数学都有哪些思想

1. 数学基本思想有哪些

高中数学基本数学思想
1.转化与化归思想:是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化,即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的,这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果. 高中数学中新知识的学习过程,就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程.因此,化归思想在数学中无处不在. 化归思想在解题教学中的的运用可概括为:化未知为已知,化难为易,化繁为简.从而达到知识迁移使问题获得解决.但若化归不当也可能使问题的解决陷入困境. 例证
2.逻辑划分思想(即分类与整合思想):是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时,而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解,并综合得出答案的一种基本数学思想.但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥,不重复,不遗漏,最简洁的要求. 在解题教学中常用的划分标准有:按定义划分;按公式或定理的适用范围划分;按运算法则的适用条件范围划分;按函数性质划分;按图形的位置和形状的变化划分;按结论可能出现的不同情况划分等.需说明的是: 有些问题既可用分类思想求解又可运用化归思想或数形结合思想等将其转化到一个新的知识环境中去考虑,而避免分类求解.运用分类思想的关键是寻找引起分类的原因和找准划分标准. 例证
3. 函数与方程思想(即联系思想或运动变化的思想):就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系,抽象其数量特征,建立函数关系式,利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想.
4. 数形结合思想:将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质(或位置关系);或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系,使抽象思维与形象思维结合起来,实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化,从而使隐蔽的条件明朗化,是化难为易,探索解题思维途径的重要的基本数学思想.
5. 整体思想:处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度出发,分析条件与目标之间的结构关系,对应关系,相互联系及变化规律,从而找出最优解题途径的重要的数学思想.它是控制论,信息论,系统论中“整体—部分—整体”原则在数学中的体现.在解题中,为了便于掌握和运用整体思想,可将这一思想概括为:记住已知(用过哪些条件?还有哪些条件未用上?如何创造机会把未用上的条件用上?),想着目标(向着目标步步推理,必要时可利用图形标示出已知和求证);看联系,抓变化,或化归;或数形转换,寻求解答.一般来说,整体范围看得越大,解法可能越好.
在整体思想指导下,解题技巧只需记住已知,想着目标, 步步正确推理就够了.
中学数学中还有一些数学思想,如：
集合的思想;
补集思想;
归纳与递推思想;
对称思想;
逆反思想;
类比思想;
参变数思想
有限与无限的思想；
特殊与一般的思想.
它们大多是本文所述基本数学思想在一定知识环境中的具体体现.所以在中学数学中,只要掌握数学基础知识,把握代数,三角,立体几何,解析几何的每部分的知识点及联系,掌握几个常用的基本数学思想和将它们统一起来的整体思想,就定能找到解题途径.提高数学解题能力.
数学解题中转化与化归思想的应用
数学活动的实质就是思维的转化过程,在解题中,要不断改变解题方向,从不同角度,不同的侧面去探讨问题的解法,寻求最佳方法,在转化过程中,应遵循三个原则：1、熟悉化原则,即将陌生的问题转化为熟悉的问题；2、简单化原则,即将复杂问题转化为简单问题；3、直观化原则,即将抽象总是具体化.

策略一：正向向逆向转化
一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一,解题时,如果从下面入手思维受阻,不妨从它的正面出发,逆向思维,往往会另有捷径.

例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不共面的取法共有__________种.
A、150 B、147 C、144 D、141

分析：本题正面入手,情况复杂,若从反面去考虑,先求四点共面的取法总数再用补集思想,就简单多了.
10个点中任取4个点取法有 种,其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有 种,同理其余3个面内也有 种,又,每条棱与相对棱中点共面也有6种,各棱中点4点共面的有3种, 不共面取法有 种,应选（D）.

策略二：局部向整体的转化
从局部入手,按部就班地分析问题,是常用思维方法,但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物,不纠缠细节,从系统中去分析问题,不单打独斗.
例2：一个四面体所有棱长都是 ,四个顶点在同一球面上,则此球表面积为（ ）
A、 B、 C、 D、

分析：若利用正四面体外接球的性质,构造直角三角形去求解,过程冗长,容易出错,但把正四面体补形成正方体,那么正四面体,正方体的中心与其外接球的球心共一点,因为正四面体棱长为 ,所以正方体棱长为1,从而外接球半径为 ,应选（A）.

策略三：未知向已知转化
又称类比转化,它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法,解题中,若能抓住题目中已知关键信息,锁定相似性,巧妙进行类比转换,答案就会应运而生.
例3：在等差数列 中,若 ,则有等式
（ 成立,类比上述性质,在等比数列 中, ,则有等式_________成立.

分析：等差数列 中, ,必有 ,
,
故有 类比等比数列 ,因为
,故 成立.
逻辑划分思想
例题1、已知集合 A= ,B= ,若B A,求实数 a 取值的集合.
解 A= ： 分两种情况讨论
（1）B=￠,此时a=0;
(2)B为一元集合,B= ,此时又分两种情况讨论 ：
(i) B={-1},则 =-1,a=-1
（ii）B={1},则 =1, a=1.（二级分类）
综合上述 所求集合为 .
例题2、设函数f(x)＝ax －2x＋2,对于满足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0,求实数a的取值范围.
例题3、已知 ,试比较 的大小.
【分析】
于是可以知道解本题必须分类讨论,其划分点为 .

小结：分类讨论的一般步骤：
（1）明确讨论对象及对象的范围P.（即对哪一个参数进行讨论）；
（2）确定分类标准,将P进行合理分类,标准统一、不重不漏,不越级讨论.；
（3）逐类讨论,获取阶段性结果.（化整为零,各个击破）；
（4）归纳小结,综合得出结论.（主元求并,副元分类作答）.

2. 常见的数学思想有哪些

1、符号化思想

在数学教学中，各种量的关系、量的变化以及在量与量之间进行推导和演算，都是以符号形式（包括字母、数字、图形与图表以及各种特定的符号）来表示，即运行着一套形式化的数学语言。

2、分类思想

以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别——这就是分类，也称划分。数学的分类思想体现对数学对象的分类及其分类标准。

3、函数思想

函数概念深刻地反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的依存关系。

它告诉人们一切事物都在不断地变化着，而且相互联系、相互制约，从而了解事物的变化趋势及其运动规律。对于函数，《标准》提出了学生各个学段的要求，结合实验教材，小学中年级的要求是“探索具体问题中的数量关系和变化规律”“通过简单实例，了解常量和变量的意义”。

4、化归思想

“化归”就是转化和归结。在解决数学问题时，人们常常是将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个相对比较容易解决的或者已经有解决程序的问题，以求得问题的解答。在小学数学中处处都体现出化归的思想，它是解决问题的一种最基本，最常用的思想方法。

5、归纳思想

研究一般性问题时，先研究几个简单、个别的、特殊的情况，从中归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式被称为归纳思想。

归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法两种。小学阶段学生接触较多是不完全归纳法。教学四年级上册运算律（以加法交换律和加法结合律为例），就采用了不完全归纳法展开了教学。

6、优化思想

“多中选优，择优而用”既是一种自然规律，又是一种好的思想方法。算法多样化是解决问题策略多样化的一种重要体现。计算长方形的周长是一题多解，求同存异，在对的方法中要选择最好的方法，弄清对的与好的，选择好的。

在教学中渗透优化的策略和方法，及时引导学生对各种方法进行评价与反思，通过对各种不同方法的辨析、比较，帮助学生认识不同方法的特点与优势，达到“去伪存真、去粗存精”的目的，培养学生“多中选优，择优而用”的优化意识，构建数学知识，实现对知识的优化和系统化。

7、数形结合思想

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想。

3. 数学的基本思想

一、讲授法

三大好处:面积大、见效快、好操作

辩证的思想看问题

二、数学的基本思想

数学基本思想有三，分别为抽象、推理、模型。有的里面还增加一项审美。

1.抽象

分类，集合，对应，变中有不变，符号化，有限无限

2.推理

归纳，演绎，类比，数形结合，逐步逼近，化归，运筹，公理化

3.模型

量化，简化，优化，函数，方程，统计

4. 数学思想有哪些

数学思想包括：函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、整体思想、化归思想、隐含条件思想、类比思想、建模思想等。数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
1、函数方程思想：指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题。
例如：等差、等比数列中，前n项和的公式，都可以看成n的函数。
2、数形结合思想：利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。
例如：求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值。
3、分类讨论思想：问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。
例如：解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。
4、方程思想：一个问题可能与某个等式建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。
例如：证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。
5、整体思想：从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征。
例如：叠加叠乘处理、整体运算、几何中的补形等都是整体思想。
6、化归思想：在于将未知的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。
例如：三角函数，几何变换。
7、隐含条件思想：没有明文表述出来或者是没有明文表述，但是该条件是真理。
例如：一个等腰三角形，一条过顶点的线段垂直于底边，那么这条线段所在的直线也平分底边和顶角。
8、类比思想：把两个不同的数学对象进行比较，发现它们在某些方面有相同或类似之处，就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。
9、建模思想：为了更具科学性可重复性地描述一个实际现象，采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象。

5. 常见的数学思想有哪些

数学思想，是现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。那么常见的数学思想有哪些？

1、 符号化思想：在数学教学中，各种量的关系、量的变化以及在量与量之间进行推导和演算，都是以符号形式（包括字母、数字、图形与图表以及各种特定的符号）来表示，即运行着一套形式化的数学语言。

2、 分类思想：以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别——这就是分类，也称划分。数学的分类思想体现对数学对象的分类及其分类标准。

3、 函数思想：函数概念深刻地反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的依存关系。

4、 化归思想：“化归”就是转化和归结。在解决数学问题时，人们常常是将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个相对比较容易解决的或者已经有解决程序的问题，以求得问题的解答。在小学数学中处处都体现出化归的思想，它是解决问题的一种最基本，最常用的思想方法。

5、 归纳思想：研究一般性问题时，先研究几个简单、个别的、特殊的情况，从中归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式被称为归纳思想。

6、 优化思想：“多中选优，择优而用”既是一种自然规律，又是一种好的思想方法。算法多样化是解决问题策略多样化的一种重要体现。计算长方形的周长是一题多解，求同存异，在对的方法中要选择最好的方法，弄清对的与好的，选择好的。

7、 数形结合思想：数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想。

关于常见的数学思想有哪些的内容就介绍到这了。