数学中什么叫群

‘壹’ 数学中“群”的概念和应用

在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。要具有成为群的资格，这个集合和运算必须满足一些被称为“群公理”的条件，也就是结合律、单位元和逆元。尽管这些对于很多数学结构比如数系统都是很熟悉的，例如整数配备上加法运算就形成一个群，但将群公理的公式从具体的群和其运算中抽象出来，就使得人们可以用灵活的方式来处理有着非常不同的数学起源的实体，而同时在抽象代数之上保留很多对象的本质结构体貌。群在数学内外各个领域中是无处不在的，使得它们成为当代数学的中心组织原理。[1][2]
群与对称概念共有基础根源。对称群把几何物体的对称特征定为：它由保持物体不变的变换的集合，和通过把两个这种变换先后进行来组合它们的运算构成。这种对称群，特别是连续李群，在很多学术学科中扮演重要角色。例如，矩阵群可以用来理解在狭义相对论底层的基本物理定律和在分子化学中的对称现象。
群的概念引发自多项式方程的研究，由埃瓦里斯特•伽罗瓦在 1830 年代开创。在得到来自其他领域如数论和几何的贡献之后，群概念在 1870 年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科，它以自己的方式研究群。 为了探索群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和单群。除了它们的抽象性质，群理论家还从理论和计算两种角度来研究具体表示群的各种方式(群表示)。对有限群已经发展出了特别丰富的理论，这在1983年完成的有限简单群分类中达到顶峰。

‘贰’ 数学上的群，域，环等有什么区别和联系

（1）群：集合G上定义了二元运算记作“ * ”，满足以下四个条件:

1. 封闭性。2.结合律。3.含幺。4.有逆。

那么该集合和二元运算一起构成的代数结构（G，*）称作一个群。

（2）Abel群：二元运算还满足交换律的群。所以Abel群也叫做交换群，是一类特殊的群。二元运算记作“ + ”

（3）半群：集合上定义的二元运算，满足前两个条件：

1.封闭性。2.结合律。

(群一定是半群，但是半群不一定是群。)

有了以上的定义，我们来看一下什么是环和域。

（4）环：设集合R上定义了两个二元运算“ + ”，“ * ”且满足

1.（R，+）是Abel群。

2.（R，*）是半群。

3.两种运算满足分配率，a*（b+c）=a*b+a*c

则集合R和两个二元运算构成的代数结构叫做环。

（5）域：环中的半群结构，满足含幺和交换律，则称作域。可见域是一种特殊的环。

综上：最大的概念是半群，群是半群的子集，Abel群又是群的子集。环是在Abel群的基础上进行“修饰”，也就是再增加一种二元运算使得集合构成半群，且两种运算满足上面提到的分配率。最后域是环的子集，要求增加的这种二元运算还要满足含幺和交换律。

‘叁’ 数学上的群、域、环等有什么区别和联系

1、群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(group axioms)，即：

①封闭性：a ∗ b is another element in the set

②结合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

③单位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a

④逆 元：加法的逆元为-a，乘法的逆元为倒数1/a，… (对于所有元素)

⑤如整数集合，二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的，加法满足结合律，单位元为0，逆元取相反数-a)。

2、环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·)，需要满足环公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。环公理如下：

①(R, +)是交换群

封闭性：a + b is another element in the set

结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

单位元：加法的单位元为0，a + 0 = a and 0 + a = a

逆 元：加法的逆元为-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (对于所有元素)

交换律：a + b = b + a

②(R, ·)是幺半群

结合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

单位元：乘法的单位元为1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a

③乘法对加法满足分配律Multiplication distributes over addition

3、域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。

由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合，不存在乘法逆元(1/3不是整数)，所以整数集合不是域。有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域。

‘肆’ 什么是数学上的群

这是抽象代数的内容:
集合是基本概念,相当于一类/一堆/全体/...你该理解，不说了。
群是特殊的集，在它上面可以定义一种运算（通常叫做“乘法”，但跟数的乘法无必然联系），要封闭/可结合/有单位元（类似乘1/加0）/有逆元（类似乘倒数/加相反数）...
例如，正有理数是乘法群，非零有理数也是乘法群，整数集在加法下成群。
注意，群不要求交换律，如果满足交换律，叫阿贝尔群（或加法群）。
环和域的要求就更高了，不必给你讲抽象的，只在数的范围内讨论：
在加/减/乘下封闭的数集是数环，如果数环在除法下也封闭，就叫数域。
某数的倍数全体（包括负的）成一数环，有理数集是最小的数域，实数集/复数集也是数域。
更深的内容参见大学课本，抽象代数/近世代数之类......

‘伍’ 数学《群论》的群概念：谁能用通俗的语言解释：1、什么是群2、有何用

有可逆运算的元素集合，集合与运算一起称为群。群论是数论的一种，衍生学科有拓扑学，可以用于分析抽象的图形，数形结合，多维矩阵等问题。经典的案例就是伽罗瓦分析出五次及以上代数方程没有公式解的故事。