角形的两个角的度数，我当即说出第三个角的度数。一开始，有几位同学还不服气，认为可能是巧合，又举例说了几个，都被我一一猜对了，这时学生都感到惊奇，教师的答案怎么和他们量出的答案会一致的。“探个究竟”的兴趣因此油然而生。
思考可以使学生的脑海中形成印象。如学习“面积单位”后，让学生闭上眼睛，想想“1平方厘米在脑海中究竟有多大?”其目的就是让“1平方厘米”的实际大小在学生头脑中形成准确的表象，并牢牢地贮存起来。学习了平面几何图形和几何体后，让学生闭上眼睛想想。它们的形状各是怎样的，有何特点?使学生头脑中形成准确的表象并牢牢地贮藏起来。
3.多做，提高学生们的动手操作的能力
学生们天生好动，通过动手操作，可使学生的手、眼、脑、等协同发展。许多数学问题，通过让学生动手操作，不仅容易理解、记忆牢固，而且运用自如。教材中安排的“量一量”“剪一剪”“拼一拼”“画一画”等环节，教师一定要安排学生去做，绝不能图省事、省时而忽视这个环节。数学实验手册的出现说明了数学实验的重要性。 多做可以加深对抽象问题的理解，化难为易。例如空间里的平行、垂直关系。对于初一的学生，缺乏立体空间概念。于是在上课时，我们让学生带来硬纸板、剪刀、浆糊等工具，亲自动手做一个长方体或正方体作为模型。利用这个立体模型，来讲授立体空间中线与线、面与面以及线与面的平等、垂直关系，学生轻而易举就掌握了这些抽象难懂的知识。
4.多说，提高学生们的表达的能力
语言是思维的载体，是头脑中思维的外化。应试教育下的教学是教师的“一言堂”。教师唯恐学生的发言耽误了教学时间。但是堵住学生的嘴巴，无疑就是束缚了学生的思维。因此，数学课堂教学中应让每个同学都有口头表达的机会。学生说说公式的由来、计算的原理、思路的过程等等。这也是给学生多了思考的过程，对学习能够起到事半功倍的作用。例如：当教学完菱形、正方形的面积后，引导学生及时总结并说出对角线互相垂直的任意四边形面积求法。这样当学生们在遇到对角线互相垂直的梯形时就很容易求出它的面积了。这些不仅有利于知识的巩固，更有利于思维的激活和发展。
5.多议，通过学生议论学生可以集思广益，发现规律和总结结论，这需要我们教师设置一些有开放性的问题。 还要提供给学生交流机会。新课程提倡生生互动，师生互动。学生畅所欲言，各抒已见，通过议一议可以让相互取长补短。
另外，我们数学组认真抓好一周一练。周周练是我们学校的法宝，为此，我们学校专门成立了数学命题小组，每个年级有2人负责周练试卷，然后教务处负责审核，周练抓的是基础，面向全体学生，以便大面积提高教学质量，同时也要抓好优生。
由于数学教研组工作扎扎实实，勇于探索，在实践中取得了一定的成效，每一位教师参加教育教研已经成为了自己自觉的行为，在学校的各项工作中发挥着巨大的作用，教学成绩名列前茅，使xx中学的数学迈上了一个新台阶。借此机会，我代表我自己感谢我们的数学教师，工作任劳任怨，从不推辞，使我们数学教学工作有效开展。
尊敬的各位领导、老师、亲爱的同学们：
大家好！
在这秋风送爽的日子里，我们告别了快乐的暑假，回到了美丽的校园，又迎来了一个崭新的学期。很荣幸，我今天能够代表新教师在这里发言。 作为教师，在新学期里，我们依然会孜孜不倦，以敬业务实的工作精神开拓、进取； 立足于讲台，向课堂教学要效率、要质量。用新鲜的活水浇灌求知的心灵，用灵动的智慧音符去弹奏学生的“心灵之乐” ，用和煦的道德微风去抚慰学生稚嫩的灵魂！ 并力争在新的学期里取得更大的成绩。“天高任鸟飞，海阔凭鱼跃”。
因为选择了这个职业，就注定我们的梦想、荣誉都与学生连在了一起。你们是幸福的，我们就是快乐的；你们是进步的，我们就是欣慰的；你们是成功的，我们才是优秀的。“做为一名年轻教师我们面对的是机遇也是挑战，要严于律己，爱岗敬业、厚德爱生，以自己的一腔热诚投入到工作中去，做到积极主动的学习，虚心请教他人，做好日常的备课、上课与批改工作，充分利用课堂40分钟，让学生体会“快乐学习，学习快乐”的宗旨；把自己的一片爱心奉献给学生，真诚的为每一个学生的成长和发展服务，让自己在这个神圣的岗位上实现人生价值。
最后，感谢学校领导、老师们一直以来对我们的关心和照顾。祝全体老师在新学期身体健康，工作顺利！祝同学们快乐成长，学习进步！祝我们学校的发展更加辉煌！谢谢大家。
H. 怎样开展数学实验教学
数学实验教学是新课程探究式教学的一种新形式,它是为了探究数学知识、发现数学结论(或假设)而进行的某种操作、试验或思维活动。数学实验教学过程通常运用数学实验,创设问题情境,引导学生参与实践,自主探索,合作交流,从而发现问题,提出猜想,验证猜想和创造性解决问题
I. 如何用Excel来做数学实验
你好，我喜欢数学，也学过统计的理论。我尽力帮助你吧，如果你对你有所帮助，我就满意了，谢谢。 你看看下面的： EXCEL区间估计与假设检验一、CONFIDENCE（置信区间）函数CONFIDENCE（alpha, standard-dev, size）返回总体平均值的置信区间。Alpha（即α）是用于计算置信度的显着水平参数。置信度等于（1－α），亦即，如果α为0.05，则置信度为0.95。Standard-dev 数据区域的总体标准差，假设为已知（实际中，总体标准差未知时通常用样本标准差代替）。Size 样本容量（即n）。如果假设α等于0.05，则需要计算标准正态分布曲线（1－α＝0.95）之下的临界值，查表知其临界值为±1.96。因此置信区间为：。。。。。。。。。。。。。。 我们可以在EXCEL中分别在：◆B1单元格中输入样本容量200；◆B2单元格中输入样本比率85％； ◆在B3单元格中输入计算样本比率的标准差公式“＝SQRT（B2*（1－B））”；◆在B4单元格输入α为10％； ◆在B5单元格中输入表达式：“CONFIDENCE（B4，B3，B1）”， 具体见（ http://211.68.176.11/jingpinke/wangluojiaoxue/jingpinkejian/tongjixue/shiyan/EXCEL/2.doc）。 供你参考，谢谢。