❶ 高一数学问题（原象）
解答：原象就是（3,5） 象是（-2,8） 希望能对你有所帮助，谢谢采纳 不好意思哈，看错了。原象这样求{x-y=3,x+y=5} 解得x=4,y=1 原像是（4,1）
❷ 高一的数学有几本数学书分别是必修几到必修几
高一数学一共有四本数学书，分别是《高中数学必修一》、《高中数学必修二》、《高中数学必修三》、《高中数学必修四》。
1、《高中数学必修一》：是2007年人民教育出版社出版的图书，作者是人民教育出版社课题材料研究所、中学数学课程教材研究开发中心。该书是高中数学学习阶段顺序必修的第一本教学辅助资料。
2、《高中数学必修二》：是2007年9月由人民教育出版社出版的图书，作者是王申怀。该书主要内容是认识空间图形，通过对空间几何体的整体把握，培养和发展空间想象能力。
3、《高中数学必修三》：是新课标高中数学必修系列的第3本书籍，分为A、B两版，由人民教育出版社出版发行。本书主要内容是对算法，统计，概率知识的讲解与总结。
4、《高中数学必修四》：数学4（必修）的内容包括三角函数、平面向量、三角恒等变换。三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。
高中数学必修教材之间的联系：
数学教材中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等,在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。
函数概念有两种定义，一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值,与唯一确定的函数值对应起来:另一种是高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发,其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。
❸ 高中数学代数学习怎么学
高中代数包括函数与方程、三角与反三角、不等式、数列、复数、排列组合与二项式定理六大部分。知识容量大，体现在概念多、定理多、公式多; 相应的题型、解题方法多; 并且侧重于计算。 一、 基础知识的学习与掌握 1． 抓住主线，引导全面 。 初学函数的同学可能对诸如集合、映射、象、原象、函数、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等许多陌生而又抽象的概念一时理解不深，但是必须在学习函数的全过程中始终把握一条主线—掌握函数的概念、认识基本函数的性质、运用函数的性质解决问题，即函数的主轴作用。 2． 基本内容表格化，概括、直观又全面。 在每学完一个单元后，应将本单元的基本内容用表格的形式总结概括出来，一目了然。例如三角函数一章，有下列的知识结构图。 定义角 分类 度量方法 角度制 互换公式弧度制定义三角函数 图象 诱导公式性质平方关系同角三角函数基本关系式 倒数关系商数关系３．排除干扰，强化矫正。 同学们在学习新知识或新技能时，往往易受旧知识技能的影响，这就是通常人们所说的负迁移。例如学习不等式的有关概念与性质的时候，总会受到先前学过的方程的一些概念和性质的影响。 这就要求对所学的数学知识要深刻理解和切实掌握。
❹ 函数中是像和原像还是象和原象啊
像和原像
❺ 高中1数学第一学期知识归纳
高中高一数学必修1各章知识点总结
第一章 *** 与函数概念
一、 *** 有关概念
1、 *** 的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个 *** ,其中每一个对象叫元素.
2、 *** 的中元素的三个特性：
1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的 *** , *** 中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的 *** 的元素.
(2)任何一个给定的 *** 中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个 *** 时,仅算一个元素.
(3) *** 中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个 *** 是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4) *** 元素的三个特性使 *** 本身具有了确定性和整体性.
3、 *** 的表示：{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示 *** ：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2． *** 的表示方法：列举法与描述法.
注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念
*** 的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是 *** A的元素,就说a属于 *** A 记作 a∈A ,相反,a不属于 *** A 记作 a?A
列举法：把 *** 中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.
描述法：将 *** 中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示 *** 的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个 *** 的方法.
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、 *** 的分类：
1．有限集 含有有限个元素的 ***
2．无限集 含有无限个元素的 ***
3．空集 不含任何元素的 *** 例：{x|x2=－5｝
二、 *** 间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分,；（2）A与B是同一 *** .
反之: *** A不包含于 *** B,或 *** B不包含 *** A,记作A B或B A
2．“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个 *** A与B,如果 *** A的任何一个元素都是 *** B的元素,同时, *** B的任何一个元素都是 *** A的元素,我们就说 *** A等于 *** B,即：A=B
① 任何一个 *** 是它本身的子集.AíA
②真子集:如果AíB,且A1 B那就说 *** A是 *** B的真子集,记作A B(或B A)
③如果 AíB, BíC ,那么 AíC
④ 如果AíB 同时 BíA 那么A=B
3. 不含任何元素的 *** 叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何 *** 的子集, 空集是任何非空 *** 的真子集.
三、 *** 的运算
1．交集的定义：一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的 *** ,叫做A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}．
2、并集的定义：一般地,由所有属于 *** A或属于 *** B的元素所组成的 *** ,叫做A,B的并集.记作：A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个 *** ,A是S的一个子集（即 ）,由S中所有不属于A的元素组成的 *** ,叫做S中子集A的补集（或余集）
记作： CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}
S
CsA
A
（2）全集：如果 *** S含有我们所要研究的各个 *** 的全部元素,这个 *** 就可以看作一个全集.通常用U来表示.
（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于 *** A中的任意一个数x,在 *** B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从 *** A到 *** B的一个函数．记作： y=f(x),x∈A．其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的 *** {f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的 *** ；3 函数的定义域、值域要写成 *** 或区间的形式．
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的 *** 称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的 *** .（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础.
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的 *** C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.
(2) 画法
A、描点法：根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法（请参考必修4三角函数）
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用：
1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路.提高解题的速度.
发现解题中的错误.
4．快去了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的 *** ,如果按某一个确定的对应法则f,使对于 *** A中的任意一个元素x,在 *** B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f：A B为从 *** A到 *** B的一个映射.记作“f：A B”
给定一个 *** A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,① *** A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”,即强调从 *** A到 *** B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说,则应满足：（Ⅰ） *** A中的每一个元素,在 *** B中都有象,并且象是唯一的；（Ⅱ） *** A中不同的元素,在 *** B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求 *** B中的每一个元素在 *** A中都有原象.
常用的函数表示法及各自的优点：
1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征．
注意啊：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数 （参见课本P24-25）
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数.
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1
❻ 数学问题--什么叫象，什么叫原象
举个例子，就跟你拍照一下，本人是原象，图片就是象
再如，假如说x=3
经过对应规则y=2X
则可以得出y=8
所以可以说3是原象
8是象
❼ 数学中象指什么
象：指变量，包括自变量x、因变量y(也称函数y)。x的每个取值，都有唯一的y值对应，所以x叫原象，y叫象。例如y=2x，xN。当x=1时，y=2，2是1在对应法则下的象，而1是2的原象。
❽ 数学中函数的像与原像是什么
你可以这样理解，像就是函数值，原像就是自变量值的组合，映射关系就是函数表达式。如函数v=xyz，当x=y=z=1时v=1，那么三维空间xOy-z中的点(1，1，1)就是原像，一维空间Ⅴ中的点v=1就是像，像与原像之间的对应关系就是v=xyz
❾ 高一数学必修一函数知识总结
函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。
经典定义：
在某变化过程中设有两个变量x,y，按照某个对应法则，对于每一个给定的x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么y就是x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量。
另外，若对于每一个给定的y值，也都有唯一的x值与之对应，那么x也是y的函数。
现代定义 ：
一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。
记作：x→y=f(x),x∈A.集合A叫做函数的定义域，记为D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，记为C。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。
用映射的定义：
一般地，给定非空数集A,B，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。
向量函数:自变量是向量的函数 叫向量函数 f（a1.a2，a3......an）=y
对应、映射、函数三者的重要关系：
函数是数集上的映射，映射是特指的对应。即：{函数}包含于{映射}包含于{对应}
函数过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作——通常是处理文本，控制输入或计算数值。通过在程序代码中引入函数名称和所需的参数，可在该程序中执行（或称调用）该函数。
类似过程，不过函数一般都有一个返回值。它们都可在自己结构里面调用自己，称为递归。
大多数编程语言构建函数的方法里都含有Function关键字（或称保留字）。
与数学上的函数类似，函数多用于一个等式，如y=f(x)（f由用户自己定义）。
函数是数学中的一个基本概念，也是代数学里面最重要的概念之一。
首先要理解，函数是发生在非空数集之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。
函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图象，表格及其他形式表示。
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
映射定义
设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。
则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）
几何含义
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图象与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
函数的集合论
如果X到Y的二元关系f：X×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。
当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。
其特点：
前域和定义域重合
单值性：<x,y>∈f∧<x,y’>∈f →y=y’
定义域、对应域和值域
输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。
计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。
单射、满射与双射函数
单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x和y属于定义域，则仅当x 不等于 y时有f（x）不等于 f（y）。
单射满射 双射
满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f（x）= y。
双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。
象和原象
元素x∈X在f的象就是f（x），他们所取的式值为0。
子集A?X在f的象是以其元素的象组成Y的子集，即f(
函数图象
函数f的图象是平面上点对（x,f（x））的集合，其中x取定义域上所有成员的。函数图象可以帮助理解证明一些定理。
如果X和Y都是连续的线，则函数的图象有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。
当k<0时，直线为升，过一三象限或向上平移，向下平移象限；当k>0时，直线为降，过二四象限，向上或向下平移象限。
性质函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2，使得f(x)≥K2对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f(x)|<=M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。
函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。
函数的单调性
设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
函数的奇偶性
设f(x)为一个实变量实值函数，则f为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立：
f(x) = f( - x) 或f( -x) = - f(x) 几何上，一个奇函数与原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。
设f(x)为一实变量实值函数，则f为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立：
f(x) = f( - x) 几何上，一个偶函数会对y轴对称，亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。
偶函数的例子有|x|、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。
偶函数不可能是个双射映射。
函数的周期性
狄利克雷函数
设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x士l)∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则改函数不具周期性。
并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。
函数的连续性
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
设f是一个从实数集的子集射到 的函数：。f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：
f在点c上有定义。c是中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。
不用极限的概念，也可以用下面所谓的 方法来定义实值函数的连续性。
仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：
对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的，只要x满足c - δ< x < c + δ，就有成立。
函数的凹凸性
设函数f(x)在I上连续。如果对于I上的两点x1≠x2，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2）那么称f(x)是区间I上的(严格)凸函数；如果恒有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2）那么称f(x)是区间上的(严格)凹函数。
实函数或虚函数
实函数（Real function），指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。
虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念。当从父类中继承的时候，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动地选择适当的具体实现运行。虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段。
反函数
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y).。反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。。
⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义。 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数。。
⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）：
函数y=f(x) 反函数y=f^-1(x)
定义域A C
值域 C A
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。。
开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-3。
有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
反函数的应用：
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：
1．先求出原函数的值域，因为原函数的值域就是反函数的定义域
（我们知道函数的三要素是定义域，值域，对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步）
2．反解x，也就是用y来表示x
3．改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x
4．写出反函数及其定义域
就关系而言，一般是双向的 ，函数也如此，设y=f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）=y，这是一个由y找x的过程 ，即x成了y的函数，记为x=f -1（y）。则f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量，故这个函数仍记为y=f -1（x），例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中，y=f（x）与y=f -1（x）的图形关于直线y=x对称。
隐函数
若能由方程F（x，y）=0 确定y为x的函数y=f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。
注意：此处为方程F（x,y ）= 0 并非函数。
思考：隐函数是否为函数？
不是，因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”。
多元函数
设点（x1，x2，…，xn） ∈GÍRn，UÍR1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。
基本初等函数及其图象幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。
①幂函数：y=x^μ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，+∞），μ为负整数时是 （－∞，0）∪（0，+∞）；μ=α(a为整数)，当α是奇数时为（－∞，+∞），当α是偶数时为（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。
②指数函数：y=a^x（a>0 ，a≠1），定义域为（－∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a>1 时是严格单调增加的函数（即当x2>x1时，） ，0③对数函数：y=logax（a>0），称a为底 ，定义域为（0，+∞），值域为（－∞，+∞） 。a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。如图5。
以10为底的对数称为常用对数，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即<a>自然对数，记作lnx。
④三角函数：见表2。
正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。
⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。
⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex+e-x），双曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x），双曲余切（ ex+e-x）/（ex－e-x）。
按照未知数次数分类
常函数
x取定义域内任意数时，都有 y=C (C是常数)，则函数y=C称为常函数，
其图象是平行于x轴的直线或直线的一部分。
一次函数
I、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b（k，b为常数，k≠0）则称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，即y=kx时，y是x的正比例函数。
II、一次函数的性质： y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即y/x=k III、一次函数的图象及性质：
1． 作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表（一般找4-6个点）；
（2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图象。（用平滑的曲线连接）
2．性质：在一次函数图象上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
3． k，b与函数图象所在象限。当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b>0时，直线必通过一、二象限当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。这时，当k>0时，直线只通过一、三象限与原点。当k<0时，直线只通过二、四象限与原点。
IV、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程： y1=kx1+b①和 y2=kx2+b②。
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
V、在y=kx+b中，两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点
VI、一次函数在生活中的应用
1．当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2．当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。反比例函数形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数的图象为双曲线。如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图象。
二次函数
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c (a≠0)（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x是自变量，y是x的函数。
二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k） 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a)]交点式：y=a(x-x1)(x-x 2) [仅限于与x轴有交点A（x1 ，0）和B（x2，0）的抛物线]其中x1，x2= (-b±√(b^2－4ac))/(2a) 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：______h=-b/(2a) k=(4ac-b^2)/(4a) x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图象，
二次函数
可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。
二次函数标准画法步骤
（在平面直角坐标系上）
（1）列表 （2）描点 （3）连线
抛物线的性质
1．抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a（顶点式x=h）。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2．抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4．一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左
当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
5．常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c），c是纵截距。
6．抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax^2 ；y=a(x-h)^2 ； y=a(x-h)^2+k ； y=ax^2+bx+c
对应顶点坐标
(0，0) ； (h，0) ； (h，k) ； (-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
对应对称轴
x=0 ； x=h ； x=h ； x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤-b/2a时，y随x的增大而减小，函数是减函数；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而增大，函数是增函数．若a<0，当x ≤-b/2a时，y随x的增大而增大，函数是增函数；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而减小，函数是减函数．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点）
当△=0．图象与x轴只有一个交点
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
超越函数
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
它有六种基本函数：
函数名：正弦 余弦正切 余切正割 余割
符号 sin cos tan cot sec csc
正弦函数sin（A）=a/h
余弦函数cos（A）=b/h
正切函数tan（A）=a/b
余切函数cot（A）=b/a
正割函数sec(A)=h/b
余割函数csc(A)=h/a
在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)来表示。
❿ 高中数学 函数 象和原象都是什么，举例子说明怎么算，具体
概念来自于映射。如果把函数看作映射，自变量X就是原像，对应的函数值Y就是它的像。