离散数学为什么要用左孝凌

Ⅰ 怎样学好离散数学

如何学好离散数学
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。离散数学以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此他充分描述了计算机科学离散性的特点。由于离散数学在计算机科学中的重要性，因此，许多大学都把它作为研究生入学考试的专业课程中的一门，或者是一门中的一部分。
作为计算机系的一门课程，离散数学有与其它课程相通相似的部分，当然也有它自身的特点，现在我们就它作为考试内容时具有的特点作一个简要的分析。
1、定义和定理多。
离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。在这些概念的基础上，特别要注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
在考试中的一部分内容就是考察大家对定义和定理的识记、理解和运用。如2002年上海交通大学的试题，问什么是相容关系。如果知道的话，很容易得分；如果不清楚，那么无论如何也得不到分数的。这类型题目往往因其难度低而在复习中被忽视。实际上这是一种相当错误的认识，在研究生入学考试的专业课试题中，经常出现直接考查对某知识点的识记的题目。对于这种题目，考生应该能够准确、全面、完整地再现此知识点。任何的模糊和遗漏，都会造成极为可惜的失分。我们建议读者，在复习的时候，对重要知识的记忆，务必以上面提到的“准确、全面、完整”为标准来要求自己，不能达到，就说明还不过关，还要下工夫。关于这一点，在后续章节中我们仍然会强调，使之贯穿于整个离散数学的复习过程中。
离散数学的定义主要分布在集合论的关系和函数部分，还有代数系统的群、环、域、格和布尔代数中。一定要很好地识记和理解。
2、方法性强。
离散数学的证明题中，方法性是非常强的，如果知道一道题用怎样的方法证明，很轻易就可以证出来，反之则事倍功半。所以在平常复习中，要善于总结，那么遇到比较陌生的题也可以游刃有余了。在本书中，我们为读者总结了不少解题方法。读者首先应该熟悉并且会用这些方法。同时我们还鼓励读者勤于思考，对于一道题，尽可能地多探讨几种解法。
3、有穷性。
由于离散数学较为“呆板”，出新题比较困难，不管什么考试，许多题目是陈题，或者稍作变化的来的。“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。”如果拿到一本习题集，从头到尾做过，甚至背会的话。那么，在考场上就会发现绝大多数题见过或似曾相识。这时，要取得较好的成绩也就不是太难的事情了。
本书是专门针对研究生入学考试而编写的，适合于读者对研究生入学考试的复习。如果还有时间的话，我们可以推荐两本习题集。一本是左孝凌老师等编写的《离散数学理论、分析、题解》，另一套有三本，是耿素云老师等编写的《离散数学习题集》。这两套书大多数题都是相同的，只是由于某些符号和定义的不同，使得题目的设定和解法有些不同而已。
现在我们就分析一下研究生入学考试有哪些题型，以及我们应如何应付。
1、基础题
基础题就是考察对定义的识记，以及简单的证明和推理。题目主要集中在数理逻辑部分和集合论部分。这些题目不需要思考，很容易上手。
这一部分的题目主要问题是要防止粗心大意和对定义记忆似是而非而丢的分数。不重视这一点的人将会在考试中吃大亏。如在主合取范式中，极大项编码对应的指派与真值表对应的指派相反，这一点在许多的参考书里也会犯错误；还有是要防止没有按照一定的方法而引起的错误，如我们在数理逻辑或者集合论里作等价推演，可以省略若干不重要的步骤，只要老师和考生都清楚就可以了，而在推理理论里则不能省略任何步骤，否则被认为是逻辑错误。
我们在学习中，还要注意融会贯通，例如，数理逻辑和集合论是相通的，因此记忆或者总结方法的时候可以综合起来，这样便于比较和理解。
2、定理应用题
本部分是最“死”的一部分，它主要体现了离散数学的方法性强的特点。并且这一部分占了考试内容的大部分，我们必须在这一部分下功夫，记住了各种方法，也就拿到了离散数学的大部分分数。
下面我们就列出常用的几种应用：
●证明等价关系：即要证明关系有自反、对称、传递的性质。
●证明偏序关系：即要证明关系有自反、反对称、传递的性质。（特殊关系的证明就列出来两种，要证明剩下的几种只需要结合定义来进行）。
●证明满射：函数f：XY，即要证明对于任意的yY，都有xX，使得f(x)=y。
●证明入射：函数f：XY，即要证明对于任意的x1、x2X，且x1≠x2，则f(x1) ≠f(x2)；或者对于任意的f(x1)=f(x2)，则有x1=x2。
●证明集合等势：即证明两个集合中存在双射。有三种情况：第一、证明两个具体的集合等势，用构造法，或者直接构造一个双射，或者构造两个集合相互间的入射；第二、已知某个集合的基数，如果为א，就设它和R之间存在双射f，然后通过f的性质推出另外的双射，因此等势；如果为א0，则设和N之间存在双射；第三、已知两个集合等势，然后再证明另外的两个集合等势，这时，先设已知的两个集合存在双射，然后根据剩下题设条件证明要证的两个集合存在双射。
●证明群：即要证明代数系统封闭、可结合、有幺元和逆元。（同样，这一部分能够作为证明题的概念更多，要结合定义把它们全部搞透彻）。
●证明子群：虽然子群的证明定理有两个，但如果考证明子群的话，通常是第二个定理，即设<G,*>是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a*b-1S,则<S,*>是<G,*>的子群。对于有限子群，则可考虑第一个定理。
●证明正规子群：若<G,*>是一个子群，H是G的一个子集，即要证明对于任意的aG，有aH=Ha，或者对于任意的hH，有a-1 *h*aH。这是最常见的题目中所使用的方法。
●证明格和子格：子格没有条件，因此和证明格一样，证明集合中任意两个元素的最大元和最小元都在集合中。
图论虽然方法性没有前几部分的强，但是也有一定的方法，如最长路径法、构造法等等。
3、难题
难题就是考试中比较难以下手，大多考生作不出来，用来拉开分数档次的题。那么，遇到难题我们怎么下手分析呢？
难题主要有以下四种，我们来逐一进行分析：
①综合题
综合题就是内容涵盖若干章的问题，这样的题大多数是在群论里面的陪集、拉格朗日定理、正规子群、商群这一部分中。这一部分结合的内容很多，而且既复杂又难理解，是整个离散数学中的难点。
首先拉格朗日定理把群和等价关系、划分结合在一起，又与群的阶数相挂钩（在子群中有一部分阶方面的题是比较难的题，它的解法依据就在此处）；然后商群将两个群结合在一起，因为两个群的元素是不同的，因此必须时刻概念清楚才不至于混乱；接着同余关系把群和关系相结合，定义了一种新的关系；自然同态把正规子群和商群相联系，也成为某些证明题的着眼处；核的定义和群同态定理给出了正规子群的另一种证明方法，因为核就是正规子群……
当然，综合题不仅此一处，离散数学是一个融会贯通的学科，像集合论，图论等都可能成为综合题的命题点。
对于综合题，我们可以从两方面下手，首先不管题设如何，看所要证明的问题，按照定理应用的题型着眼，设出所需要的格式，然后进行进一步推演；其次可以先看题设，应用已知条件的性质定理向前推几步，看看哪一个性质更能够接近所问，题目也就迎刃而解了。
②例外题
例外题有两个含义，首先是对于定理应用题而言的，对于一个概念的判定定理和性质定理不是唯一的，而定理应用题是给出的是最常出题的定理，因此有的考题可能考出一个不常用的定理。
其次例外题还有一种题型是与我们平常思维相悖的问题，如：有一些题目给出一个结论，说如果它正确的话请指出来，错误的话则请证明，凭做题经验通常是要选择证明的那条思路。其实也不妨用一些时间看看能不能指出来，从而不用证明。请看下面的例子：
③ 偏题
常常有的参考书会说某某章是非重点，不会考到之类的话，这是非常错误和有害的。其结果是令这些章成为读者复习中的盲点，成为难题的又一种。这些章通常概念少，定理不多，因此题目本身不难。但由于没有好好复习或者根本没有复习，考试中又出了题目，故此拿不到分数则是非常令人懊丧的。所以我们建议读者进行全面复习，除非是所报考院校明确说明不考的部分，其余内容一律要认真复习。即使是复习时间比较少，也必须做到至少是了解了基本概念和定义。对于离散数学而言，函数一章中的基数部分和格和布尔代数一章是人们容易忽略的问题。
我们平时复习的时候，不管是什么课程，一定不能留死角，而这些地方出的题目由于它的本身内容的局限性，又往往是非常简单的。丢了十分可惜。
④ 错题
专业课的题目是由较少老师出的，并不像基础课那样经过多方面的论证，因此出错题也不奇怪（虽然非常非常之少），如果我们遇到了一道题目，经过我们判断和推演得到相悖的答案，不要过分迷信题目的权威性，因为它可能是错题。

下面讲一下离散证明题的证明方法：
1、直接证明法
直接证明法是最常见的一种证明的方法，它通常用作证明某一类东西具有相同的性质，或者符合某一些性质必定是某一类东西。
直接证明法有两种思路，第一种是从已知的条件来推出结论，即看到条件的时候，并不知道它怎么可以推出结论，则可以先从已知条件按照定理推出一些中间的条件（这一步可能是没有目的的，要看看从已知的条件中能够推出些什么），接着，选择可以推出结论的那个条件继续往下推演；另外一种是从结论反推回条件，即看到结论的时候，首先要反推一下，看看从哪些条件可以得出这个结论（这一步也可能是没有目的的，因为并不知道要用到哪个条件），以此类推一直到已知的条件。通常这两种思路是同时进行的。
2、反证法
反证法是证明那些“存在某一个例子或性质”，“不具有某一种的性质”，“仅存在唯一”等的题目。
它的方法是首先假设出所求命题的否命题，接着根据这个否命题和已知条件进行推演，直至推出与已知条件或定理相矛盾，则认为假设是不成立的，因此，命题得证。
3、构造法
证明“存在某一个例子或性质”的题目，我们可以用反证法，假设不存在这样的例子和性质，然后推出矛盾，也可以直接构造出这么一个例子就可以了。这就是构造法，通常这样的题目在图论中多见。值得注意的是，有一些题目其实也是本类型的题目，只不过比较隐蔽罢了，像证明两个集合等势，实际上就是证明“两个集合中存在一个双射”，我们即可以假设不存在，用反证法，也可以直接构造出这个双射。
4、数学归纳法
数学归纳法是证明与自然数有关的题目，而且这一类型的题目可以递推。作这一类型题目的时候，要注意一点就是所要归纳内容的选择。

Ⅱ 离散数学

如何学习离散数学
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学核心课程的基本理论。离散数学的主要目的是研究结构的离散，其研究对象之间的关系是一种有限的或可数的元素，让他充分描述了计算机科学的离散特性。由于离散数学在计算机科学中的重要性，许多大学把它作为一个研究生入学考试的专业课程，或其中的一部分。
之处，离散数学，计算机科学，当然作为课程与其他课程的沟通，也有其自身的特点，现在的特点进行了简要分析，我们把它作为考试内容。
1，定义和定理。
离散数学是在上面定义的学科大量的逻辑推理。因此，对概念的理解，是我们学习这门学科的核心。基于这些概念，尤其应注意概念之间的联系，以及这些链接的实体的描述，是一个很大的定理和性质。
检查的内容是检查的定义和定理的记忆，理解和应用。上海交通大学在2002年的问题，请问这是什么一个兼容的关系。如果你知道它，它是容易得分的，如果你不知道，在任何情况下，没有得分。这种类型的题目往往被忽视，因为它的低难度??的审查。其实，这是一种错误的认识问题，研究生入学考试的专业课程，往往直接考察一个知识点的记忆主题。对于这个话题，考生应该能够准确地完成这方面的知识的再现。任何含糊不清和不作为将导致失去很可惜。我们建议读者在审查时的重要知识的记忆，一定要在上述“准确，全面，完整”的标准要求自己，不能达到，这意味着不越过边界，但也作出努力。在这一点上，在随后的章节中，我们仍然强调，在整个审查过程中整个离散数学。
集理论的关系和功能的一部分，主要分布在离散数学的定义，是该集团的代数系统，环，域，格和布尔代数。必须有充分的记忆和理解。
如图2所示，该方法是强。
离散数学证明，该方法是非常强的，如果你知道了什么??证据可以很容易地允许，否则效果较差的问题。在平时的审查，要善于总结，遇到不熟悉的标题即可缓解。在这本书中，我们总结了很多解决问题的方法，供读者。读者应该先熟悉和使用这些方法。同时，我们也鼓励读者勤于思考，问题，尽可能地探索几种解决方案。
3有限。
离散数学是“平淡”，新的标题是比较困难的，不管是什么考试，很多的主题陈的问题，或做一些改变。 “熟读唐诗三百首，不吟诗大声，”如果你有一个问题集，从开始到结束，甚至当时。届时，将发现的问题，绝大多数的测试见过或似曾相识的感觉。在这个时候，得到了良好的效果，所以它是不是一件很难的事情。
这本书是专门为研究生入学考试，适用于读者的研究生考试复习。如果有时间，我们可以推荐两个问题集。一个左孝凌老师写的“离散数学理论分析，问题解决方案”，另一套三是“离散数学习题集Gengsu云老师写的。两套书，大部分的问题都是一样的，只是不同，由于某些符号和定义提出了一些不同的主题集中对账。
现在我们分析一下什么样的问题，我们应该如何应付研究生入学考试。
如图1所示，根据标题
基本的问题是检查的记忆，简单的证明和推理的定义。数理逻辑和集合论部分的主题集中。这些主题不需要思考的问题，很容易使用。
这部分的主题定义的存储器似是而非的分数，以防止不小心，失去了存在的主要问题。不重视这个人会在考试中吃大亏。主合取范式，最高刑期相应的真值表相应的赋值分配，而不是编码，它可以使许多参考书中的错误，也想防止由于错误，如数学逻辑或集合论相同的扣还不能确定，你可以省略某些步骤不重要，只要教师候选人显然是不能省略任何步骤的推理理论，否则这是一个逻辑上的错误。
在研究过程中，我们也注意掌握，例如，数理逻辑和集合论是相同的记忆体或总结的方法可以结合起来，很容易比较和了解。
2，定理的应用问题
这部分是最“死”的一部分，它主要是离散数学的方法。这部分的考试内容，为广大的会计，我们必须努力在本节中，牢记各种方法，将获得的分数离散数学。
下面我们列出了一些应用程序：
●等价关系的证明，以证明之间的关系的性质，自反，对称，传递。
偏序关系证明：证明的关系，自反的，反对称的，自然的通。 （证明名单上的特殊关系，是两个，只需要证明的几个剩余的绑定定义）。
●满的证明：函数f：X？ Y，就是要证明，对任意y？ Y，X？ X，使得F（X）= Y。
●事件：证明函数f：X？ Y，也就是，证明了一个任意的x1×2？ X，和x1≠×2，则f（×1）≠（×2），对于任意的f（×1）=（×2），X1 = X2。
●证据收集的潜力：两个集合的双射的证明。有三种情况：首先证明两个特定的等电位的构造方法，或者直接建立一个双射，或建造两个集合之间的事件;如果和R双射f，??位于已知的基数，随后推出的性质的F双射，所以等电位;双射？已知两个集合和其他潜在的，然后证明其他两组的潜力，当存在两组，第一组已知的双射，然后剩下的题目设置条件证明允许0，设定和N;两套双射。
组：证据来证明代数系统关闭，可以结合起来，统一和反。 （同样，这部分可以被用来作为证明的概念更多的定义，所有的人都一起进行充分的）。
●证明亚组：亚群的证明定理有两个，但如果研究明子组通常是第二个定理，它是基于<G,*>组，S是G的一个非空子集，如果对于任意元素a和b在S A * B-1？ S，然后<S,*> <G,*>群。有限子群，可以被认为是第一定理。
●证明的正规子群：如果<G,*>是一个子群，H是G，即一个子集，证明，任意一个呢？ G啊=哈，或任何H？ H A-1 * H * A？ H.这是所使用的方法中最常见的问题。
●证明：分格的网格，分格条件，并证明格证明的最大元素和最小的元素集合中的任何两个元素的集合。
虽然该方法是在此之前的强图论的几个部分，但也有一定的方法，如最长的路径的方法，构造函数方法，等等。
3个问题
现在的问题是比较难的考试开始，大部分的考生不出来，用于将比分拉开档次标题。好了，遇到困难如何开始分析吗？
主要有以下四个问题，让我们一一分析：
（1）综合问题
综合标题覆盖问题的几个章节，这个标题是在群论，陪集，拉格朗日定理，正规子群，商群。结合了很多的内容，这部分是既复杂又困难的了解，在整个离散数学的困难。
拉格朗日定理结合组和等价关系，划分，和链接的顺序的组（分组顺序部分的条款的问题是一个比较困难的问题，它是基于对解决本处），然后商群两个组在一起，因为两个组的元素是不同的，并因此必须概念清楚，他们是不乱群同余关系和关系的总和，定义一个新的关系，自然同态的正规子群和商群链接也成为关注的焦点的证明;核定义的群同态定理给出证明的另一种方法，因为核是正规子群的正规子群...
当然，全面的问题并不只此一家，离散数学是掌握的科目，，像集合论，图论，并等都可能成为主题综合命题点。
综合性的问题，我们可以有两种方式启动，无论设置在第一个问题，怎么看都证明，按照该定理应用问题的焦点放在所需的格式，然后再扣除;二看问题设置，应用程序称为的条件定理向前走了几步，看看哪些性质更接近的ASK的性质，这个问题将得到解决。
（2）例外标题
例外的标题有两层含义，一个概念的判定定理和性质定理，而定理的应用问题不仅在第一定理的应用问题，给出该定理的最常见的问题，所以一些考试可以测试出一个共同的定理。
第二个例外标题的另一个问题是我们通常的想法相反，如：部分给出了结论的话题，如果它是正确的，那么请点错了，请证明其标题通常要选择经验证明，这种想法。事实上，一段时间也不妨看不能指向它，因此没有必要证明。请看下面的例子：
③棘手的问题
经常有一些书会说某一章非重点，而不是像当年进行测试，这是非常错误的，有害的。其结果是在读者回顾这些章节成为另一个盲点成为一个问题。这些章节是通常的概念，定理很少，所以题目本身并不难。但不是一个很好的审查或不审查职称考试，并因此无法获得的分数都非常黯然。我们建议读者进行全面的审查，除非考生院校显然没有测试的其余部分必须认真检讨的内容。甚至更少的复习时间，必须这样做，至少要了解基本概念和定义。离散数学，格和布尔代数“一章一章中的功能的基本部分是容易被忽视的问题的人。
我们平时的复习时间，无论什么样的课程必须不留死角主题，在这些地方，因为自己的内容的限制，但也往往是很简单的。失落的一大遗憾。
（4）错误的问题
有权以更少的教师专业课程，不喜欢的专业基础课，经过多次论证的错误标题也就不足为奇了（尽管很短），如果我们有一个主题，我们的判断，推理相反的答案后，不要盲目相信的主题权威，因为它可能是一个错误的问题。

这里讲有关的离散证据证明：
1，直接证明
的方法，直接证明方法证明是最常见的一种，它通常被用来作为证明某种类型的东西有相同的性质，或在利益的一些性质必须是某种类型的东西。
直接的证明方法，有两种思路，从已知的条件一个结论，那就是，看到的情况，不知道如何可以得出结论，你就可以开始引入一个中间的已知条件，根据定理的条件（这一步可能没有目的，从已知的条件，??能够推出什么），然后可以推出结论的条件??继续演绎另一个的结论反推回条件见结论，我们必须首先推，一起来看看在什么情况下（这一步可能没有得出这个结论的目的，因为它不知道使用何种条件下），依此类推，直至已知的条件。正常情况下，这两种想法同时进行。
2，反证法
归谬法来证明“有一个例子或性质”，“不具有某种性质的”，“只有唯一的话题。
其方法是先假设命题的命题，问的基础上的命题是否和已知条件推导出，直到发射的矛盾与已知条件或定理，这样的假设是不成立的，因此，命题证明。
3，构造方法
证明“就是一个例子，或自然的主题，我们可以用反证法，假定有没有这样的例子和性质，然后再启动的矛盾，也可以直接建立这样的一个例子可以。这是类的构造方法，这个话题通常比较常见的图论中。值得一提的是，一些题目实际上是类型的主题，但更微妙的填充，证明两个集合等，潜在的事实是两套双射，我们可以假设，有没有归谬法，也可以直接建立一一对应。
4，数学归纳法
的主题相关的自然数，数学归纳法证明，这种类型的题目可以是递归的。对于这种类型的题目，这一点是要注意的感性内容的选择。