怎么求二维正态分布的数学期望

1. 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布(1,-1;4,9;0),则E(X^2Y^2)=

结果为：50

解题过程如下：

解：

∵（x，y）~N（0，0，1，1，0）

∴X~N(0,1)，Y~N(0,1)

且X与Y独立

∵X/Y<0，即X与Y反号

∴P（X/Y<0）

E(X)=1

D(X)=4

E(X^2)=D(X)+E(X)^2=5

E(Y)=1

D(Y)=9

E(Y^2)=D(Y)+E(Y)^2=10

∴E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)=50

(1)怎么求二维正态分布的数学期望扩展阅读

求二维正态分布方法：

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

2. 正态分布的期望和方差公式是什么

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）为试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其实就是均值是u，方差是t^2。

于是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*）

(2)怎么求二维正态分布的数学期望扩展阅读：

服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

3. 正态分布期望如何算

这个计算有些麻烦的，不过只要熟悉了反常积分的解题技巧巧妙地构造二重积分(或用我们熟知的贝塔函数)就很容易解出来了

要计算正态分布的期望就要遇到解决积分：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx
由函数的奇偶性知：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx
记A=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx，
我们先来计算：A^2=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx∫[(0，+∞)，e^(-y^2)]dy
=∫[(0，+∞)]dx∫[(0，+∞)，e^(-x^2-y^2)dy
作变量替换：x=rcosθ，y=rsinθ，在上式可化为
A^2=∫[(0，π/2)]dθ∫[(0,+∞)，re^(-r^2)]dr=π/4
那么A=(√π)/2
所以：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2A==√π

那么：E(X)=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，xe^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，(x-µ)e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
+ µ/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
第一个积分算得0，第二个积分根据上面的结论得 µ，
所以E(X)= µ

还可以用根据第一类欧拉积分与第二类欧拉积分的关系来求解

4. 二元正态分布的期望

(X,Y)服从N（u1,u2,σ1,σ2,p）
有定理：aX+bY服从N(au1+bu2,a^2σ1+b^2σ2+2abpσ1σ2)
剩下的直接套公式即可

5. 正态分布的期望和方差怎么求

设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其实就是均值是u，方差是t^2。

于是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*）

积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域。

（1）求均值

对（*）式两边对u求导：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆开，再移项：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是

∫x*f(x)dx=u*1=u

这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。

(2)方差

过程和求均值是差不多的，我就稍微略写一点了。

对(*)式两边对t求导：

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移项：

∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。

(5)怎么求二维正态分布的数学期望扩展阅读：

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

对于连续型随机变量X，若其定义域为（a，b），概率密度函数为f（x），连续型随机变量X方差计算公式：D（X）=（x-μ）^2 f（x） dx

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差、方差越大，离散程度越大）

若X的取值比较集中，则方差D（X）较小，若X的取值比较分散，则方差D（X）较大。

因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。

6. 正态分布的期望值怎么求

Φ(x)=1/2+（1/√π）*∑(-1)^n*(x/√2)^(2n+1)/(2n+1)/n! 其中n从0求和到正无穷因为正态分布是超越函数，所以没有原函数，只能用级数积分的方法。

称其分布为高斯分布或正态分布，记为N（μ，σ2），其中为分布的参数，分别为高斯分布的期望和方差。当有确定值时，p(x)也就确定了，特别当μ=0，σ2=1时，X的分布为标准正态分布。

μ正态分布最早由棣莫佛于1730年在求二项分布的渐近公式时得到；后拉普拉斯于1812年研究极限定理时也被引入。

(6)怎么求二维正态分布的数学期望扩展阅读

标准正分布的性质：

1、密度函数关于平均值对称

2、平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。

3、函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。

4、95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。

5、99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。

6、99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。

7、函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。

7. 求二维正态曲线的期望值

结果为：0.5

解题过程如下：

解：

∵（x，y）~N（0，0，1，1，0）

∴X~N(0,1)，Y~N(0,1)

且X与Y独立

∵X/Y<0，即X与Y反号

∴P（X/Y<0）

=P(X>0,Y<0)+P(X<0,Y>0)

=0.5×0.5+0.5×0.5

=0.5

(7)怎么求二维正态分布的数学期望扩展阅读

求二维正态分布方法：

设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X（e）和Y=Y(e)S是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y），叫做二维随机变量或二维随机向量。

例如：现在有一个班（即样本空间）体检,指标是身高和体重,从中任取一人（即样本点）,一旦取定,都有唯一的身高和体重（即二维平面上的一个点）与之对应,这就构造了一个二维随机变量。由于抽样是随机的,相应的身高和体重也是随机的,所以要研究其对应的分布。

公式：

8. 正态分布的期望怎么求

正态分布的期望求法为E（X）=X1*p（X1）+X2*p（X2）+…+Xn*p（Xn）。正态分布也称常态分布，又名高斯分布最早由棣莫弗，在求二项分布的渐近公式中得到。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ=0,σ=1时的正态分布是标准正态分布。

9. 已知（X，Y）二维正态分布概率密度怎样求数学期望E（X）和E（Y）

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