1. 数学常用的数学思想方法有哪些
数学常用的数学思想方法主要有:用字母表示数的思想,数形结合的思想,转化思想 (化归思想),分类思想,类比思想,函数的思想,方程的思想,无逼近思想等等。
1.用字母表示数的思想:这是基本的数学思想之一 .在代数第一册第二章“代数初步知识”中,主要体现了这种思想。
2.数形结合:是数学中最重要的,也是最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想。“数缺形时少直观,形无数时难入微”是我国着名数学家华罗庚教授的名言,是对数形结合的作用进行了高度的概括。
3.转化思想:在整个初中数学中,转化(化归)思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决,如化繁为简、化难为易,化未知为已知,化高次为低次等,它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。
4.分类思想:有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类,三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。
5.类比:类比推理在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义.它能触类旁通,启发思考,不仅是解决日常生活中大量问题的基础,而且是进行科学研究和发明创造的有力工具.
6.函数的思想 :辩证唯物主义认为,世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中,这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。
7.方程:是初中代数的主要内容.初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法,在初中阶段就要形成方程的思想.所谓方程的思想,就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系,通过设未知数、列方程或方程组,解方程或方程组等步骤,达到求值目的的解题思路和策略,
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。
从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用。
2. 一般的数学思想方法有哪些
【中学数学常用的解题方法】 数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法,可以促进教师进 一步熟练地掌握中学数学教材,练好解题的基本功,提高解题技巧,积累教学资料,提高业务水平和教学能力。 下面介绍的解题方法,都是初中数学中最常用的,有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。 1、配方法 所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。 通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等 变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析 式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、 一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取 公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是 在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解 题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求 根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关 于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题 方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法 在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程 (组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解 题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。 7、反证法 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导 致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种 )与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是; 存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一 个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。 推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾 ;自相矛盾。 8、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证 明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几 何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来, 通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时 可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。 9、几何变换法 在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任 一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法 下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。 将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。 几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。 10.客观性题的解题方法 选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧,形式灵活, 可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。 填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有考查目标明确,知识复盖面广,评卷准确迅速,有利于 考查学生的分析判断能力和计算能力等优点,不同的是填空题未给出答案,可以防止学生猜估答案的情况。 要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、严密的推理外,还要有解选择题、填空题的方法与技巧。 下面通过实例介绍常用方法。 (1)直接推演法:直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案, 这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法。 (2)验证法:由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找 出正确答案,此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时,常用此法。 (3)特殊元素法:用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去,从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。 (4)排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下 的结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。 (5)图解法:借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断,作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。 (6)分析法:直接通过对选择题的条件和结论,作详尽的分析、归纳和判断,从而选出正确的结果,称为分析法。 ---------本文由智康教育提供,如需转载请标注----------
3. 数学方法包括哪些
所谓方法,是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式.人们通过长期的实践,发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序.同一手段、门路或程序被重复运用了多次,并且都达到了预期的目的,就成为数学方法.数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法,即用数学语言表达事物的状态、关系和过程,经过推导、运算与分析,以形成解释、判断和预言的方法.
数学方法具有以下三个基本特征:一是高度的抽象性和概括性;二是精确性,即逻辑的严密性及结论的确定性;三是应用的普遍性和可操作性.
数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用:一是提供简洁精确的形式化语言,二是提供数量分析及计算的方法,三是提供逻辑推理的工具.现代科学技术特别是电子计算机的发展,与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成.
在中学数学中经常用到的基本数学方法,大致可以分为以下三类:
(1)逻辑学中的方法.例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等.这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则,又因为运用于数学之中而具有数学的特色.
(2)数学中的一般方法.例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法,在代数中常称图象法,在我们今后要学习的解析几何中常称坐标法)、比较法(数学中主要是指比较大小,这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法,以及将来要学习的向量法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等.这些方法极为重要,应用也很广泛.
(3)数学中的特殊方法.例如配方法、待定系数法、加减(消元)法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法,以及平行移动法、翻折法等.这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用,我们不可等闲视之.
4. 数学方法有哪些
数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程,并加以推导、演算和分析,以形成对问题的解释、判断和预言的方法。所谓方法,是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式.人们通过长期的实践,发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序。同一手段、门路或程序被重复运用了多次,并且都达到了预期的目的,就成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法,即用数学语言表达事物的状态、关系和过程,经过推导、运算与分析,以形成解释、判断和预言的方法。
在中学数学中经常用到的基本数学方法,大致可以分为以下三类:
(1)逻辑学中的方法
例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则,又因为运用于数学之中而具有数学的特色。
(2)数学中的一般方法
例如建模法、消元法、降次法、代入法、图像法(也称坐标法,在代数中常称图像法,在我们今后要学习的解析几何中常称坐标法)、比较法(数学中主要是指比较大小,这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法,以及将来要学习的向量法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等.这些方法极为重要,应用也很广泛。
(3)数学中的特殊方法
例如配方法、待定系数法、消元法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法,以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用。
5. 小学数学常用的方法有哪些
1、对应思想方法
对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法,小学数学一般是一一对应的直观图表,并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法
假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设,然后按照题中的已知条件进行推算,根据数量出现的矛盾,加以适当调整,最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维,掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体,从而丰富解题思路。
3、比较思想方法
比较思想是数学中常见的思想方法之一,也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中,教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况,可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法
用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容,这就是符号思想。如数学中各种数量关系,量的变化及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。
5、类比思想方法
类比思想是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解,而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6、转化思想方法
转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法,而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等,在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
6. 数学思维的一般方法有哪些
数学思想方法有:函数的思想、分类讨论的思想、逆向思考的思想、数形结合思想、函数与方程、化归与转化、整体思想、转化思想、隐含条件思想、极限思想。
3.逆向思考的思想
逆向思维,也称求异思维,它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式 ,敢于“反其道而思之”,让思维向对立面的方向发展,从问题的相反面深入地进行探索,树立新思想,创立新形象。
4.数形结合思想
数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分,数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合,或形数结合。
7. 数学思维和方法有哪些内容
1、数学思维方法有哪些
一、转化方法:
转化思维,既是一种方法,也是一种思维。转化思维,是指在解决问题的过程中遇到障碍时,通过改变问题的方向,从不同的角度,把问题由一种形式转换成另一种形式,寻求最佳方法,使问题变得更简单、更清晰。
二、逻辑方法:
逻辑是一切思考的基础。罗辑思维,是人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的思维过程。罗辑思维,在解决逻辑推理问题时使用广泛。
三、逆向方法:
逆向思维也叫求异思维,它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”,让思维向对立面的方向发展,从问题的相反面深入地进行探索,树立新思想,创立新形象。
四、对应方法:
对应思维是在数量关系之间(包括量差、量倍、量率)建立一种直接联系的思维方法。比较常见的是一般对应(如两个量或多个量的和差倍之间的对应关系)和量率对应。
五、创新方法:
创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程,通过这种思维能突破常规思维的界限,以超常规甚至反常规的方法、视角去思考问题,提得出与众不同的解决方案。可分为差异性、探索式、优化式及否定性四种。
六、系统方法:
系统思维也叫整体思维,系统思维法是指在解题时对具体题目所涉及到的知识点有一个系统的认识,即拿到题目先分析、判断属于什么知识点,然后回忆这类问题分为哪几种类型,以及对应的解决方法。
七、类比方法:
类比思维是指根据事物之间某些相似性质,将陌生的、不熟悉的问题与熟悉问题或其他事物进行比较,发现知识的共性,找到其本质,从而解决问题的思维方法。
八、形象方法:
形象思维,主要是指人们在认识世界的过程中,对事物表象进行取舍时形成的,是指用直观形象的表象,解决问题的思维方法。想象是形象思维的高级形式也是其一种基本方法。
如何锻炼自己的数学思维?
一、做出来不如讲出来,听得懂不如说得通。
做10道题,不如讲一道题。孩子做完家庭作业后,家长不妨鼓励孩子开口讲解一下数学作业中的难题,我也在群里会经常发一些比较好的训练题,您也可以鼓励去想一想说一说,如果讲得好,家长还可进行小奖励,让孩子更有成就感。
二、举一反三,学会变通。
举一反三出自孔子的《论语·述而》:“举一隅,不以三隅反,则不复也。”意思是说:我举出一个墙角,你们应该要能灵活的推想到另外三个墙角,如果不能的话,我也不会再教你们了。后来,大家就把孔子说的这段话变成了“举一反三”这句成语,意思是说,学一件东西,可以灵活的思考,运用到其他相类似的东西上!
在数学的训练中,一定要给孩子举一反三训练。一道题看似理解了,但他的思维可能比较直线,不多做几道举一反三或在此基础上变式的题,他还是转不过玩了。
举一反三其实就是“师傅领进门,学艺在自身”这句话的执行行为。
三、建立错题本,培养正确的思维习惯
每上第一次课,我所讲的课程内容都和学生的错题有关。我通常把试卷中的错题摘抄出几个典型题,作为课堂的例题再讲一遍。而学生的反应,或是像没有见过,或是对题目非常熟悉,但没有思路。这些现象的发生,都是学生没有及时总结的原因。所以第一次课后我都建议我的学生做一个错题本,像写日记一样,记录下自己的错题和错因分析。
一般来说,错题分为三种类型:第一种是特别愚蠢的错误、特别简单的错误;第二种就是拿到题目时一点思路都没有,不知道解题该从何下手,但是一看到答案却恍然大悟;第三种就是题目难度中等,按道理有能力做对,但是却做错了。
尤其第二种、第三种,必须放到错题本上。建立错题本的好处就是掌握了自己所犯错的类型,为防范一类错误成为习惯性的思维。
四、图形推理是培养逻辑思维能力最好的工具
假是真时真亦假,真是假时假亦真;逻辑思维是在规则的确定下而进行的思维,如果联系生活就属于非常规思维。一切看似与生活毫无联系却自在法则约束规范的范围内。逻辑推理的“瞒天过海”可谓五花八门,好似一个万花筒,百变无穷,乐趣无穷。
几何图形是助其锻炼逻辑思维的好工具,经典的图形推理题总有其构思、思路、巧妙的思维;经典在于其看似变态,而实际解法却简而又简单。
因此,多训练一些图形推理题,对其逻辑思维很有帮助。
8. 论文:一般化思想在数学中的应用
1 、一般化的含义及性质
数学对象的一般化是与特殊化相反的一个过程.如果对象A和B相化,且此时称B是A在D下的一般化产物.比如,从圆到椭圆、从圆的直径到圆的弦、从形如x4+ax2+b=0的四次方程到一般的形如x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=0的四次方程属平凡标准下的一般化;从Abel群到环、从线性度量空间到线性拓扑空间、从群到拓扑群等属非平凡标准下的一般化(标准是什么,后面再涉及).对关于对象X的命题(或一般地某种语句),将X换以更一般的对象并对语句适当调整,便得一般化命题.
比如,“存在有无穷多个自然数n,使得2n+1、3n+1为完全平方数”,可一般化成“存在有无穷多个自然数n,使得对给定的自然数m而言,mn+1、(m+1)n+1为完全平方数”.这是加拿大1989年第30届国际数学奥林匹克(IMO)训练题之一.后一命题是将前一命题中的2换成一般的自然数m所得的产物.
需要指出的是,在对命题进行一般化时,如何看待命题中所涉及的对象,直接影响着一般化后命题的真伪.例如,若将“三角形内角和等于180°”中的“三”换成一般自然数n(n≥3),一般化命题“n边形内角和等于180°”显然不真;而若将180°写成(3-2)×180°,然后换3为n,所得一般化命题“n边形内角和等于(n-2)180°”却是真的.
与特殊化相同,一般化亦具有多向性、程度性(层次性)、条件性,以及特殊对象A到一般对象B具体实现道路的多元性.同时,对于一个数学对象来说,它不仅是一般化的起点,而且还可是一般化的终点——不同方向一般化的终点.
一般化的多向性源自对象一般化起点的多方面性.起点包含客观和主观双方的因素.客观因素是指对象构成的诸方面,主观因素是指对对象的解释——如何看待给定的对象,其中包含着人之主观能动性的发挥.从不同的起点出发,可得出不同的一般化产物.
例1 A=34这一对象有两个基本构成方面:底数3及指数4.将4一般化成变元x,A便一般化成了3x;将3一般化成变元x,A便一般化成了x4.3x和x4之间不具有特殊与一般的关系,是对A沿不同方向一般化的产物.
构件的一般化导致了对象本身的一般化.值得指出的是,并非在任何情况下构件的一般化都能导致对象的一般化.对象实际上可看作由某些构件按照一定的制约关系组成的一个系统,一个构件的变化要受到其他构件一定程度的制约,构件的变化不是绝对自由的.比如,2-1一般化成x-1后,x要受到指数-1的如下约束:x≠0.只有在一定的范围内,一般化才是有意义的.这符合“任何事物都有一个度——维持其质的度”的哲学道理.不仅构件的一般化能导致对象的一般化,构件间联系的减弱也能导致对象的一般化,而且这是一种一般化的重要方式:弱抽象的方式,这在后面我们要详细谈到这一点.这里我们仅举一例,以表明它也是造成一般化之多向性的原因之一(对象作为一个系统,其基本构成因素有两个:元素构件及其间的联系.构件的变化、联系的变化是对象变化的两个基本的客观方面).
2、一般化的应用
一般化是一条经济思维之路.一般化有利于提高思维效率.一般的问题解决了,特殊的问题往往亦能解决.一般对象的特征,特殊对象均具备.当人们理解了一般对象的特征后,便没有必要再对特殊对象一一证明其具有此性质.只要明确了对象是特殊的,我们便可断言它定具有此性质.这样,对一个一般对象的认识(在其特征方面)实际上包含了对诸多特殊对象在相关方面的认识,即一等价于多.从而,节省了人的思维力.比如,人们知道了“对实数a而言,a2≥0”以后,就没有必要再去验证22≥0,1.52≥0,(-0.02)2≥0,π2≥0,…诸如此类的结论.实际上这种验证手续也是不可能进行完毕的,因为实数的个数是无穷多,甚至是不可数的.再者,倘若人们仅限于这种验证工作,最终得到的只能是一些经验.没有无穷,不会产生带有普遍性的科学(庞加莱语).没有一般化,人们就不会从有穷过渡到无穷,数学不会产生,其他科学亦不会产生.
须指出,一般对象代替特殊对象是就某方面而言的,并非在任何方面皆如此.事实上,特殊对象之所以称为特殊对象,是因为其具有自己的特点或“个性”.比如,a2≥0中的a代替2(22≥0)只是相对“≥0”可行,2的其他性质(比如偶数性)不一定能从a中得出.
一般化是一条学术研究之路.它引导人们从特殊走向一般.比如,17世纪法国数学家帕斯卡(Pascal)于16岁发现的(现今称为)帕斯卡六边形定理(若一六边形内接于一圆锥曲线,则每两条对边相交而得的三点共线)经历了一个一般化的过程.他首先对特殊的圆锥曲线——圆发现了这一定理,然后通过投射和取截景实现由圆到圆锥曲线的一般化,证明它对所有圆锥曲线都成立.再如,对数学大师希尔伯特,人们一提到他,往往和形式主义、公理化方法联系起来,认为这是其思想的精华.其实,他还有另一个很重要的研究之路——由特殊到一般——一般化.着名的数学家韦尔在为英国皇家学会撰写的文章中谈到,“掌握一个具体的问题与形成一般的抽象概念,在这两者之间,希尔伯特总能幸运地取得平衡”.“希尔伯特在求解特殊问题的时候,总能敏锐地抓住向他显露出一般关系的迹象.希尔伯特在研究数论的那个时期中,阐明了关于类域的一般定理和一般的互反律,这也是说明上述因素的一个绝妙的例子”.“希尔伯特对数域理论……是在1892—1898年期间研究这一学科的.一篇篇论文问世,一步步从特殊到一般,涉及到许多有用的概念和方法,揭露出本质的内在联系”.拉格朗日、哈密尔顿亦有从特殊中发掘一般,由特殊过渡到一般的一般化研究风格.
一般化有助于增强认识的普遍性,扩展认识的范围,这是显然的.因一般化的直接体现就是对象外延的扩大.将小范围的事实扩展到更广泛的范围中去,也是一般化的目的之一.因事实(或思想)适应面的增大,为在大范围内应用这一思想奠定了基础.比如将连续函数在闭区间上的有界性定理、介值定理进行一定程度的推广后,就可在很多分析分支中被应用;将解方程x2+5x-7=0的配方手段
以后,就可解任意二次项系数为1的实系数二次方程(如x2-3x-5=0).在较具体的一般化手段中,符号化和抽象化是增强认识普遍性的两条重要途径.
数学(主要)是一种(符号)语言,它以大量使用各种符号为特点,而且随着历史的发展,这种特点日益强烈地表现出来(如希尔伯特的形式化观点提出以后,更加剧了这种趋势),或许可以说,尤以数理逻辑为甚.数学内容(对象、命题等)的一般化伴随着数学语言的变化——或者语词的变化(如多元函数的偏导数→方向导数;实数→复数;连续函数→勒贝格可积函数;等等),或者语义的变化(如普通微积分中的连续函数→拓扑学中的连续函数,同叫连续函数,但前者比后者特殊.函数的概念、级数收敛的概念在历史上亦经历了一个其内容由狭义到广义即由特殊到一般的过程).在一定程度上,可以说,符号的引进为一般化奠定了语言基础.比如,在韦达(F.Vieta)有意识地、系统地使用字母以前,代数(方程论)还基本是语言表述代数,那时方程是用语言叙述出来而不是写成像ax2+bx+c=0的简洁形式的,人们处理的方程也只是用语言表述的各种很具体的方程.韦达引进符号后,情况发生了实质性的变化.他既用字母表示未知量及其乘幂,也用字母表示今天所谓一般的系数(常变数).通常他用辅音字母表示已知量,用元音字母表示未知量.借助于符号,就可给出二次方程的一般式ax2+bx+c=0,这是一类方程的共同表达式,是一般元, 而不是个别具体的方程.方程实现了一般化,人们便可考虑其一般解法,寻求求解二次方程的统一的、带有普遍性的方法,从而导致人们对方程求解之认识的升华.在这里,显然文字代数向符号代数的转变、个别方程的研究转向一般方程的研究是以符号的引进为前提的.另一方面, 引进符号,有时就是为了具体扩展已有认识范围,引进的符号,就是形式添加的新元素.这在“添加元素完备化原则”的运用过程中经常出现.比如,在自然数{1,2,…,n,…}的范围内,加法和乘法是封闭、畅通无阻的,但其逆运算减法和除法却不然.为了消除或突破这种局限性,人们引进符号0,-1,-2,…,-n,…,使得a+x=b总是可解——即减法封闭(消除了不畅通的障碍)的,并对这些数的乘法运算进行一系列规定,使得加法、乘法原来成立的规律(结合律、分的符号就是相应方程的形式解.当然,符号不能胡乱引进,引进的符原范围,相应范围的一般元也就实现了一般化.在这里,引进符号是一般化的直接实现者.这是数学推广的一种重要形式.
以抽象化的形式扩充认识范围的主要手段是公理化(公理可看作是对具体事物特征分离概括化的产物),包括形式化的近代公理化.人们对公理化系统进行研究以后,各种具体系统(满足所言诸公理)的相应性质也就明了了.代数结构是公理化的典型.用公理给出的对象不管其具体构成元素如何,只要元素间的关系满足诸公理就行.这种对象由于是由性质定义的(不是对象制约性质,而是相反),因而其具抽象性.一个公理系统的结论适应于满足这些公理的任一具体系统,而由具体系统得出的结论只适应于自己(是否对其他系统也对,尚需验证),因而公理化结论更具有普遍性.
一般化有助于增强认识的深刻性(普遍性和深刻性是科学的两个基本特征).人们进行一般化,并非仅仅为了一般化,它还为了能更好、更深入地认识特殊.
精确化、明晰化是认识深入化的重要标志.一般化就有利于认识的精确化.比如,关于矩阵的秩rk,在高等代数中有下述定理:
对矩阵An×m1,Bn×m2,有
max{rk(A),rk(B)}≤rk(A,B)
≤min{n,rk(A)+rk(B)}.
用高等代数的常用方法,不可能给出rk(A,B)的表达式,然而借助于逆矩阵的一般化——广义逆矩阵,就可以做到这一点,实现rk(A,B)公式的精确化:
rk(A,B)=rk(A)+rk[(I-AA+)B]
=rk(B)+rk[(I-BB+)A].
其中I是单位阵,A+、B+分别是A、B的加号逆(Moore-Penrose逆).在这里,概念的一般化导致了命题的精确化、定量化.
一般化是一条系统学习之路.如果人们将某学科或教材的概念单列出来,命题单列出来,按着由特殊到一般的顺序列成表,它将有助于人们的系统记忆,有助于学习的系统性.从理论上讲,这种表对科研亦有一定的指导作用.关于这些,我们将在下一节做较细致的说明.
9. 一般化什么意思
一般化是数学中带有普遍性的一种思想方法。是指从考虑一个对象或较少对象的集合过渡到考虑包含已给对象的更大集合的一种思想方法。
所谓数学思想,是指人们对数学理论与内容的本质认识,它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法,是指某一数学活动过程的途径、程序、手段,它具有过程性、层次性和可操作性等特点。
数学思想是数学方法的灵魂,数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段,因此,人们把它们称为数学思想方法。
在认知心理学里,思想方法属于元认知范畴,它对认知活动起着监控、调节作用,对培养能力起着决定性的作用。学习数学的目的“就意味着解题”(波利亚语),解题关键在于找到合适的解题思路,数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想。
因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,提高学生的元认知水平,是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。