怎么看待数学分析

❶ 学习《数学分析课程》的心得及其领悟到的方法。

2020年春季学期微课郭雨辰数学分析（超清视频）网络网盘

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❷ 关于数学分析的学习

摘要：本文通过对高中生的调查研究发现当前高中生的数学观存在不够全面、不够准确、不够科学的现象，为此提出了通过数学史来影响高中生数学观之假设．经过为期一年多的实验和探索，发现数学史对改变学生的数学观能产生积极的影响，对学生的学习兴趣和学习效果也有明显的作用．因此积极倡导应用数学史来为数学教学服务．

关键词：数学观；数学史；对数；复数

教学中，经常有学生提出这样的问题：“老师，我怎么对数学就是没兴趣？”“老师，学了这些概念、定理和公式到底将来有什么用？”更有甚者问到：“老师，你为什么要逼我学数学，我将来也不搞数学研究。”……

的确，当前不少学生因为想不通数学就认为数学是一门枯燥乏味、难以学习的学科；因为不理解数学就认为数学是一门概念和规则从天而降的游戏；因为没有体会到数学的价值就认为数学是没有实际意义的学科，学数学只是为了应付考试；因为没有领悟数学的思想和精神就认为“概念我会背，公式我会用，定理我会证，题目我会做”是学好数学的最高标准……

这些现象表明，学生思想深处的问题已经不能等闲视之了，为此笔者开展了相关研究。

一、对高中生数学观的现状分析

高中生的数学观主要是指学生关于数学本身的信念，关于数学学习的信念和关于自身的信念。[1]由于个体具有不同的知识背景，或接受了不同哲学观念，或受不同教师的影响，再加上自己的实践经验，因此在数学学习过程中便逐渐产生和形成各自不同的认识和体会。

（1）对数学本身的信念

学生在数学学习过程中，对数学本身的感受和认识不尽相同。通过对614名高中生的调查发现，约52.5%的人“从未想过数学是什么”；24.9%的人“曾经想过数学是什么，但不清楚是什么”；7.8%的人“曾经听老师说过数学是什么”；14.8%的人“曾经想过数学是什么，所以知道是什么”。但在他们眼中，数学主要是与数字、图形有关的问题；是由概念、公式、定理、法则、符号组成的一门学科；是技巧性和方法性很强但又不易把握的一门学科；是关于计算、解题的一门学科；是讨论空间形式与其数量关系的学科……

（2）对数学学习的信念

Davis等人的调查（李士锜2001,217-222）表明：学生在学习过程中，对数学学习持有不同观点和看法。笔者调查发现高中生的数学学习信念主要是：

①学数学就是要会做题目；

②学数学就是为了在考试中取得好成绩；

③学数学主要靠记忆、模仿、套公式；

④学数学就是要培养一个人的计算能力、思维能力；立体几何主要培养一个人的逻辑推理能力和空间想象能力；

⑤学数学就是学会用所学的数学知识解决实际生活中的问题。

（3）对自身学习数学的信念

学生对自身学习数学的信念差异明显，在调查中发现：

①信心十足──有人对数学充满浓厚的兴趣，认为自己在数学方面有一定的天赋和优势，有信心、有能力学好数学。

②信心平淡──有人对数学的兴趣一般，认为自己在数学方面没有多少天赋和优势，但是只要自己勤奋努力，刻苦钻研，还是能够达到基本要求的。

③信心缺乏──有人对数学不感兴趣，认为自己根本没有学习数学的天赋，没有学好数学的能力。他们经常说自己从小学到现在数学都一直很差，由此来表明自己是学不好数学的。

（4）数学观的类型

根据调查分析，高中生的数学观不妨可归纳为以下几种：

①动态的数学观。在学生眼中，数学是不断变化、发展过程中的知识，从而可能会出现不足和错误，只有通过不断地尝试、改正和改进才会逐渐完善。所以学习数学也是一个循序渐进，不断完善的过程。对自己的困惑和错误能够宽容，同时也知道只有采取积极的态度才会学好数学。

②静态绝对主义数学观。他们把数学知识看成自古有之、千年不变的、不容置疑的真理的集合，是一个高度严密、极端抽象的知识体系。因此，他们多强调接受和记忆，模仿和训练，提倡熟能生巧；或认为自己的记忆能力不行，抽象能力又较差，所以数学学习必然困难等想法。

③工具主义的数学观。他们认为学数学就是学会处理和解决各类（数学）问题的方法和技巧。所以他们比较重视做应用题，提倡将数学与生活紧密结合，也比较注意积累与数学有关的素材。

④文化主义数学观。他们认为数学是与社会性质、阶级意识、民族精神等有一定关系的人类文化，是一种反应人们思维方法、审美意识与文化价值观念的特定的知识体系。当然这种观念在学生中间被发现、被接受的较少。

上述各种观念从不同的角度反映了学生对数学本身的理解和领会，对数学价值的认识和判断。当然有些观念对学生的学习起到积极促进作用，而有些则明显会导致消极的负面影响。

二、数学观对数学学习的影响分析

数学观对学生数学学习究竟有多大的影响，目前尚缺乏确切的数据分析。但从历史材料和当前的研究表明，学生的数学观对其学习方式和学习成果是有相当影响的。Schoenfeld研究表明学生思想观念的发展已经成为数学学习过程中的重要因素，数学信念与数学成绩之间存在明显的相关性。[2]Carlson研究发现一些普遍存在的和持续的数学观念在他们的后继学习中起着决定性作用。[3]郑毓信指出，对于学生来说，观念的重要性在于数学学习不仅是指知识的学习和能力的提高，而且也是一个观点、信念、态度等形成的过程，而后者则将对他们今后的数学学习、乃至整个人生产生重要的影响。[4]

事实上，对个体而言，正确的数学观可以统摄个体自身的各种因素，使之积极参与到学习活动之中。如果学生没有一定的数学观念，那么他将是主动精神缺乏、主体意识单薄、只会按指令被动行事的人；如果学生对数学的看法和课程蕴藏的数学观不一致，那么这种观念便可能成为其学习的障碍；如果学生面对数学处境而未能意识到它与数学有关，那么他就不会着手以数学方法来处理；如果学生把数学看作是与社会生产实践活动无关的概念、定理、符号的集合，那么他们在学习过程中就必然会采取一种静止的、被动的态度来接受“数学真理”；如果学生把数学看作是数学家凭空想象、自由创造的产物，那么一种远离社会、脱离客观、极其严密、高度抽象的刻板印象就会占领他们心灵的上空，使他们在学习过程中必然产生一种兴趣不大、意义不大，或难度太大、敬而远之的心理；如果学生把数学看作思维的体操，认为学数学就要反复用脑，那么数学仿佛就变成了度量一个人聪明与否的标尺，当他们解决不了数学问题而产生挫折感时，便会觉得自己智力不如别人而悲观失望；如果学生认为数学学习就是计算、就是解题，那么在他们眼中，数学与算式、公式﹑列式有着不可分割的关系，或者认为数学就是给出一堆数字、然后通过算式找出答案的活动，那么他们对冗长繁杂的计算、无边无际的题海必然会丧失兴趣；如果学生认为数学学习就是模仿智力超群的数学家或数学教师的思维，那么他们常丧失信心，自叹不如。实践证明，学生的数学观的确影响着他们的学习态度、学习兴趣，影响着他们对认知材料的选取，对认知方式的选择，对学习结果的评价。（李士锜2001,211）对群体而言，数学观可以统摄个体之间的各种力量，使之积极参与到社会建构活动之中。学习是一种社会建构活动，存在着师师、生生、师生以及学生与家庭、学生与社会交往的多种形态。在这些活动中，数学观一方面提供活动的基本准则，以此来调节主体的行为方式，决定交往的程度和范围。另一方面，通过个体数学观的沟通、交流和碰撞，主体间逐渐达成共识、形成合力。尽管同一群体中的数学观存在着个体差异，但总有一种主导的数学观在起作用，也正是这样主导观念使得整个班级对数学的学习目标、学习方式、评价标准趋向一致，从而保证学习活动顺利进行。相反，如果学生之间，师生之间，学生与教材之间的数学观经常抵触、矛盾和冲突，缺乏维系的纽带，就会出现“形聚神散”的状态，学习活动就难以真正有效开展。

三、数学史影响高中生数学观的实验探索

1、实验目的

数学史与数学教育的关系早在1876年丹麦着名数学家和数学史家H. G. Zeuthen就强调，“通过数学史的学习，学生不仅获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力。” [5] 1977年，美国学者McBride和Rollins发现数学史在提高学生数学学习积极性方面是十分有效的[6]．Wilson和Chauvot指出，让学生和教师思考“谁做数学”、“数学怎么做”、“数学是什么”等问题，让学生了解数学与其他学科、数学与社会的广泛联系，能拓宽对数学本质的看法[7]．英国数学史家J. Fauvel曾总结了20条将数学史运用于数学教学的理由，其中之一是数学史可以改变学生的数学观[8]．Breugel指出有关数学概念是怎样发展的历史知识有助于学生理解概念，并向学生指明了数学是人类在特定历史时期所创造的，而不是历来就有、永恒不变的[9]．

自从1972年“数学史与数学教育之关系国际研究小组”（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics,简称HPM）成立以来，欧美更多的学者对数学史与数学教育的关系进行了大量研究。国内也有一些学者再关注数学史与数学教育的关系。但数学史能否改变学生的数学观，从而影响他们的数学学习，国内外有关实证研究仍不多见。本文既受历史的启发，又拟在前人研究成果的基础上，进一步探索数学史对高中生数学观究竟是否产生影响。

2、被试的确定

实验班：苏高工校区03预科4班；控制班：苏高工校区03预科3班．实验班和控制班是随机选定的．两个班的数学教学由笔者一人承担．

3、实验过程

⑴前测．对两个班学生数学成绩进行测试，结果见表3 ．

对两个班学生数学观进行问卷调查（见附录一），结果见表4．

⑵实验方法

①结合教学内容，介绍相关历史

为期一年的教学过程中，在实验班每周至少介绍一项有关的数学史知识，在控制班以解题和练习代之．

②选择部分内容，测试对比研究

实验一：对数概念

学习对数概念时，在两个班采用了不同的教学方式．一是按课本体系组织教学；另外是结合阅读材料《对数与指数发展简史》，解答学生的各种问题，同时也引发了一堂意想不到的对数课[10]．课后测试（见附录二）结果统计如下：

表1 两个班对数概念学习前、后测试统计表

结果表明：学习“对数发展简史”之后，控制班对“对数”学习的难度明显降低，对学习对数的兴趣明显提高，对学习对数的目的更加明确，对对数产生的过程更加清楚．

实验二：复数概念

在两个班按不同方式组织教学．在控制班按课本内容和体系组织教学．在实验班从复数发展的历程组织教学．调查（见附录三）结果如下：

表2 两个班对复数概念学习测试统计表

结果表明：实验班对虚数的接受程度高于控制班，把虚数看成是有意义的、真实存在的数的比例大于控制班；将数系看成是动态发展的比例高于控制班．

从课后交流中也了解到：历史过程的引入使学生对数的概念的认识更加充分、更加准确、更加深刻．

① 复数是按一定方式构造的．复数的产生是从“运算可以无限制地进行的原理”出发，数学内容的组织化、系统化的过程[11]．这是人类构造数系的一种方式，也是学生建构数系认知结构的方式之一．

② 复数的产生是一个历史发展过程．通过对复数发展过程的剖析，学生认识到复数是几代人共同努力的产物；是一个从无到有、从疑惑到接受、从模糊到清晰、从片面到完善的过程；是随着社会的发展、数学本身的发展而发展的．复数是对实数理论补充和推广后产生的．这是数学本身内部成果积累，引导新的抽象阶段，向新的概括性概念上升的必然结果 [12]．

③ 虚数不是神秘莫测、绝对权威的．从虚数概念“生长”过程来看，即使是数学家的认识也是逐步深入的．最初人们对虚数持怀疑和不接受的态度．莱布尼兹称虚数是“理想世界的奇异创造”，是“神灵的美妙的庇护者，几乎介于存在和不存在之间的两栖物”[13]．欧拉尽管用它，但也认为虚数只存在于想象之中．直到哈密尔顿把复数建立在实数理论基础之上，以及复数在物理学等领域中的应用加强时，人们才开始真正接受虚数．这与学生学习时，缺乏了解它们的实际应用而造成对概念理解和接受上有一定的心理障碍是一致的．但历史的呈现有助于学生打消神秘的心态和权威的心理，减少排斥的情绪．

④ 复数产生和发展是人们思想观念的突破．象这样的方程没有实数解在学生心目中已成定论，既然没有实数解，为什么还要讨论它？既然负数不能开平方，又为什么要承认是有意义的？这是一种心理上的矛盾、认知上的冲突，更是观念上的封闭．辩证法告诉我们：世界上没有任何东西是完全不变和无论如何也不发展的．任何数学概念，不管它是怎样被精确定义，也还是要随着科学的发展而发展的．人们对事物的认识总是螺旋式上升的．通过对历史的考察，大家体会到虚数的引入是一种创造，一种发明，一种思维上突破，一种观念上的更新．

⑤辨析古人的数学观，促进学生数学观的形成

学习立体几何时，让学生讨论欧几里得的数学观．学习解析几何时，让学生讨论笛卡儿的数学观与解析几何的诞生．

⑶后测：一学年结束后，再对两个班统一测试和问卷调查（见附录一），结果如下：

表3 两个班期初、期末考试成绩统计表

注：⑴实验班与控制班期初成绩，所以两个班学生成绩无显着差异．

⑵实验班与控制班期末成绩，故不能认为数学史对学生成绩没有影响．

表4 两个班期初、期末问卷调查统计表

结果表明：数学史的介绍明显提高了实验班学生数学学习兴趣；加强了学生数学学习动机，转变了数学观念；让学生更加了解了数学的本质，也促进了数学成绩的提高．

4 结论

通过一年的调研发现，数学史一定程度上能改变学生的数学观，从而影响数学学习．

① 通过对历史的了解，学生可以缩短心理上接受某一观念的时间．

② 通过对历史的分析，学生可以接受数学是人类社会活动的结果．

③ 数学史有助于培养学生动态的数学观．

④ 数学史有助于培养学生的创造发明观．

⑤ 数学史有助于培养学生的数学文化价值观．

⑥ 数学史有助于学生了解数学形式化、抽象化、精确化的过程．

⑦ 数学史有助于改变教师的数学观从而影响学生的数学观．

5几点建议

基于本文的研究，我建议：高度重视学生数学观的培养；认真处理数学史与数学教材的关系；组织编写合适的历史材料；认真组织在职教师的数学史培训；大力开展HPM研究．

❸ 如何看待高校送学生数学分析教程月饼这件事

中科大给学生的这份中秋礼物可谓一箭双雕，既让学生吃饱了肚子，又激励学生去开发自己的脑子。学过数分的小伙伴们想必已被其中的“函数极限”和“无穷级数”搞得晕头转向。而这次，数分被装在月饼里，吃完消化吸收后，脑子不晕了，解过的数分题，老师都说好！

月饼搭配数分教程，也体现了中科大的特色。数学分析又被称作高级微积分，是深入研究实数、复数和函数的数学分支学科，也是一种应用十分广泛的学科。学好数分，有助于我们对各宏观或微观世界物理现象的研究，有利于我们更加严谨地建立描绘自然规律的数学模型。吃着月饼，学着数分，或许我们会有新的发现。

❹ 数学分析教材评价

很好
《数学分析》是综合性大学和高等师范院校数学系本科生数学分析课程的教材。全书共分三册。第一册共六章，内容为函数、序列的极限、函数的极限与
连续性、导数与微分、导数的应用、不定积分；第二册共六章，内容为定积分、广义积分、数项级数、函数序列与函数项级数、幂级数、傅里叶级数：第三册共五
章，内容为n维欧氏空间与多元函数的极限和连续、多元函数微分学、重积分与广义重积分、曲线积分与曲面积分及场论、含参变量的积分。《数学分析(第1
册)》每章配有适量习题，书末附有习题答案或提示，供读者参考。
作者多年来在北京大学为本科生讲授数学分析课程，按照教学大纲，精心选取教学内容
并对课程体系优化整合，经过几届学生的教学实践，收到了良好的教学效果。《数学分析(第1册)》注重基础知识的讲述和基本能力的训练，按照认知规律，以几
何直观、物理背景作为引入数学概念的切入点，对内容讲解简明、透彻，做到重点突出、难点分散，便于学生理解与掌握。
《数学分析(第1册)》可作为高等院校数学院系、应用数学系本科生的教材，对青年教师《数学分析(第1册)》也是一部很好的教学参考书。为了帮助读者学习，《数学分析(第1册)》配有学习辅导书《数学分析解题指南》供读者参考。

❺ 如何评价徐森林的《数学分析》一，二，三册

是给数学系写的。

我觉得这书还不错。我对数学分析教材的好恶有一个（纯属个人的）判别标准，就是看是否讲外微分形式。另外这书也确实有一些特色，比如渗透了不少拓扑的观点，对n元函数微分学中的逆射与隐射定理还给出了一个另类证法。

还有一个额外的好处，是徐森林教授写过很多其他课程的教材和参考书，以这套数学分析为起点，基本可以构成一个本科低年级的分析-几何基础课系列（不过没有复变函数）。

作者：蒋澈
链接：https://www.hu.com/question/53208959/answer/133921681
来源：知乎
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❻ 对数学分析的认识和想法

1数学分析解题思想与方法
解数学题不是要把自己当成解题的机器、解题的奴隶，而应该努力成为解题的主人，是要从解题中吸取解题的方法、思想，锻炼自己的思维，这就是所谓的“数学题要考查考生的能力”。下面小编给大家带来了数学分析解题思想与方法，希望对您们有帮助。

一、数形结合思想

“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合，应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决，运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。

二、转化和化归思想

在研究和解决数学问题时，综合利用已掌握的知识和技能，通过某种手段，将问题转化为已有知识范围内可以解决的一种数学方法。

一般总是将复杂的问题转化为简单的问题，将较难的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换并转化为已解决的问题。可以说转化与化归思想在数学问题解决过程应用最为普遍，各类数学问题的解决无不是在不断转化中得以解决。实质上数学中常用的数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想也可以理解为转化与化归思想的表现形式。

三、向量思想

通过观察问题的几何特征，挖掘代数结构的向量模型，巧妙地构造向量，把原有问题转化为向量的运算功能或向量的几何意义来解决，向量不仅可进行加、减、数乘等丰富的代数运算，同时向量提供了重要的几何意义。向量构建了代数与几何之间的桥梁，使一些难以解决的代数或几何问题运用向量的运算使问题迎刃而解，通过向量运算，可有效揭示空间(或平面)图形的位置和数量关系，由定性研究变为定量研究，是数形结合思想的深化和提高。

❼ 学习《数学分析课程》的心得及其领悟到的方法。

哈哈，数学分析！这可是大学数学专业学生的神级书本之一（另一本是高等代数）。
首先作为一个大二数学专业学生，说说心得吧。总结起来就是你在上完这门课之前永远别认为自己已经理解了其中的定义、定理、证明，题目你可以最对，但说到真正理解数学分析里的内涵还真是需要时间。为什么这么说呢，因为现在我也经学完了这本书，当时觉得还不算难，就是一些最基本的东西，然而现在我在学习数学专业其他课程的时候发现数学分析里面的定义定理真是其次，这门课里面蕴含是数学思想才是最重要的，所以这门课的证明部分特别重要。不要觉得只要记住了定理，知道怎么用就行了，那样的话你永远不能真正的学懂数学分析。
好吧，一下子扯的有点多，下面说说方法。在我看来如果只是应付考试，那你直接多看定理多练题就行，如果你认真的话90、100都没问题；但是如果真的对数学有兴趣，那你一定要学会记住定义，学会证明书上的定理，最后就是看数学分析的目录，能够口述出来每一个章节都在干什么，只有这样才能体会到数学的美妙之处。这个过程可能会很枯燥，可能一刚开始有兴趣，但学了几天就萎了，但是数学的学习就是这样，不过在枯燥无味的定理最后一定会用于生活！这个好像是某一个大家说的，这里套用一下。

❽ 数学分析、实分析。计科系的有没有必要学对比只学高数，其优越性在哪有吗

看个人定位了，如果你以后出来只想做一个程序员，以后到IT界工作，那数学分析、实分析真没必要现在学。那些在工作中是基本用不上的，做程序设计(非专项程序设计)的，连微积分，线代都用不上,他们需要的是C，C++,数据结构等等。即使偶尔可能会用到一些高深的算法，也仅仅是要用到的时候上网查查，COPY一下代码，调试下就可以了，而且数学这类东西，如果长期不用是会忘记的。
但是如果你以后想做研究的话(读研,读博,出国深造)，那么现在可以学学，实分析难度很大，建议放在数分之后。想在计算机一些研究领域做得很好的话，对数学的要求很高，比如图形学，对矩阵代数，微分几何都有很高的要求，人工智能需要对概率论，离散数学，模糊数学很精通，实分析貌似在计算机领域用得不多，好像分形计算里面有用到这个，总之这个东西是跟基础数学联系比较紧密的。
另外，从培养理性思维，开拓视野的角度上讲，我觉得有必要去尝试下。数学是现代文明的基石，即使是那些毕业以后绝对不会再用到数学，而且已经将他们学到的内容都忘记的人，也会影响他们看待世界的方式，而受益匪浅。就连西点军校的课程中都包含有数学。

❾ 3000字数学分析感想

函数是现代数学最重要的概念之一，函数描述的是变量之间的关系。微积分起源的学术争论从其诞生时刻就没有停止，有人认为是牛顿发明了微积分，有人则持否定观点。但可以肯定的是微机分已经渗透到现代科学的各个领域。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。
不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。
其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。
直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。
任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西……
欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。