数学中的变式是什么

⑴ 变式的概念和例子

变式一是指通过变更对象的非本质特征以突出对象的本质特征而形成的表现形式。二是指通过变更对象的本质特征以突出对象的非本质特征，从而显示概念的内涵发生了变化。

二、变式教学的意义

1.它是概念掌握的一种有效的方式，也是定理公式理解与掌握的一种重要的方式，通过变式可以使抽象的概念、原理等变得更加形象、具体，从各个侧面来展现概念、原理的内涵;另一方面，也可以通过变式，由特殊到一般，层层推进，归纳出具有一般性的结论，从而使得具体的、特殊的内容上升到一般性，使其理解更为深刻。

2.数学变式教学能培养学生的思维品质川。通过各种变式，揭示概念原理的实质，掌握其精髓，从而培养其思维的深刻性;通过各种变式展现概念原理灵活多变的形式等特点，并进行多方位、多角度的探索，提高数学应变能力，培养思维的灵活性和创新性;利用变式构造反例，揭示问题实质，培养其思维的批判性。

3.变式教学能培养学生的各种能力。运用各种图形变式，在对比、辨析、联想中培养学生的空间想象力;通过变式可以克服静止、孤立、片面地看问题的习惯，消除思维定势的影响，促使学生多角度、全方位地思考问题，从而培养学生的辩证思维能力等。

4.变式教学能激发学生的积极性和创新性。变式有助于启发学生分析数学问题的已知、未知及其相互联系，使其积极联想与之有关的新旧知识，探求解题途径。也鼓励学生不满足于会解一题，而是一类题;同时也不满足于一题一解，而是一题多解、一题巧解、多题一解，诱发其创造型。通过对问题的变式，不仅可以对学生的基础知识、基本技能进行有效训练，而且能调动学生积极参与教学活动，减轻学生负担，有利于学生创新能力的培养。

三、变式与数学概念的学习

1.通过直观或具体的变式引入概念

数学概念的一个基本特征是抽象性，但许多数学概念又直接来自具体的感性经验，因此，概念引入教学的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系。在平时教学实践中笔者发现，影响学生掌握几何概念的主要因素有三个：己具备的图形经验、概念的叙述以及掌握概念所依据的图形变式。以两条异面直线的概念教学为例。

异面直线概念的教学主要有两个难点：

一是概念的定义(内涵)比较抽象，学生不易理解;

二是异面直线属于三维图形，用平面直观图去表示难免会造成视觉上的失真，从而也为概念对象(外延)的鉴别带来困难。

针对这两个难点，我们老师通常会不自觉地用到下面两类变式:首先通过教室中的直观材料课桌、笔和书本建立感性认识，使学生理解概念的具体含义。

然后由直观材料抽象出图形变式，作为直观材料与抽象概念之间的过渡，使学生原有的感性经验从具体直观上升到图形的水平，进而掌握概念图形的基本特征，准确地把握概念的外延空间。

2.通过非标准变式突出概念的本质属性

学生认知的肤浅性，往往表现为从问题次要的、表面的形式上去观察和比较，而对问题主要的、本质的东西视而不见。

标准变式虽然有利于学生对概念的准确把握，但也容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延。解决这个问题的方法之一就是充分利用非标准变式，先显示标准的例程，再出示非标准的变式即先揭示概念的内涵后揭示概念的外延。

笔者在教学中摸索出的一种有效途径就是将概念的外延作为变式空间，将其所包含的对象作为变式，通过类化不同变式的共同属性而突出概念的本质属性。

3.通过非概念变式明确概念的外延

概念的内涵和外延是对立统一的，内涵明确则外延清晰。概念的教学除了在内涵上下功夫外，还应该使学生对概念所包含的对相集合有一个清晰的边界。

要明确概念的外延就必须划清概念与其相近概念之间的边界，这里的一条有效途径就是利用“非概念变式”，如：平面几何中的非概念图形，通过非概念图形与概念图形的比较，可以十分直观的理解概念的本质属性。

4.通过辨析型变式进一步深化概念的理解在概念形成之后，不急于应用概念解题，而是多角度、多方位、多层次地设计变式问题，给出有正有误或全误的解答，或一个问题给出多个答案，启发学生辨别正误，说出根据，帮助学生通过现象看本质。

通常是针对一些数学概念因内容或形式的相似、相近，易造成混淆，而在教学中设计这类问题，使学生学会客观的评价事物，培养学生批判性思维。如：引导学生探索长方体体积的计算方法。首先安排长方体体积与长方形面积的类比，启发学生猜测长方体的体积可能与长、宽、高有关。

然后变化长方体的长、宽、高中的一个量，比较体积的变化，使学生分别体会到“长、宽相同时，越高体积越大”、“长、高相同时，越宽体积越大”、“宽、高相同时，越长体积越大”。究竟长方体的体积与长、宽、高有什么关系呢?接着安排操作活动，引导学生用小正方体摆4个不同的长方体，并记下长、宽、高等有关数据。通过观察、分析这些数据，发现长方体体积与长、宽、高的关系，逐步归纳得出长方体体积的计算方法。

⑵ 数学变式什么意思

就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。

⑶ 什么是教学方法中的变式法

变式教学法,它的核心是利用构造一系列变式的方法,来展示知识发生、发展过程,数学问题的结构和演变过程,解决问题的思维过程,以及创设暴露思维障碍情境,从而,形成一种思维训练的有效模式.它的主要作用在于凝聚学生的注意力,培养学生在相同条件下迁移、发散知识的能力.它能做到结构清晰、层次分明,使优、中、差的学生各有所得,尝试到成功的乐趣,并激发学生的学习热情,达到举一反三、触类旁通的效果,使他们的应变能力得以提高,进而提高教学质量.

⑷ 初一数学定理教学中的变式（具体实施的措施）

素质教育是以培养具有创造性思维和创造能力的人才为目标而进行的创新教育为归宿的教育。在课堂教学中落实素质教育，就要贯穿“学生为主体，训练为主线，能力为主攻”的原则。现代数学课程标准指出：数学教学不仅仅要使学生获得数学基础知识,基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质,要通过各种途径，让学生体会数学思考和创造的过程，增强学习的兴趣和自信心,不断提高自主学习的能力。所以加强在教学中注重变式训练，可以促使学生的思维向多层次、多方向发散，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。
所谓数学变式训练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。数学教学，使学生理解知识仅仅是一个方面，更主要的是要培养学生的思维能力，掌握数学的思想和方法。
变式其实就是创新。当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。
一、在形成数学概念的过程中，利用变式启发学生积极参与观察、分析、归纳，培养学生正确概括的思维能力。
从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。
通过对式子的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此教师在以后的练习中也明确类似知识点的考查方向，防止教师盲目出题，学生盲目练习，在有限的时间内使得效益最大化。
二、在理解定理和公式的过程中，利用变式使学生深刻认知定理和公式中概念间的多种联系，从而培养学生多向变通的思维能力。
数学思维的发展，还赖于掌握、应用定理和公式，去进行推理、论证和演算。由于定理和公式的实质，也是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，所以掌握定理和公式的关键在于明确理解定理和公式中概念的联系，对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活应用定理和公式的根源，它是缺乏多向变通思维能力的结果。因此在定理和公式的教学中，也可利用变式，展现相关定理和公式之间的联系以及定理、公式成立依附的条件，培养学生辨析与定理和公式有关的判断，运用。
通过变式训练，是要防止形式地、机械地背诵、套用公式和定理提高学生变通思考问题和灵活应用概念、公式以及定理的能力。
三、在解题教学中，利用变式来改变题目的条件或结论，揭示条件、目标间的联系，解题思路中的方法之间的联系与规律，从而培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力。
（一）多题一解，适当变式，.培养学生求同存异的思维能力。
许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。
（二）一题多解，触类旁通，培养学生发散思维能力，培养学生思维的灵活性。
一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。
（三）一题多变，总结规律，培养学生思维的探索性和深刻性。
通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。
伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能。
譬如书本上有这样一道题，求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。教师可以不失时机地进行变式，调动起学生的思维兴趣。变式（1）顺次连接矩形各边中点所得四边形是什么图形？变式（2）顺次连接菱形各边中点所得四边形是什么图形？变式（3）顺次连接正方形各边中点所得四边形是什么图形？做完这四个练习，教师还可以进一步引导学生概括影响组成图形形状的本质的东西是原来四边形的对角线所具有的特征。
又如应用题教学是初中教学中的一个难点，在教学中就可以把同类型的题目通过变式的方式展现给学生，把学生的思维逐步引向深刻。
例如在讲解一元一次方程的实践和探究这节课时，教师从奥运冠军孟关良训练为题材编了一题关于追及问题的应用题，一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？然后教师可对本例作以下变式。
变式1：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？（从先行20米改为先行了20秒）
变式2：我们学校有一块300米的跑道在比赛跑步时经常会涉及到相遇问题和追及问题
现有甲、乙两人比赛跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他们两人同地出发
（1）两人同时相向而行经过几秒两人相遇。
（2）两人同时同向而行经过几秒两第一次相遇。
（3）乙先出发5秒，然后甲开始出发，问甲经过几秒两人第一次相遇。
这题该为平时学生熟悉的操场环形跑道，这里三题也是一组变式题，（1）、（2）是同时同地出发的相遇和追及问题，（3）是不同时出发相遇和追及问题，这题还蕴涵着分类讨论的思想。
变式3：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教练要求他用45秒追上快艇，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，他以每秒6米的速度划行，划了5秒后他发现用这样的速度不能在规定的时间内追上，请问他的想法用45秒不能追上快艇对不对？如果他要追上请你算一算孟关良后来要用多少速度才能在规定的时间内追上快艇？
这样的变式覆盖了同时出发相遇问题、不同时出发相遇问题、同时出发和不同时出发的追及问题等行程问题的基本类型。这样通过一个题的练习既解决了一类问题，又归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而不能自拔。
（三）一题多问，通过变式引申发展，扩充、发展原有功能，培养学生的创新意识和探究、概括能力。
牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。
教学中要特别重视对课本例题和习题的“改装”或引申。数学的思想方法都隐藏在课本例题或习题中，我们在教学中要善于对这类习题进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于知识的建构。 总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。特别是，变式训练能培养培养学生敢于思考，敢于联想，敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新精神。当然，课堂教学中的变式题最好以教材为源，以学生为本，体现出“源于课本，高于课本”，并能在日常教学中渗透到学生的学习中去。让学生也学会“变题”，使学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素质。

⑸ 什么叫变式题

1.变式题是指所用的思想方法类似,但形式不同的一类问题.
2.可以从性质、解题方法、图像等方面进行变式.
3.例如,比较2^3与2^5的大小 变式：求2^x>1的解集.

⑹ 怎么样在中学数学教学中进行变式训练

所谓数学变式训练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。数学教学，使学生理解知识仅仅是一个方面，更主要的是要培养学生的思维能力，掌握数学的思想和方法。
变式其实就是创新。当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。

一、在形成数学概念的过程中，利用变式启发学生积极参与观察、分析、归纳，培养学生正确概括的思维能力。

从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。

通过对式子的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此教师在以后的练习中也明确类似知识点的考查方向，防止教师盲目出题，学生盲目练习，在有限的时间内使得效益最大化。

二、在理解定理和公式的过程中，利用变式使学生深刻认知定理和公式中概念间的多种联系，从而培养学生多向变通的思维能力。

数学思维的发展，还赖于掌握、应用定理和公式，去进行推理、论证和演算。由于定理和公式的实质，也是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，所以掌握定理和公式的关键在于明确理解定理和公式中概念的联系，对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活应用定理和公式的根源，它是缺乏多向变通思维能力的结果。因此在定理和公式的教学中，也可利用变式，展现相关定理和公式之间的联系以及定理、公式成立依附的条件，培养学生辨析与定理和公式有关的判断，运用。

通过变式训练，是要防止形式地、机械地背诵、套用公式和定理提高学生变通思考问题和灵活应用概念、公式以及定理的能力。

三、在解题教学中，利用变式来改变题目的条件或结论，揭示条件、目标间的联系，解题思路中的方法之间的联系与规律，从而培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力。

（一）多题一解，适当变式，.培养学生求同存异的思维能力。

许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。

（二）一题多解，触类旁通，培养学生发散思维能力，培养学生思维的灵活性。

一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。

（三）一题多变，总结规律，培养学生思维的探索性和深刻性。

通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。

伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能。

譬如书本上有这样一道题，求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。教师可以不失时机地进行变式，调动起学生的思维兴趣。变式（1）顺次连接矩形各边中点所得四边形是什么图形？变式（2）顺次连接菱形各边中点所得四边形是什么图形？变式（3）顺次连接正方形各边中点所得四边形是什么图形？做完这四个练习，教师还可以进一步引导学生概括影响组成图形形状的本质的东西是原来四边形的对角线所具有的特征。

又如应用题教学是初中教学中的一个难点，在教学中就可以把同类型的题目通过变式的方式展现给学生，把学生的思维逐步引向深刻。

例如在讲解一元一次方程的实践和探究这节课时，教师从奥运冠军孟关良训练为题材编了一题关于追及问题的应用题，一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？然后教师可对本例作以下变式。

变式1：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？（从先行20米改为先行了20秒）

变式2：我们学校有一块300米的跑道在比赛跑步时经常会涉及到相遇问题和追及问题

现有甲、乙两人比赛跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他们两人同地出发

（1）两人同时相向而行经过几秒两人相遇。

（2）两人同时同向而行经过几秒两第一次相遇。

（3）乙先出发5秒，然后甲开始出发，问甲经过几秒两人第一次相遇。

这题该为平时学生熟悉的操场环形跑道，这里三题也是一组变式题，（1）、（2）是同时同地出发的相遇和追及问题，（3）是不同时出发相遇和追及问题，这题还蕴涵着分类讨论的思想。

变式3：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教练要求他用45秒追上快艇，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，他以每秒6米的速度划行，划了5秒后他发现用这样的速度不能在规定的时间内追上，请问他的想法用45秒不能追上快艇对不对？如果他要追上请你算一算孟关良后来要用多少速度才能在规定的时间内追上快艇？

这样的变式覆盖了同时出发相遇问题、不同时出发相遇问题、同时出发和不同时出发的追及问题等行程问题的基本类型。这样通过一个题的练习既解决了一类问题，又归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而不能自拔。

（三）一题多问，通过变式引申发展，扩充、发展原有功能，培养学生的创新意识和探究、概括能力。

牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。

教学中要特别重视对课本例题和习题的“改装”或引申。数学的思想方法都隐藏在课本例题或习题中，我们在教学中要善于对这类习题进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于知识的建构。

总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。特别是，变式训练能培养培养学生敢于思考，敢于联想，敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新精神。当然，课堂教学中的变式题最好以教材为源，以学生为本，体现出“源于课本，高于课本”，并能在日常教学中渗透到学生的学习中去。让学生也学会“变题”，使学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素质。

⑺ 小学数学教学中的变式教学

所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。

一、概念性变式

数学概念在教学中的变式主要包括两类：一类是改变概念的外延的呈现，即概念外在形式在变化，属于概念外延集合的变式；另一类是改变数学概念的内涵，即呈现于原概念有某些相同非本质属性的反例，它不属于原概念的外延集合。概念性变式是小学数学概念教学中的重要手段，其作用是帮助学生“去伪存真”，获取对概念的多角度理解与较全面的认识。

1．变化概念的非本质属性

所谓概念的非本质属性，是指对该概念不具有决定意义的属性。变化概念的非本质属性是在小学数学概念教学中采用最多的概念性变式。它的心理学依据是，概念变式在转换事物非本质特征时呈现了事物表象的多样性，丰富学生的感性经验，使他们认识概念外延集合的各种典型代表。

例如，在教学“梯形的认识”，一般教师都会给出一些“非标准”的梯形让学生识别，以帮助学生排除标准图形所带来的负面干扰，避免出现误将“上底长，下底短，腰反向（腰相等），无直角”等非本质属性当作梯形本质特征的片面认识。

那么，这一行之有效的教学方式如何在新课程改革背景下“与时俱进”呢？我认为可以尽可能地创造条件，变“教师演，学生看”为学生自己动手操作。仍以“梯形的认识”教学为例，我尝试了两种方式。

一是让学生把平行四边形沿直线剪成两个四边形，使它们都不是平行四边形（如图1）。

二是让学生用半透明的长方形与三角形纸片重叠出四边形（如图2）。

同样是观察变化非本质属性的变式图形，但观察对象不是教师提供的，而是学生自己动手构造的，两种方式都能使学生在生成性操作与观察活动中动态地认识发现梯形的共同特征，取得了较好的效果。这也说明变式直观的教学效果，在一定程度上取决于学生的主动性及独立性的发挥。

2．变化概念的本质属性

所谓本质属性，是指该类事物独有的、必然具有的，因而也是能与其他事物加以区分的属性。教学中适当地变化概念的本质属性，让学生通过辨析，从反例、错误中体会概念的本质属性，促进理解。

在实际教学中，上述两种概念变式也可以结合使用。例如“垂直”的概念辨析，图中是标准图形，是本质属性的改变，则是非本质属性的改变，它们从正反两面揭示了垂直概念的本质特征。让学生看图做出正确的判断，从而达到多角度理解概念，确切地把握概念本质特征的教学目标。

二、过程性变式

学生的数学学习过程是一个自主构建对数学知识理解的过程，他们带着自己原有的知识背景，活动背景和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，去建构对数学的理解。在小学数学教学实施过程性变式，旨在优化学生的学习过程，通过变式铺垫，建立学习对象与学习者已有知识内在、合理的联系，使学生逐步获取知识或解决问题。这也是数学数学课程改革理念在课堂教学中得到具体落实的体现。

1．意义建构的过程变式

意义建构的过程是新信息与长时记忆进行试验联系的过程，其中伴随着一个随时对建构结果进行检验的过程。为达成所学数学知识的有意义建构，教师就应关注学生的最近发展区，所谓最近发展区，指的是学习者独立问题的解决实际能力与在成人知道下或更有能力的伙伴合作下所达到的潜在发展水平之间的距离。教师在教学中实施意义建构的变式教学，就是强调教师通过适当的、动态的变式，引发、促进学生最近发展区的形成，最终实现潜在的发展水平。教学中，教师们常有的过程性变式教学策略“铺垫”就是形成数学知识意义建构的有效教学方式。

2．规律探究的过程变式

小学数学中的一些比较适合让学生进行探究学习的内容，比如关于物体面与体的很多计算公式，它们既具有相对的独立性，又有互相渗透，互相联系的层次性。

以梯形面积公式的推导为例，在此之前学生已经掌握了长方形（包括正方形）、平行四边形、三角形面积的计算公式，对图形的转换以及对转换思路“将面积计算公式未知的图形转换成面积计算公式已知的图形”也有了一定的认识。这些都是探究梯形面积公式时可利用的基础。

教学时先复习长方形、平行四边形、三角形的面积计算公式，并让学生叙述平行四边形，三角形的面积计算公式的推导过程。

接着提出探究目标：找出梯形的面积计算公式。

启发学生思考：

①你打算把梯形转化为什么面积公式已知的图形？

②怎么转化，是拼，还是割补，还是划分？

③你会计算转化后图形的面积吗？

④试一试，总结梯形面积计算公式。

在探究、交流的过程中，各种转化变式的出现是随机的，一节课内学生想到的变式种数也有较大的差异。我的对策是学生能得出几种就出示、交流几种，不求全。如果转化为平行四边形、长方形、三角形的三条基本思路和拼、割补、划分的三种基本方法有缺失，就启发感兴趣的学生课后继续探究。同样，学生采用不同的方法得到的不同算法，也不强求统一成梯形面积计算公式的标准形式。因为多样化的算法有利于开拓学生的思路，这也是实施过程性变式的目的之一。事实上学生最终都会认同梯形面积计算公式的标准形式：。

不同的学生数学学习的差异是客观存在的，规律探究的过程性变式关注的是学生的探究与体验，教师构建适当的变异空间，铺设适当的潜在距离，不同学生经历的过程、获得结果与感悟有所差异是自然的、正常的。

三、训练性变式

数学训练是数学教学不可缺少的环节，也是获取数学知识的有效手段。训练性变式包括训练题目的变式、解决方法的变式与训练实施的变式。数学的训练变式由来已久，很多教师都在自觉或不自觉设计、实施变式训练，但在以往的教学实践中多数教师最为关注的是解题方法的变式，追求解题方法的多样性。这里着重从习题的设计的视角讨论训练题的变式。

1．扩缩性变式

扩缩性变式就是依据数学知识之间内在的联系，在习题设计时采用改变条件或改变问题的方式，使数学问题的结构由简单到复杂（扩）或由复杂到简单（缩）地发生变化，以帮助学生“拾级而上”。“扩”反映了认知与训练逐步递进的发展、变化与深入，是一种“由薄到厚”的学习、训练过程；“缩”则体现了数学的“化归”思想．是一种“由厚到薄”的学习、训练过程。

例如．“解方程”的综合性练习可设计如下变式题组：

这是由简到繁的设计，意在凸显方程求解过程就是运用等式性质不断化简方程的过程，最终得到最简方程x＝2，从而帮助学生明确解方程的思路，掌握解方程的方法。实践表明，学生通过练习，确能有所感悟。

扩缩性变式在小学数学实际问题解决的教学与训练中有着比较广泛的应用，通常表现为把一个只需一步或两步计算的实际问题改变成需要两步、三步计算才能解决的实际问题，或者相反。这是问题解决复习课最常用的教学与训练方式之一，它能让学生看到实际问题发展变化的来龙去脉，有利于帮助学生形成“以简驭繁”的思路。

2．可逆性变式

可逆性变式是指数学题目中的条件与问题互相置换的变化。它要求教师在对学生进行正向思维训练的同时关注逆向思维的训练．从而有效地培养学生思维的变通性。可逆性变式也是实际问题解决的常用教学手段。例如，要求学生将求路程的题目改编成求时间或求速度的题目。实践表明，经常进行这种实际问题改编的口头练习，有助于学生掌握相关问题的结构，多侧面地掌握数量关系。

3．情境性变式

情境性变式主要用于实际问题解决的教学，通常是保留问题的数学模型，改变问题情境的内容。情境性变式不仅有利于学生“体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心”，还有助于提高学生运用所学数学知识分析、解决实际问题的能力。

例如，以“鸡兔同笼”问题为原型，我们设计了一组情境性变式：

①拼装9辆三轮车和自行车，共用了22个车轮。三轮车和自行车各装了几辆?

②l8个同学同时在6张乒乓球桌上进行单打、双打比赛。有几个同学在单打?

通过练习．使学生透过不同的问题情境看到相同的数学实质，如果列成方程，这些方程具有相同的结构形式：⑴设三轮车装了x辆，依题意，得方程3x＋2(9－x)＝22；⑵设有x张球桌在单打，依题意，得方程2x＋4(6－x)＝18。

显然，这对发展学生的抽象概括能力、对培养学生初步的数学建模能力都是非常有益的。

4．开放性变式

开放性变式是指改变题目的条件或者问题，使答案或解题策略具有多样性。它能突破思维定势的束缚。促进发散性思维的生成，是培养学生数学思维灵活性的一种有效途径。开放性变式可以分为条件开放、结论开放、策略开放三种类型。

条件开放如“在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的甲乙两地出发，小明每分钟行200米，小刚每分钟行300米，多少时间后，两人相距5000米”。这里去掉了两人的运动方向，导致出现相向、背向、同向（小明在前或小刚在前）等多种情况。

结论开放如“把正方形划分成四个形状、大小都相同的图形，你能想到几种分法”。

策略开放最常见的就是所谓“一题多解”的训练。这里就不再举例了。

一般来说，开放性变式训练应当在一定的基础性练习之后。根据教与学的需要设计并酌情进行。恰到好处的条件开放、结论开放、策略开放的变式训练，能够激发学生参与数学练习的兴趣，在达成知识技能学习目标的同时，也有利于学生发散思维、求异思维、直觉思维的培养。

此外，上面分别讨论的几种变式训练方式也可以综合使用，即形成“综合性变式”。例如，上面扩缩性变式给出的方程，其方程的解都是x＝2，反过来，要求学生“写出解是x＝2的方程”。这就是比较典型的可逆性变式与开放性变式相结合的变式训练。

变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。

总之，在新课标下的教师要不断更新观念，因材施教，继续完善好“变式”教学模式，最终达到提高教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。

⑻ 如何在初中数学课中进行变式教学

一、递进变异

递进变异是指题目由特殊到一般的变异，而解题需要的基础知识保持不变。一是题目的条件由特殊到一般，由简单到复杂变异，这样可形成递进式变式题组。递进式变式题组是指在课堂教学中，为了达到某一教学目的，根据学生的认知规律，合理、有效地设计一组数学问题，且这组数学问题又有一定的内在逻辑联系，即前一个问题是后一个问题的特殊情况，后一个问题是前一个问题的一般的、情况，这样由特殊到一般的题目组合称为递进式变式题组。这种递进式变式题组，层层递进，由浅入深，由简到繁，循序渐进，螺旋式上升，有利于学生对问题本质的深刻理解，进而掌握解题规律、突破教学难点。二是在解题的一般规律不变的情况下，通过变化非本质属性，有利于学生从中分离出一般的规律。三是有利于不同层次的学生。由于问题由简单到复杂，可使不同层次的学生顺着台阶一步步的往上爬，并从中掌握一般规律。例如，在“分式”的教学中，设计如下作业。

案例1：

六、几点思考

第一，基于变异理论进行变式教学，题目的变异要围绕不变的本质而展开。变异的目的是要学生通过几个实例发现并总结、归纳出解决问题的一般性原理（规律）. 因此，在进行变异时，首先要明确问题的本质，然后围绕问题的本质不变，变化非本质属性，以突出问题的本质属性，使此类问题的一般性原理凸出出来。

第二，重复有利于提高学生数学知识的记忆强度。变异是在本质不变的情况下展开的，也就是说学生解答此类问题运用的思想方法是相同的. 因此，学生要重复使用相同的原理解答题目，是一种重复的思维活动。认知心理学的研究表明，重复可以增强学生对知识的记忆，能够使长时记忆中的记忆强度增加，即记忆的痕迹大，这样在学生解答其他问题时，便于从长时记忆中提取需要迁移的信息，从而提高分析问题和解决问题的能力。

第三，变异有利于不同层次学生发现并总结掌握问题的一般原理。学生之间的差异是客观存在的，不同的学生其解决问题的能力，以及归纳、概括的能力是不同的. 因此，在进行题目变异时，要使题目有一定的梯度，也就是要递进式变异，由简单到复杂，从而使不同层次的学生都能够从中分析并发现一般性的原理。