A. 数学教学过程的内涵和实质是什么
教学是一种传授社会经验的手段，通过教学传授的是社会活动中各种关系的模式、图式、总的原则和标准。这是一种侧重于传授内容的总体叙述。 美国心理学家布鲁纳认为：教学是通过引导学生对问题或知识体系循序渐进的学习来提高学生正在学习中的理解、转换和迁移能力。这是侧重于学生获得发展的叙述。 不论是从认识心理学的角度构筑的数学教学理论，还是着眼于未来，注重学习方法的掌握与创造精神发挥的数学教学理论，都必须研究数学教学过程的本质、数学教学的原则和教学方式及方法的开拓，探讨数学教学的科学性与艺术性及其统一。特别地，要与信息社会发展的总体趋势相适应，着眼于促进学生全面、持续、和谐地发展。
B. 数学的本质是什么，数学内容的精神
数学是人类大脑生理活动生成的信息演绎推理过程。数学作为对客观事物的一种抽象认识过程，而过程并不是物质，能量的本身，只是在大脑的信息活动中，从感性认识生成的认知概念。也可以说，数学知识是人类通过实践而获得的信息，表现为一种经验知识的积累，从而找出事物之间的及事物本身的内在活动规律。
参考资料：
生命真相 刘量衡着 湖南科技出版社 2012
C. 如何把握数学本质进行教学
一、概念的教学要基于学生已有的认知基础
皮亚杰的建构主义理论认为，学生要在已有的知识经验基础上建构新知识。而数学概念的抽象性更要求基于学生已有的认知基础上进行教学，关注学生的学习过程，所以教师要善于引导学生从原有经验、原有的认识中逐步抽象概括出数学的形式化定义。如教学“倍的认识”一课，揭示“倍”概念的方式很多，但新知识与学生认知的最近发展区越接近，学生就会越容易理解。因此，这节课教师可以采用同化的方式引导学生获取“倍”的概念，即利用学生已有认知结构中对“几个几”的理解来同化“几的几倍”。教师应鼓励学生用自己的眼睛去观察，用自己的语言去表达，用自己的思考去解读“倍”的相关量的共性，使他们真正领悟每份数、份数与“几的几倍”的关系，这样学生对“倍”的概念会建立得更好，理解会更深刻。
另外，教师在引导学生理解和掌握数学概念的过程中，还可以借助丰富的数学史资料，展示概念的形成过程，让学生体验数学家们对数学知识、数学原理不畏艰难的探索过程。例如，自然数概念形成的漫长过程、不同民族对自然数和表示方法的创造、祖冲之对圆周率的探索过程等。
二、在数学活动中引导学生深刻理解概念的本质
所谓对数学概念的理解是指了解为什么要学习这一概念，这一概念的现实原型是什么，这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么，这些需要教师循序渐进地引导学生理解。如对一年级学生教学自然数的概念时要通过“数数”活动，而有些教师认为学生在幼儿园已有“数数”的经验了，忽视对“数数”的教学。其实，学前儿童的“数数”还大多停留在念歌谣的层面上，对数缺乏深刻的认识。没有“数”的过程，学生对数的理解是不深刻的。因此，教师要先设计“数数”这一数学活动，充分挖掘“数数”的教育价值，让学生多形式地数数。如通过一个一个地数，让学生知道某个集合的数量；通过2个2个或5个5个地数，丰富学生对数的认识；通过数列的变化规律，让学生进一步认识数的特征，发现自然数列的内在规律。
数学学科最基本的概念具有本质性、概括性，是学生学习数学知识的导航器，而循序渐进的引导是开启学生思维活动的金钥匙。如吴正宪老师执教“10的认识”一课的教学片断。
（1）突出现实背景，为自主建构运算定律提供支点。
学生对计算方法的选定，更多的是依赖于生活实践中积累的真实想法与最自然化的理解。如：“天气变冷了，李阿姨到批发市场去批发衣服。看中一件上衣56元，一条裤子44元，如果她想批8套这样的衣服，一共要多少元？你可以用哪些方法解答？”面对这样的问题，学生出现56×8+44×8和（56+44）×8两种解决方法，然后教师组织学生对这两种方法进行分析比较。学生除了得出两种算法有相同的结果外，更重要的是还惊喜地发现当上衣、裤子的单价正好可以凑成整十、整百时，把它们先合起来再乘会更简便，从而得到了一种优化的解题方案。因此，教学中，教师需要创设一些情境来帮助学生真正从模仿走向理解。
（2）注重意义感悟，为自主建构运算定律打下基础。
如上述案例中，在学生得出56×8+44×8=（56+44）×8后，教师可趁热打铁地追问学生：“如果不计算，你能用以前学过的知识来解释这两种解法为什么相等吗？”接着以数形结合的思想，引导学生根据乘法意义来理解两种解法相等的算理。如：“学校扩建草坪（如右图），求扩建后的草坪面积。”在数形图的`帮助下，学生明白8个56加8个44等于8个100（即56+44）的道理。在后继的练习中，教师有必要反复多样地呈现这样的情境，然后引导学生看着算式去思考，不断思考算式的本意。
（3）逐步抽象概括，为自主建构运算定律搭建模型。
如在上述教学的基础上，教师又安排了横向比较抽象、逐步符号抽象和新旧对比抽象的三次抽象活动。横向比较抽象（把例题中的“8套”改成“20套”，列成等式成立吗？为什么）脱离了具体数的抽象，从中引导学生初步总结出乘法分配律；逐步符号抽象（将“20套”改成“c套”，能列成等式吗？为什么？这里的c能表示哪些数？把“56元”改成“a元”，把“44元”改成“b元”，等式怎么变）脱离了具体情境的抽象，从中引导学生进一步感悟乘法分配律的特征，并得到乘法分配律的字母表达式；新旧对比抽象（“a+b”在这里表示一套衣服的价钱，除此之外，还能表示哪些数量？沟通旧知“速度和”“长宽和”等与新知间的联系）脱离了具体数和具体情境的抽象，从中引导学生在沟通中完善关于运算定律的认知结构，并进一步加强对乘法分配律特征的认识。乘法分配律模型的建构，在以上三次抽象的过程中自然生成了。
开展有效的数学活动
数学教学是活动的教学，是让学生经历数学化过程的活动，是让学生自己建构数学知识的活动。教学活动是否有效，关键是看活动能否引发学生的数学思考，能否提高学生的思维能力。如何在课堂上既让学生在动手操作中获得知识又使操作促进数学思维的发展，使数学活动发挥最大的数学价值。
数学家弗赖登塔尔说过：通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，还可以保持较长久的记忆。在《东南西北》这课教学中，“东西、南北相对”、“东南西北顺时针排的”这两个知识是教学的重点，更是接下去学生根据一个方向找出其他三个方向的方法基础。因此在本课教学中设计了两个活动，以此激发学生的求知欲和探索精神，把外部的肢体活动和内部的数学思维有效结合，使学生的活动具有数学味，学生通过活动亲身感悟到这两个知识点，并体会到这两个知识点的运用价值，为接下来的根据一个方向找出另三个方向的活动奠定了扎实的基础，学生在活动中愉快地参与、自主地感悟、主动地学会并运用知识。在组织学生进行数学活动时，应把学生看作一个有丰富内在世界、独立人格尊严和重大生命潜能的活的生命体，设计多渠道的、有挑战的、有意义的数学活动，让学生充分参与，并帮助学生在活动中体验、在活动中感悟、在活动中发展。
发挥教师的价值引领
由于学生的认识水平正处于发展阶段，生活阅历也并不丰富，所以他们的发展常常不能自发完成，这决定了教师是课堂的灵魂。任何一个教学目标的实现，既离不开学生，也离不开教师。尽管课堂是动态生成的，但教学的过程必须服从教师课前预设的价值追求（不排除追求过程中的自觉调整与完善），服务于全体学生的多元发展。没有教师的价值引领，就不可能有高质量的教学，学生的自主探究、合作交流就可能会丧失方向，成为信马由缰式的活动。如，一位教师在教学“百以内的口算减法（24—19）”时，学生独立思考后汇报了七八种方法。在交流的过程中，教师边板书，边反复用“真行！”“还有不同意见吗？”加以引导。整个交流过程学生非常投入，教师也很满意。
最后教师说：“小朋友，你们的办法真多！以后就用自己喜欢的方法进行口算。”事实上，绝大多数的学生只理解其中的一种方法，并且几乎仍停留在原有的认知水平上，思维没有得到相应的发展，让学生理解、掌握多种口算方法的目标成了空谈。在这一教学片段中，教师没有意识到各种方法之间的内在联系，以及各种方法之间还有相对合理、简洁的区别，没有意识到自己有责任引导学生进行比较、归类，在此基础上做出选择和自我调整，使学生的构建活动富有意义而不是杂乱无章。形式化的开放和放开只能带来表面的热闹而缺乏实效。这就需要教师能够准确把握学生的学习动态，做到“该出手时就出手”：即适时介入，充分发挥教师的价值引领作用。