怎么用数学归纳法证明等比数列

A. 如何求证数列是等比、等差数列

【教学目标】
1. 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质.
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用"数学归纳法"证明简单的与自然数有关的命题.
3. 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.
4. 努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、大胆质疑氛围,提高学生学习的兴趣和课堂效率.
5. 通过对例题的探究,体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神.
【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析
【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解
【教学方法】类比启发探究式教学方法
【教学手段】多媒体辅助课堂教学
【教学程序】
第一阶段:输入阶段--创造学习情境,提供学习内容
1. 创设问题情境,启动学生思维
(1) 不完全归纳法引例:
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话:财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出"四就是四横、五就是五横……"的结论,用的就是"归纳法",不过,这个归纳推出的结论显然是错误的.
(2) 完全归纳法对比引例:
有一位师傅想考考他的两个徒弟,看谁更聪明一些.他给每人一筐花生去剥皮,看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着,看谁先给出答案.大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了;二徒弟只拣了几个饱满的,几个干瘪的,几个熟好的,几个没熟的,几个三仁的,几个一仁、两仁的,总共不过一把花生.显然,二徒弟先给出答案,他比大徒弟聪明.
在生活和生产实际中,归纳法也有广泛应用.例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测,水文预报,用的就是归纳法.这些归纳法却不能用完全归纳法.
2. 回顾数学旧知,追溯归纳意识
(从生活走向数学,与学生一起回顾以前学过的数学知识,进一步体会归纳意识,同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳.)
(1) 不完全归纳法实例: 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式.
(2) 完全归纳法实例: 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况.
3. 借助数学史料, 促使学生思辨
(在生活引例与学过的数学知识的基础上,再引导学生看数学史料,能够让学生多方位多角度体会归纳法,感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨:在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论,不管是我们还是数学大家都可能如此.那么,有没有更好的归纳法呢?)
问题1 已知 = (n∈N),
(1)分别求 ; ; ; .
(2)由此你能得到一个什么结论?这个结论正确吗?
(培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力.概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦指出:思维都是在概括中完成的.心理学认为"迁移就是概括",这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移,我找的突破口就是学生的概括过程.)
问题2 费马(Fermat)是17世纪法国着名的数学家,他曾认为,当n∈N时, 一定都是质数,这是他对n=0,1,2,3,4作了验证后得到的.后来,18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了 =4 294 967 297=6 700 417×641,从而否定了费马的推测.没想到当n=5这一结论便不成立.
问题3 , 当n∈N时, 是否都为质数?
验证: f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,…,f(39)=1 601.但是f(40)=1 681= ,是合数.
第二阶段:新旧知识相互作用阶段--新旧知识作用,搭建新知结构
4. 搜索生活实例,激发学习兴趣
(在第一阶段的基础上,由生活实例出发,与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程.孔子说:"知之者不如好之者,好之者不如乐之者."兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验.)
实例:播放多米诺骨牌录像
关键:(1) 第一张牌被推倒; (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下. 于是, 我们可以下结论: 多米诺骨牌会全部倒下.
搜索:再举几则生活事例:推倒自行车, 早操排队对齐等.
5. 类比数学问题, 激起思维浪花
类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式 :
(1) 当n=1时等式成立; (2) 假设当n=k时等式成立, 即 , 则 = , 即n=k+1时等式也成立. 于是, 我们可以下结论: 等差数列的通项公式 对任何n∈ 都成立.
(布鲁纳的发现学习理论认为,"有指导的发现学习"强调知识发生发展过程.这里通过类比多米诺骨牌过程,让学生发现数学归纳法的雏形,是一种再创造的发现性学习.)
6. 引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下:
(1) 证明当n取第一个值 时结论正确;
(2) 假设当n=k (k∈ ,k≥ ) 时结论正确, 证明当n=k+1时结论也正确.
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都正确.
这种证明方法叫做数学归纳法.
第三阶段:操作阶段--巩固认知结构,充实认知过程
7. 蕴含猜想证明, 培养研究意识
(本例要求学生先猜想后证明,既能巩固归纳法和数学归纳法,也能教给学生做数学的方法,培养学生独立研究数学问题的意识和能力.)
例题 在数列{ }中, =1, (n∈ ), 先计算 , , 的值,再推测通项 的公式, 最后证明你的结论.
8. 基础反馈练习, 巩固方法应用
(课本例题与等差数列通项公式的证明差不多,套用数学归纳法的证明步骤不难解答,因此我把它作为练习,这样既考虑到学生的能力水平,也不冲淡本节课的重点.练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明,与前者是一个对比与补充.通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况.)
(1)(第63页例1)用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)= .
(2)(第64页练习3)首项是 ,公比是q的等比数列的通项公式是 .
9. 师生共同小结, 完成概括提升
(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法;
(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性,数学归纳法属于完全归纳法;
(3) 数学归纳法作为一种证明方法,其基本思想是递推(递归)思想,使用要点可概括为:两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉;
(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有:递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想.
10. 布置课后作业, 巩固延伸铺垫
(1) 课本第64页练习第1, 2题; 第67页习题2.1第2题.
(2) 在数学归纳法证明的第二步中,证明n=k+1时命题成立, 必须要用到n=k时命题成立这个假设.这里留一个辨析题给学生课后讨论思考:
用数学归纳法证明: (n∈ )时, 其中第二步采用下面的证法:
设n=k时等式成立, 即 , 则当n=k+1时,
.
你认为上面的证明正确吗?为什么?
【教学设计说明】
1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法.它的操作步骤简单、明确,教学重点不应该是方法的应用.我认为不能把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.为此,我设想强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中,把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机.
2.在教学方法上,这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是加强学生对教学过程的参与.为了使这种参与有一定的智能度,教师应做好发动、组织、引导和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的,本节课按照思维次序编排了一系列问题,让学生投入到思维活动中来,把本节课的研究内容置于问题之中,在逐渐展开中,引导学生用已学的知识、方法予以解决,并获得知识体系的更新与拓展.
3.运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题,两个步骤缺一不可.理解数学归纳法中的递推思想,尤其要注意其中第二步,证明n=k+1命题成立时必须要用到n=k时命题成立这个条件.这些内容都将放在下一课时完成,这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质,也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向.

B. 高中数学等比数列数学归纳法证明结论问题

sn^2=(sn-1/2)an,an=2sn(an-sn)=-2[an+s(n-1)]s(n-1),2s(n-1)^2+2s(n-1)an+an=0
an=-2s(n-1)^2/[2s(n-1)+1]
a1=1,s1=a1=1,
a2=-2/3,s2=1/3,
a3=-2/15,s3=1/5
a4=-2/35,s4=1/7
,...,
先归纳出s(n-1)=1/[2(n-1)-1]=1/(2n-3),
然后求an=-2s(n-1)^2/[2s(n-1)+1]=-[2/(2n-3)^2]/[2/(2n-3)+1]=-2/[(2n-1)[(2n-3)]，n>=2
然后求得sn=an+s(n-1)=1/(2n-3)-2/[(2n-1)[(2n-3)]=1/(2n-1)，这就证明了sn

再归纳出s(n-1)>0,an=-2/[(2n-1)[(2n-3)],然后按照2s(n-1)^2+2s(n-1)an+an=0求出正确的s(n-1)
s(n-1)=-an/2+-√(4an^2-8an)/4=-an/2+-√(an^2-2an)/2
=1/[(2n-1)(2n-3)]+-√[4+4(2n-1)(2n-3)/[2(2n-1)(2n-3)]
=1/[(2n-1)(2n-3)]+-2(n-1)/[(2n-1)(2n-3)]
所以s(n-1)=1/[(2n-1)(2n-3)]+2(n-1)/[(2n-1)(2n-3)]=1/(2n-3)
所以sn=s(n-1)+an=1/(2n-3)-2/[(2n-1)[(2n-3)]=1/(2n-1)
所以a(n+1)=-2sn^2/[2sn+1]=-2/[(2n-1)[(2n+1)]=-2/{[2(n+1)-1][(2(n+1)-3]}，这就证明了an

C. 帮忙解一道用数学归纳法的证明题（证明等差等比数列前n项和的公式）

等差数列公式证明：
(1)n=1,S1=a1，成立
(2)设Sk=ka1+(1/2)k(k-1)d,则Sk+1=Sk+ak+1=ka1+(1/2)k(k-1)d+a1+kd
=(k+1)a1+(1/2)(k+1)kd，所以n=k+1也成立。
等比数列
(1)n=1,S1=a1成立
(2)Sk+1=Sk+ak+1=a1(1-q^k)/(1-q)+a1q^k
=[a1/(1-q)][1-q^k+q^k-q^(k+1)]
=a1[1-q^(k+1)]/(1-q)
所以n=k+1时公式仍成立。
综上，两个公式都成立。

D. 证明等差数列，等比数列前n项和的公式

下面用数学归纳法证明Sn=na1+n(n-1)d/2和Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)
（一）等差数列前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2证明：
(1)n=1,S1=a1，成立
(2)设Sk=ka1+k(k-1)d/2,则
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=ka1+k(k-1)d/2+a1+kd
=(k+1)a1+(k+1)kd/2
所以n=k+1也成立。
所以等差数列前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)d/2。

（二）等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)证明：
(1)n=1,S1=a1成立
(2)设Sk=[a1(1-q^k)]/(1-q)。
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=a1(1-q^k)/(1-q)+a1q^k
=[a1/(1-q)][1-q^k+q^k-q^(k+1)]
=a1[1-q^(k+1)]/(1-q)
所以n=k+1时公式仍成立。
所以等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)。

E. 等比数列求证

可以用数学归纳法。
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1是命题也成立。

F. 怎么证明是 等比数列

a1=3,a(n+1)=(3an—2)/an,n
为正整数，证明数列{(an—1)/(an—2)}为等比数列
a(n+1)=(3an—2)/an
得
an
a(n+1)
=
3an
-2
[(an—1)/(an—2)]
/
[(a(n-1)—1)/(a(n-1)—2)]
=(an—1)(a(n-1)—2)
/
(an—2)(a(n-1)—1)
分子
=
an
a(n-1)
-
2an
-
a(n-1)
+2
=
(3a(n-1)
-2)
-
2an
-
a(n-1)
+2
=
-2an
+
2a(n-1)
分母
=
an
a(n-1)
-an
-2a(n-1)
+2
=
(3a(n-1)
-2)
-an
-2a(n-1)
+2
=
-an
-
a(n-1)
分子/
分母
=2
所以数列{(an—1)/(an—2)}为等比数列
再用数学归纳法
a(n+1)=(3an—2)/an
=
3
-
2/an
若an>2则a(n+1)
>
3-1
=2,
分母不会为
0

G. 证明等比数列的4种方法

方法1：（定义法）若后项a(n+1)与前项a(n)之比为定值q，则数列是等比数列；
方法2：（等比中项法）若前后三项关系满足：a(n)²=a(n-1)*a(n+1)，则数列是等比数列；
方法3：（通项公式法）若数列通项公式类似于指数函数a(n)=m*q^(n)，则数列是等比数列；
方法4：（前n项和特征法）若数列前n项和类似于函数S(n)=-A+A*q^(n)，则数列是等比数列；

H. 请教用数学归纳法证明这个数列是等比数列