㈠ 数学极限定义蕴涵哪些哲学思想，并简要说明
科学是科学，数学是数学，哲学是哲学，我们不能说数学的什么反映了什么哲学思想。
或许，某种哲学思想怎样解释了某种数学现象，才是更客观的表述。
先说定义，按照严格的ε-δ语言，极限的定义是这样的：
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.若存在常数A，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式
|f(x)-A|<ε.
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限.
这个定义限定了什么叫做无限趋近——既可以小到不论多小，但又不能取到本身。
解释了δ是由ε决定的，需要结果趋多近，自变量就趋向相应多近。并且极限存在则函数想趋多近就能多近，但又不是本身。
这个定义很严密，扫除了一切因为基本概念似是而非所引起的歧义，彻底让哲学和玄学滚出微积分。
哲学对于高等数学，只剩下一些对于个别现象的，有选择性的牵强解释。
我们以“苏联教科书式的马克思主义哲学”为例，看看这套体系是怎么“解释”数学极限的：
极限是质量互变规律的体现，直线与曲线之交从相割到相切的变化，是从量变的积累到质变发生的过程。
质量互变时，量变既可以是量的积累，也可以是结构、次序的改变——无穷级数求和时，若改变了顺序，或者添加了括号，则最终的敛散性、极限的值都有可能改变。
当然，绝对收敛的无穷级数，怎么换顺序加括号结果都不变，这又说明了内因是事物发展的根据，外因是事物发展的外部条件，外因必须通过内容而起作用。外因对事物的发展有重大影响，有时能引起事物性质的变化。但不管外因的作用有多大，都必须通过内因才能起作用。
极限是对立统一的体现，对于无穷小量，它既是0又不是0，在单独考察它的时候，它到底是0还是非0是无法判断的，只有把它放到具体的极限中，才知道它到底是0（高阶无穷小），还是非0（同阶无穷小）——事物的存在以其对立面为依托，正如如果世上只有黑色，便无颜色这一概念，更无黑色这一说法。
如此还有很多……基本都是先开枪再画靶。
不是说我否定马克思主义哲学，或是别的什么哲学，是现代严密的数学公理化体系和严格而精确的定义，否定了哲学在数学中的作用。
什么时候都提哲学，就是在消解哲学——一方面认为意识是物质在头脑中的反映，另一方面又先验地认为哲学能够指导科学、数学，这本身就是反马克思主义的。
历史是人的历史，哲学是人的哲学，人民群众在生产斗争和阶级斗争中创造历史，一切观察并思考的人在头脑中构造不同的哲学体系。
自然科学是自然的规律，数学是逻辑的规律，人归根到底只是发现他们、认识他们，从而遵循他们、利用他们，而不能违背事实凭空创造自然规律，也不能脱离逻辑凭空编造出数学定理来。
恳请哲学还是放过自然科学和数学吧。
自有阶级的社会存在以来，人的知识就可分为生产斗争和阶级斗争的知识——前者是与自然斗争的武器，后者是与人斗争的武器——把两种斗争的武器混淆，是不可能取得胜利的。
哲学是属于人的，而人的本质，在其现实性上，是一切社会关系的总和。所以不妨让哲学在其应有的领域——社会科学中大放异彩，让共产主义的光辉消除一切压迫剥削，解放出更多的自由人，来不断发现和深化认识自然科学和数学。
㈡ 高中数学思想有那些
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；
函数与方程
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
等价转化
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
着名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
分类讨论
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
数形结合
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
㈢ 高中数学有哪些数学思想
解: 高中数学数学思想主要有:
(一)数形结合的思想方法;
(二)随机和统计的思想方法;
(三)算法的数学思想方法;
(四)函数和方程思想方法;
(五)分类和整合的思想方法;
(六)有限和无限的思想方法;
(七)向量的思想方法.