㈠ 哪些数学定理在直觉上是对的，但证明起来很困难
接下来我要讲一个激燃的故事。
这是一场横跨整整四百年的超级数学接力。
鉴于楼上的大神已经提过这个猜想，我就单纯的从这个猜想被证明的过程写一写。
学渣如我就不涉及理论部分了。
这就是开普勒猜想：怎样才能最紧密堆积圆球。
1590年代末，一个叫Raleigh的英国航海家提出了一个看上去很简单的问题。
他想设计一种炮弹的堆叠方式，以便自己能够轻易的数出每一堆有几颗炮弹。
他把这个问题交给了他的助手Harriot，这个聪明的年轻人想的更远一些，他想设计一种最有效率的堆积方式。
以便在航行中有限的空间内存放更多炮弹。
Harriot在其他的自然科学领域也颇有建树，但这个问题虽然看上去很简单，但是他却久久没有进展。
于是这个年轻人给远在布拉格的数学，物理和天文学家写了一封信。
当然收信者并不是三个人，他就是开普勒。一个数学，物理和天文学家。
于是，这场接力的第一棒交给了这个出生在斯图加特的大师。
1611年，开普勒写了一本小册子，名叫《六角形的雪花》。这是一本写给朋友的非正式出版物，他在书中问到，为什么雪花是六角形，为什么蜂房也是六角形。
再问完这个问题后，开普勒转而研究了另一种植物，石榴。
这是从二维平面的有效率堆积方式拓展到了三维空间的研究。
他认为在石榴有限的空间内，石榴籽的堆积方式一定是最有效率的。
他和100多年后的植物学家黑尔斯的得出了一样的结论，黑尔斯给一大堆豌豆加压。
观察到除了豆子挤成了豌豆泥之外（什么鬼）有些豌豆被挤压成了和石榴一样的十二面体。可是后来被证明是实验结论错误的。（孟德尔：你不要豌豆拿给我啊干嘛挤它
好了，到这里我们歇一歇。开普勒认为大自然的安排一定是最完美的，所以，他认为一个圆球围绕着十二个圆球是最紧密的堆积。
但他没有证明，也有没有说该如何围绕。
对于我们每个人来说，怎么样最有效率的装球，仿佛是一个简单的问题。
你先摆好一层球，然后第二层的球放在第一层的空隙中就好。
这就是着名的面心立方对堆积。但是还有一种堆积方式虽然名字很酷炫但后来被证明和面心立方堆积等效。也就是六方最密。
让我们从二维平面开始，怎么样最有效率的排列圆形。
这看上去简直就像1+1=2。
1528年，一位德国的文艺复兴时期的艺术家写了一本数学教科书。
书中写，在天花板上放置圆形花纹，只有方形和六边形排列才能放整齐。而且指出六边形最紧密。（开普勒：卧槽有人抢跑
好了，接下来接力棒交给了一个刚刚输光了全部家当的意大利人。
他叫拉格朗日。十八世纪最伟大的数学家。
到目前为止，研究的设定都基于所有圆形的圆心都排成整齐的格子状。
拉格朗日轻易的证明了在这种情况下六边形堆积最紧密。
挪威数学家杜氏接过了这一棒，开始研究一般情况，即圆型随意排列的情况下怎么堆积最紧密。
可惜并没有太多实质性的进展。接力棒传到了苏联，一位叫闵可夫斯基的小男孩随着父母移民到了德国。
他后来再苏黎世的联邦理工当了助理教授，班上有很多学生经常翘他的课。其中一位是二十世纪最伟大的专利审查员。
阿尔伯特爱因斯坦。
他指出圆的规律装填密度起码有0.8224。
但他并没有指出这种排列的样子。为了怕闵科夫斯基抢他的风头。杜氏抢先发表证明演说。可是数学界认为他的证明不完善。
三十年后匈牙利数学大师托斯完善了关于平面的装填问题证明。
之后，威斯康星大学的数学课科歇诺又证明了平面的覆盖问题。（覆盖允许重叠，装填不允许。）
证明指出，六边形排列是最佳的装填，也是最有效率的覆盖。
到此
二维平面的数学接力已经完成了，那么现在等待解决的就是三维世界的证明了。
为了叙述三维的问题，我们要从另一个跑道的选手说起。
牛顿和他的基友（误）大卫格里高利。他们之间争论着平面内一个球能最多与几个其他的球接触。我们现在知道这个数字是6。
他们把这个问题拓展到了空中。在空中的一个球能最多与几个球接触。
并进行了激烈的争论，可惜他们的争论只是开普勒的局部问题，对于猜想的证明并无多大用处。
（开普勒猜想中最紧密的堆积，一颗球周围有十二个球围绕，而大卫说空间中一个球最多能与十三个球相接触。他们的争论在1953才被终结。）
之后瑞士数学家Bender向德国的数学期刊投稿，企图证明阐述上面的争论。他的论文被期刊的编辑霍普完善并且霍普把Bender的论文和他自己的论文一同发表。
看起来这一棒跑的很顺利，但是我们的霍普选手丢了棒，他的论文被证明有致命的错误。
这个问题后来被荷兰人和德国人解决。
这条岔道的选手已经完赛，让我们回头看看我们原本的赛道。
现在执棒的选手对我们来说有些陌生，他叫奥古斯都希波，他费尽了心血证明了“立方体体积的平方”除以“扭曲盒子体积的平方”恒小于三。
为了这个看上去不怎么重要的小数字，他写了一本248页的厚厚着作。
然后交棒给了本次马拉松接力的队长，数学王子高斯。
然而高斯就是高斯。
他在希波248页的证明后面花了一页半，把这个比值的极限推到了二。
简直就是神迹！我仿佛听到高斯拔刀在喊“我方已经击穿敌方装甲！准备冲锋！”
通过这一页半，高斯间接说明了在规律排列下圆的最紧密堆积方式的密度最高极限是74.05%。（当球在三维格子里面时）
那么问题就是，哪一种堆积才能达到这样的密度。开普勒的么？只有这一种么？
接下来的近一个世纪，接力棒默默地停止在高斯的那一页半证明上。
直到1900年8月8日，第二届国际数学家大会在巴黎召开。
德国数学家希尔伯特提出了那无比着名的23个数学问题。
开普勒猜想，编号第十八。
这个时候接力赛进入了白热化，数学家们想找出比开普勒猜想更紧密的排列方式。（比如一种混乱的无序排列）
因此他们把74.05%这个密度作为一个下界，把100%作为一个最初的上界。
现在要做的就是缩小他们的距离。
丹麦人布利奇菲尔德接棒把上界缩小到83.5%，然后传棒给苏格兰数学家兰金，在剑桥数学实验室的帮助下，他把上界的值降到了82.7%。
这个时候他们之前说采用的研究方法走到了尽头，上界没办法再继续下降了。
之前跑过接力棒的托斯，又想出了一种另外的方法。
这个方法是另一个俄国数学家沃洛诺伊提出的，但他英年早逝并没有完善证明。
他提出，我们只要去找一种叫做V单元的立方体就行了。
这种V单元需要具有两个特点，第一它可以没有缝隙的填满三维空间，就像正方体，第二他的内部有一个球。
这样，球的体积不变，只要我们找到一种体积更小的v单元，装球密度就会提高。
凭借这个方法，伯明翰大学的罗杰斯把上界降到了78%，跑出了精彩的一棒。
又过了三十年，加州理工大学的林赛选手接棒，跑出77.84%的好成绩，然后数学家穆德榨干了V单元方法的潜力，把他发挥到了极致。
上界又降低了，虽然只是万分之一，但实属不易。
突然之间。
加州大学伯克利分校的台湾人项武义接棒直接一骑绝尘冲过终点线!
很可惜的是他的证明被数学界认为不完备，并且有诸多漏洞。（我们的攻击未能突破核心！观测到敌方生命迹象！
接力棒被交回新秀黑尔斯手中。
只要上界降到了74.05那么开普勒猜想就立刻会被证明。
黑尔斯采用了迪劳内的一种方法，假设空间里面装满了圆球，我们用直线连接相邻的圆心得到很多个四面体，再进行分析计算。
可是黑尔斯并没有取得太多实质性的进展。这个方法并不能降低上界，而是直接对开普勒猜想进行证明，要是不成功就一无所获。
根据普林斯顿同行的建议，黑尔斯开始使用电脑来对抗这个几百年悬而未决的问题。
他对很多种可能排列方式进行穷举分析。
可是程式运行的结果却出乎意料。
结果表明没有任何一种排列可以超过给出了74.08%这个数字。
嗯？74.08%？这和说好的75.05不一样我摔！导演你是不是给错剧本了！
经过检查，黑尔斯发现了一种古怪的排列方式，它似乎比开普勒堆积要更紧密一点。我们就把它叫做“BUG”好了。
接下来他的工作分成了五个部分，简单的概述就是，他提出了一种给每种排列打分的方式，他只要证明除了开普勒排列外的四大类的排列都低于8分，接下来证明BUG的排列也低于8。而开普勒排列的得分是8。
前面四大类都轻易的完成了。
只剩下了BUG，这种一个强有力的外援出现了，黑尔斯的医生父亲的一个病人恰好是数学教授，他的儿子成为了黑尔斯的学生。
无巧不成书。
黑尔斯原本预计再过几个月就能完成对这个BUG排列的分析。
而实际上他们用了整整三年。
终于，1998年8月9日的上午。一个普通的星期天。
黑尔斯坐下来写了一封电子邮件，告诉全世界的同行离散几何中一个古老复杂的猜想已经得到了证明。
并附上了研究过程和电脑程序代码。
但仍然有不少人人对这种这种穷举证明方法存疑。
到此开普勒猜想证明告一段落。
这个看起来无比符合直觉的猜想前前后后用了四百年的时间才得以基本证明。
人类历史上这批最杰出的天才前赴后地继交棒接力。
他们大多数人都看不到这个猜想被证明的那一天。
如果说这个世界的真理和规律都被隐藏在黑暗中的话，
那么谢谢他们为我们点起光明的火炬。
愿火光永不熄灭。
㈡ 宇哥，请问考研高等数学中有哪些定理和公式的证明值得注意
中值定理，是反映 函数与 导数之间联系的重要定理，也是 微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，下面分享考研数学中值定理证明思路，希望可以帮助大家。
一、具体考点分析
首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢?
第一：闭区间连续函数的性质。
最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。
推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。
介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。
零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。
第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)
费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。
罗尔定理：如果函数f(x)满足：
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导;
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ，使得 f?(ξ)="0.
几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：
弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的。
拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导;
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ
加强版：如果函数 f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在 (a, b)上至少存在一个点 ξ，使下式成立
第四：变限积分求导定理： 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：
第五：牛顿--莱布尼茨公式：如果函数f(x) 在区间[a,b] 上连续，并且存在原函数F(x) ，则
以上定理要求理解并掌握定理内容和相应证明过程。
二、注意事项
针对上文中具体的考点，佟老师再给出几点注意事项，这几个注意事项也是在证明题中的"小信号"，希望大家理解清楚并掌握：
1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。
2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。
3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。
4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。
5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。
其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，
像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在两个点使之满足某表达式。这样的题目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。
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㈢ 求各种数学物理方面的定理、猜想、悖论，越多越好，只有名字也行，加上简单的介绍最好。谢谢。
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几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数
周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*
3. 初等数论
同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题
圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
悖论的话
希帕索斯悖论与第一次数学危机
希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最着名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学着作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。
在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的着名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的着名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
欧多克索斯
二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的着作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
贝克莱悖论与第二次数学危机
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
贝克莱主教
1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将 x 取一个不为0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx2) ，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。
牛顿与莱布尼兹
针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决，但都没有获得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？
“向前进，向前进，你就会获得信念！”达朗贝尔吹起奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。18世纪有时甚至被称为“分析的世纪”。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。
无穷级数S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？
当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到
1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x)
后，令 x = －1，得出
S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！
由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样，消除不谐和音，把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。
柯西
使分析基础严密化的工作由法国着名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε-δ ”方法。另外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建立起来，所以柯西的极限理论还不可能完善。
柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年，另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。
罗素悖论与第三次数学危机
十九世纪下半叶，康托尔创立了着名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国着名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
康托尔
可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的着名的罗素悖论。
罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。
罗素
其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上着名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。
以上简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。
悖论一览
1． 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？
如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。
2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下着名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。
3． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。”
如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。
所以怎样也难以自圆其说，这就是着名的说谎者悖论。
公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！
说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。”
又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。
4． 跟无限相关的悖论：
{1，2，3，4，5，…}是自然数集：
{1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。
这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？
5． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？
6． 预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。”
你能说出为什么这场考试无法进行吗？
7． 电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！”
这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？
8． 硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？
9． 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆；
如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；
如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；
……
如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；
……
10． 宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会塌；抽两块砖，它也不会塌；……抽第N块砖时，塔塌了。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不一样的是，抽第M块砖是，塔塌了。再换一个地方，塔塌时少了L块砖。以此类推，每换一个地方，塔塌时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢？
累死我拉!!
希望可以帮到你~~
新年快乐！！
㈣ 有哪些数学定理或者数学知识惊呆了你
除法法则惊呆我了，因为我就能证明它是错的，凡是除不尽的就是错。但是一个人怎能推翻一个世界呢?如果有如果的话！觉得有力无处发，唉
！
㈤ 有没有一些看似包含很多高大上数学定理（听名字就很复杂的那种）实际上极其简单
笛卡尔坐标系
㈥ 数学十大定理
1。人生的痛苦在于追求错误的东西。所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，才猛然发现，你和它是不连续的。
2。人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在隔阂。
3。人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。
4。人和命运的关系就像F(x)=x与G(x)=x^2的关系。一开始，你以为命运是你的无穷小量。随着年龄的增长，你才发现你用尽全力也赶不上命运的步伐。这时候，若不是以一种卑微的姿态走下去，便是结束自己的生命。
5。零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。
6。人生是一个级数，理想是你渴望收敛到的那个值。不必太在意，因为我们要认识到有限的人生刻画不出无穷的级数，收敛也只是一个梦想罢了。不如脚踏实地，经营好每一天吧。
7。有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。
8。痛苦的回忆是可以缩小的，但不可能消亡。区间套最后套出的那一个点在整个区间上微不足道，但一定是存在的，而且刻骨铭心。
9。我们曾有多少的理想和承诺，在经历几次求导的考验之后就面目全非甚至荡然无存？有没有那么一个誓言，叫做f(x)=e^x？
10。幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。所以，乐观地面对人生吧~
1不等式定律：
3两＋1两>2两＋2两>4两
2衰减指数定律：
食堂装修后开张和新学期开始后，饭菜质量和份量呈指数形式衰减。
3多功能定律：
食堂不仅具有普通食堂的功能，它还具有小卖部，录像厅，自习室，还有陪心情不爽的同学叫板等多种功能。
4拉面拉抻次数定律:
每个拉面师傅在拉面时的拉抻次数永远是恒定的,习惯是很难更改的。(以6食堂为例,拉面永远是拉七次下锅:拉面平均长度的均值为0.5米*2的7次方=64米)
5 免费汤定律：
因为根据分子的不规则运动，所以从理论上讲，如果用一缸水煮上一颗红豆，那么这就不再是一缸水，而是一缸能消暑的免费汤。
6互补定律：
打饭师傅的发福程度与打给你饭菜的份量互补，打给你饭菜的质量与份量互补，（例如，如果给你的牛肉很多，一定是嚼不动的，如果给你饭很多，一定是夹生的，如果给你菜很多，一定难以下咽）
7 唯一性定律：
如果食堂的师傅给你的饭菜足够质量和份量，而且你又不是很pp,那么一定是膳食大检查的人员在食堂里。
8随机性定律：
无论是经济快餐，汤煲，还是特色炒菜都有随机出现铁丝，头发，苍蝇，石头，蜈蚣或别的令你胃口全无的可能性，随机率不可预计。
9 随机性定律推论：
我们仅仅从食物中随机出现的杂物，就推断出食堂大师傅的一些特点：师傅大多是经常脱发，用金属铁丝洗碗，而且非常喜欢昆虫和树叶的标本。
10 相对论定律：
如果你感觉勺子筷子或者餐具不干净，请你闭上眼睛，心里默念“这是经过红外线消过毒的！”然后就干净了。
㈦ 如何使数学课堂问题简单化
正如一句广告语所说：把简单的事情弄复杂了——太累！ 把复杂的事情弄简单了——贡献！
在数学教学中“简单化”的教学方法，是一种建立在人类认识规律和教育规律基础之上的一种教学方法。“简单化”的教学方法是可行的具有指导意义的、值得大家借鉴的，教学中的矛盾和困难的重要方法之一。运用“简单化”的教学方法进行教学，应把握好循序渐进、因材施教等教学原则。实用的简单方法的重要性。所谓“简单化”的教学方法，是一种建立在人类的认识发展过程及规律和教育的发展规律基础之上的一种教学方法。“简单化”是与“复杂化”相对应的一个概念。“事倍功半”是简单化的必然结果，“事半功倍”是复杂化的具体表现。实践证明，“简单化”的教学方法，是解决教学中的矛盾和问题的行之有效的重要方法之一，可以“大事化小，小事化了”。让课堂充满了激情和活力；新课改，让数学教学更精彩。笔者在实施新课程教学中，确实体会到新教材编的活，学生学得活。但新课程下的小学数学课堂教学存在诸多的问题，要引起我们的重视。
在小学数学的教学中也存在着把简单的教学问题弄的很复杂，原本很简单的教学内容学生很容易掌握的问题，可是在教师的意愿下，学生学的却似懂非懂。这样的事情在教学中很常见，原因是我们没有考虑到学生的学习情况，结合学生具体情况如何在数学教学。在数学教学中，怎样让教学简单些呢？下面是笔者在教学中发现的几点问题，希望和大家一起探讨怎样让学生在简单的接受数学知识。
一、创设情景不能够太过与牵强
《数学课程标准》强调“数学教学，要紧密联系学生的生活环境，从学生已有的经验和知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情境教学”。随
着新课改的逐步深入，教师都在运用新的课标理念，不断地创新课堂教学方式、方法，与传统的纯数学教学形成了迥然不同的数学课堂。在一些“新课堂”包括优质课比赛中，却出现了“过浓的生活味”。无论什么知识点，什么教学内容，都与生活对应起来，牵强地创设一些生活情境，确有做秀、摆设之嫌。当然数学是从生活实际中产生的，最终也要服务于生活，但数学作为一门科学也有它内在发展规律，并不是每个知识点、知识内容都是生活中来的，而是数学本身的、内在的发展变化而来的。因此，新课堂应是数学与生活完美结合、辨证的统一。
笔者认为小学数学课堂教学应从数学知识本身的特点和学生的生活实际来正确处理数学与生活的关系，而且应该是数学味浓于生活味。
对于不同的知识层次，处理“数学与生活的关系”侧重面也应有别。对于低年级（1~3年级学生）尤其是一至二年级学生，他们对数学知识比较缺乏，对一些简单的数学知识难于理解，就应多从学生的生活经验入手，创设一些学生熟悉的生活情境，将数学知识与生活经验结合起来，用生活经验来思考，解决数学问题，从而达到理解和掌握数学知识，因为他们不具备很好的抽象思维能力，只能从具体思维中慢慢转化到抽象思维。例如认数、数数，都从实物、生活情境中逐步建立数的概念模型。如认识元、角、分，模拟商店购物情境，建立元、角、分的概念等。这些教学内容就应多些“生活味”。而对于高年级来说，因为他们已具备了一定的抽象思维能力，则不必每个知识点、每节课都创设生活情境，都与生活联系起来，而应多些“数学味”。
就数学本身来说，对于解决实际问题，提高知识运用能力的教学，多从生活中，学生身边生活经验创设情境是完全必要的，但重点也应是数学知识的运用。而对于一些数学概念、意义、法则、定理等理论知识，则不必一定要创设生活情境，不必从生活情境中建立数学“模型”。
二、强调发挥学生的积极性，鼓励学生独立发现和探索
心理学家布鲁纳更完整地提出发现学习的理论。他强调，学习是发现知识、
理解一个学科的基本认识结构、运用直观和分析推理以及依靠内在动机的过程。他认为，“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物，确切地说，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方式。”因此，他提倡在教学中广泛运用发现法。
在现在的教学课堂中不管是否必要，课堂里常见一些形式上的自主讨论、合作、探究，创设情境正在使新课程变味，互动生成等同于信马由缰，尊重等同于放纵，自主等同于自由，特别是出现教学内容的价值取向与学生的“独特经验”不一致时，教师更多关注少数学生答案的“独特”、“多元”，追求课堂气氛的形式热闹，学习情感的浅层愉悦，至于教学内容的价值目标及怎样引领全体学生进一步深层次地感悟体验，从而获得真正有价值的东西，却被忽视甚至被丢弃。
在数学教学中，始终有这样一个问题存在着，相当一部分学生低年级学得很有兴趣，掌握知识也不甚费力，而随着年级的上升，学习数学变得越来越困难。学生对数学越来越不感兴趣，随之学好数学的信心也越来越差，如此恶性循环结果可想而知。
究其原因，主要有两点：一是客观上数学教材的逐步高度抽象性使学生望而生畏，产生惰性心理及厌学思想；二是主观上教师在传授知识中忽视了学生的情感体验，教师未能充分理解教材，挖掘教材，利用教材中的可塑因素来引发学生的学习兴趣，激发学生的探究意识。
教学中假如学生在课堂上能用自己喜欢的方式学习，那么他们不但可以在学习时获得愉快的情绪，而且可能对学习产生积极的体验，越来越喜欢学习。理论和实践都告诉我们，要想充分发挥每一种教学方法在教学过程中的实际效能，达到优化教学过程的目的，伴随着新课程的实施与推进。
留有思考空间，老师向学生展示学习素材后，教师不能滔滔不绝地讲个不停，要给学生留有思考空间。在课堂中创设合适的问题情境，提出要解决的问题，提高学生学习的激情；学生分小组拟出解决问题的方法和途径，并收集资料，进一步提高学生学习的兴趣；提出假设、检验假设，激发学生的探究意识；总结，做出共同的结论，提高学生学习的效率。例如在教学生角的认识时，通
过实物或课件等，给学生创设一个简单的情景，教师提出假设，学生去检验假设，给学生建设一个初步角的表象。（还没有想好例题）
没有激情，哪来兴趣？没有兴趣，哪来探究意识？没有探究意识，又何来效率？研究表明，当学生主动参与到教学过程之中时，他们的学习会更有效率，收获更多。发挥学生主动性和创造性，发展他们的智力，可以使较深地理解知识，并且较好地保持在记忆中，在教学中学生更容易迁移，并且提高学习和研究较难的教材和问题的兴趣和信心，学生获得探究知识的技能，从而提高学生独立学习的能力。
三、小组讨论形式化
数学课堂讨论设计在课堂教学中占有重要位置，因此加强小学数学课堂讨论设计的探索与研究显得尤为重要。特别在注重学生创新精神和实践能力培养的今天如何设计具有开放性、探索性、实践性的数学课堂讨论，更好地体现素质教育的精神，显得十分迫切和必要。这就需要我们广大教师在课堂讨论设计这方面下功夫，努力钻研、坚持探索，从而更好的把素质教育落到实处！
四、评价单一化
五、教师的语言
课堂教学是实施素质教育的主渠道,在当前新的课改理念背景下,着力改变过去单一、封闭而僵化的课堂教学模式,转而创建一种充满生命活力的课堂教学运行体系,乃是今日教学改革的应有之义,也是每一位教师义不容辞的责任。尤其在目前还未能淡化考试压力的前提下,研究如何创建个性化的教学方式,怎样整合多样化的教学方法,以切实提高课堂教育教学质量,无论如何都显得十分重要而迫切。 一、从教学过程的本质说起 教学是教师的教与学生的学的统一,现代教学论把这种统一的实质定位为交往。也就是说,交往是教学过程的本质体现。假如教学过程发生,但实质„
（二）
一个问题比解决一个问题更重要”。
简单并不简单，这需要我们做教师的做好充分的教学准备，更好的服务于学生，让学生在学习过程中简单的接受知识。我们可以借鉴这些先进方法的某些部分，来制定自己的教学方法，形成自己的教学特色。只有不违反教育教学规律和新课程理念，越简单的越好。
“提出传统的教学法灌输式，把学生看作容器，不注意发展学生的智力，不能适应时代的要求。因此一些教育学家、心理学家提出了新的教学理论。如皮亚杰提出：“一切真理都要由学生自己获得，或者由他重新发明，至少由他重建，而不是简单地传递给他。”布鲁纳也认为，学习重要的不是记忆事实，而是获得知识的过程。他提出“发现法”，强调“教数学„„要让学生自行思考数学，参与到掌握知识的过程中去。”
望采纳，谢谢啦。
㈧ 数学问题如何简单化
数学
一、全面复习，把书读薄
从历年试卷的内容分布上可以看出，凡是考试大纲中提及的内容，都可能考到，甚至某些不太重要的内容，在某一年可以在大题中出现，如98年数学一中，不但第三题是一道纯粹的解析几何题，而且还有两道题是与线性代数结合考了解析几何的内容，可见猜题的复习方法是靠不住的，而应当参照考试大纲，全面复习，不留遗漏。
全面复习不是生记硬背所有的知识，相反是要抓住问题的实质和各内容，各方法的本质联系，把要记的东西缩小到最小程度，（要努力使自已理解所学知识，多抓住问题的联系，少记一些死知识），而且，不记则已，记住了就要牢靠。事实证明，有些记忆是终生不忘的，而其它的知识又可以在记住基本知识的基础上，运用它们之间的联系而得到，这就是全面复习的含义。
二、突出重点，精益求精
在考试大纲要求中，对内容有理解，了解，知道三个层次的要求；对方法有掌握，会（或者能）两个层次的要求，一般地说，要求理解的内容，要求掌握的方法，是考试的重点。在历年考试中，这方面考题出现的概率较大；在同一份试卷中，这方面试题所占有的分数也较多。“猜题”的人，往往要在这方面下功夫。一般说来，也确能猜出几分来。但遇到综合题，这些题在主要内容中含有次要内容。这时，“猜题”便行不通了。
我们讲的突出重点，不仅要在主要内容和方法上多下功夫，更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系，以主带次，用重点内容担挈整个内容。主要内容理解透了，其它的内容和方法迎刃而解，要抓住主要内容，不是放弃次要内容而孤立主要内容，而是从分析各内容的联系，从比较中自然地突出主要内容。如微分中值定理，有罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理和泰勒公式。由于罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况，而柯西定理和泰勒公式又是拉格朗日定理的推广。比较这些关系，便自然得到拉格朗日定理是核心，这这个定理搞深搞透，并从联系中掌握好其它几个定理，在考试大纲中，罗尔定理与拉格朗日定理都是要求理解的内容，都是考试重点，我们更突出拉氏定理，可谓是精益求精。
三、基本训练反复进行
学习数学，要做一定数量的题，把基本功练熟练透，但我们不主张“题海”战术，而是提倡精练，即反复做一些典型的题，做致电一题多解，一题多变。要训练抽象思维能力，对些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题， 要作到不用书写，就象棋手下“盲棋”一样，只需用脑子默想，即能得到下确答案。这就是我们在前言中提到的，在20分钟内完成10道客观题．其中有些是不用动笔，一眼就能乍出答案的题，这样才叫训练有素，“熟能生巧”，基本功扎实的人，遇到难题办法也多，不易被难倒。相反，作练习时，眼高手低，总找难题作，结果上了考场，遇到与自己曾经作过的类似的题目都有可能不会。不少考生把会作的题算错了，归为粗心大意，确实人会有粗心的，但基本功扎实的人，出了错立即会发现，很少会“粗心”地出错。
记住了就要牢靠。事实证明，有些记忆是终生不忘的，而其它的知识又可以在记住基本知识的基础上，运用它们之间的联系而得到，这就是全面复习的含义。
人，出了错立即会发现，很少会“粗心”地出错。
㈨ 简单的数学定理题目
PQ = pq ，则 PQ = pq + pβ + qα + αβ有 pβ + qα + αβ =0 这是别人的答案，可以引用下 pβ + qα + αβ =0是结论成立的条件，当然这个定理包含了很丰富的数学原理和数学思想，也是很有趣的。因此我们可以想得复杂些（当然我也知道问题简单化是一种好的思想），很自然的α和β是由特殊含义的，也正是这样的含义也许可以将这个定理所包含在表达式下的原理思想应用于我们的生产生活，在这里说这些，是想说明一种思考方式 我们看到题目中的所有的表达式都是两个数或者其他含义的符号结合在一起，现在我们可以用矩形面积或者形式类推的含义S表示这样的结合，那么我们令S1=PQ，我们知道含义S是可以切割的，那么我们可以把S1切割成S2，S3，其中我们让S2，S3都仍然包含属性Q，则可以这样表示S2=αQ，S3=pQ，这样我们就很容易的知道接下来可以怎么理解了，很容易的我们可以得到αq，αβ，pq，pβ，再把这些切割的部分合在一起就可以得到原来的PQ了，这样的说明是可以理解的，但是对于更严格的证明这个定理，在数学上我们去寻找更严格的去定义S和它所具有的性质，如果我们把S看成是具有定理所表达性质的一个系统，那么我们比较直观的描述这个定理可以是这样的：系统S是具有可加性的，它的属性P、Q也是具有可加性的，从而叠加在一起便可以推知结合律分配律；我这样的描述并不是说某某数学知识是这样证明或说明的，而是想说你难道不觉得这像是代数运算中的整数四则运算，或者说实数四则运算等等有相同形式的数学现象吗？ 我说的已经够复杂了，够抽象了，对于问题的说明未必是有意义的，但是我是这样的思考的？ 那么我们简单点吧，对于PQ = （p+α）（q+β）= pq + pβ + qα + αβ，其中令PQ=pq 所以我们很容易的就知道可以用反证法 PQ=pq，则PQ ！= pq + pβ + qα + αβ（！= 表示“不等”） 但是我们看3*4=（6+（-3））*（2+2），对于P=3，Q=4，我们可以找到这样的p=6，q=2，α=-3，β=2使在PQ=pq条件下，令PQ = pq + pβ + qα + αβ 也许提问者看到这里也许也明白了一些东西，我也说明一下，我的这些说明仅仅是我的思考，它并不是在某种标准下的正确答案，权当看看吧
㈩ 哪些数学定理在直觉上是对的，但证明起来很困难
很多人对于定理的重要程度都有不同见解，不是所有显然的东西都是对的，比如Jordan定理在高维的情形。事实上，“显然成立”往往隐含了许多你不曾意识到的假设，还是用Jordan定理举例子，直觉中的简单曲线往往是光滑的，或者分段光滑的，或者可以用有限的步骤构造出来的。把证明严格的写出来有助于推广，知道哪些条件是必须的，哪些条件是可以推广的，哪些是不必要的。