‘壹’ 2021北京中考数学试卷难度点评
数学学科确定了面向全体学生，以学生为中心，在实现水平性考查功能的同时，兼顾选拔性功能的命题思路。
数学试题的命制以《义务教育数学课程标准（2011年版）》为依据，坚持稳中求进的命题指导原则，落实立德树人根本任务，在内容和能力考查上做到“三个注重”和“四个考出来”，注重发挥育人功能。同时结合中学教学实际，重点考查主干知识、核心能力、基本数学思想和基本活动经验，突出学科本质，考查数学思维，进一步引导教学回归课堂，回归教材，实现教学和考试的良性互动。
一、结合学科特点，发挥育人
功能，落实立德树人根本任务
数学学科结合自身学科特点，选取合适的素材，将社会主义核心价值观自然地融入到试题中，发挥试题的育人功能。
如第2题，以脱贫攻坚中的教育扶贫为背景，介绍了2014-2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金情况，让学生直观感受到学习环境的提升离不开国家的政策保障与财政的大力投入。
如第20题，以《淮南子·天文训》中确定东西方向的方法为背景，阐述了我国古代很早就开始对天文等方面有了深入的研究，彰显了我国古人的智慧。以数学文化为载体，引导学生运用所学数学知识解决简单实际问题，达到了以数学文化育人的目的。
二、立足“四基”，考查主干，
体现思维，学以致用
2021年数学学科的试卷特色和整体风格保持稳定。试卷的整体设计立足于“四基”（基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验），考查对知识本质的理解，考查学生的数学思维，考查学生从数学的角度思考问题和运用数学知识解决实际问题的能力。
1.关注“四基”要求，体现数学基础
试卷的设计与试题的命制，注重对三大知识板块(数与代数、图形与几何、统计与概率)基础知识的考查，在考查的过程中，突出对基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。
如尺规作图，要求学生不仅要掌握技能操作的程序和步骤，还要理解其中蕴含的数学原理。在第20题中，学生先要依据题目要求使用恰当方法准确作图，再利用已掌握的数学原理解释尺规作图的作图原理，并完成证明。
2.关注知识形成过程，感悟学科思想
数学学习的重要目标之一是让学生亲身经历知识形成、发展和应用的过程，积累活动经验，理解知识本质，感悟数学思想。如在统计教学中，要让学生经历完整的统计过程，从数据中提取信息，并利用这些信息解释说明问题。今年统计大题在考查数据的收集、整理和描述的基础上，着重考查了对数据的分析和利用数据中提供的信息解释问题，考查了学生对中位数的意义、中位数和平均数在分析数据分布情况的作用，以及样本估计总体的理解，体现了学生获取有效信息并进行定量分析的意识和能力。引导教学要关注数学问题的本质，让学生在不断积累统计活动经验的基础上，加深对统计思想与方法的理解和运用。
又如第8题，以“矩形的相邻两边长及其面积”为背景，考查函数是研究运动与变化的数学模型。它来源于实际又服务于实际，从实际问题中抽象出函数的有关概念，又运用函数知识解决实际问题。更重要的是，从图形和数量两个角度及其相互联系中，凸显出函数的本质特征是体现事物间的联系和变化。这既是函数教学的主线，也是函数学习的主线。让学生在建模与解决实际问题过程中，加深对函数概念及思想方法的理解。
3.关注思维品质，发挥教材价值
对数学思维的考查，主要体现在学生认识数学、理解数学和感悟数学的过程中。同时，对于数学思维的考查不是空洞的，是在充分理解教材、挖掘教材的基础上，基于教材与教学进行设计的，进而考查学生的思维品质。
如第22题，本题主要从运动与变化的角度，结合函数图象，考查学生从特殊到一般、从直观到抽象、从感性到理性的思维过程。再如第26题，结合二次函数图象的对称性，分析满足条件的函数图象的特征，探究对称轴的取值范围问题。这些试题的设计思想都来源于课堂教学，来源于课本教材。
如第27题，试题关注学生在解决一个综合性问题的过程中，通过操作、观察、猜想得到结论，再用演绎推理证明结论成立。考查学生在经历猜想、尝试等数学活动中，发现、提出问题，分析、解决问题的能力。题目从运动变化和图形变化的角度，挖掘教材中知识的内在联系，将基础知识、方法进行一定的综合，同时丰富的试题背景，为学生提供了多角度思考问题的机会，为学生提供了展示自我的舞台。试题命制思想源于教材，引导教学思考题目与教材内容的关系。
如第28题，选取以学生学习的重点知识之一——旋转为主要背景，考查学生的数学素养。试题以圆和旋转为载体，定义了“关联线段”，先研究特殊的“关联线段”，继而研究一类“关联线段”的特征，再结合图形的运动与变化，从“正”“反”两个角度研究“关联线段”以及相关参数，展现了研究学习新知识的一般过程。这类试题不只局限于对知识本身的考查，而是通过创设适宜的情境，以实践操作、探索发现、证明猜想为活动主线，让学生经历探究和解决问题的一般过程，积累数学活动经验，是数学素养的体现。
4.关注实践能力，体现应用价值
现实生活中蕴含着大量与数量有关的问题，通过建立数学模型，用数学的方法予以解决，体现了数学的应用价值。如第16题，以“两条生产线加工时间”为背景，考查学生运用所学知识分析和解决实际问题的能力，让学生在日常生活中养成用数学的眼光观察世界，用数学知识解决问题的习惯，激发学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值。
三、深化考试内容改革，
正向引导教学，
减轻学生过重课业负担
1.以课程标准为纲，从教材中挖掘或选用素材，进一步引导教学回归课堂、回归教材
依据课程标准的知识要求与能力要求命制第28道试题，试题“不超标”，引导课堂教学紧扣课标要求实施教学。依据教材表述设计第28道试题的设与问，符合学生心理特征，试题“不挖坑”，进一步引导课堂回归教材。从试题数量上来看，第28道试题中，约70%的试题来源于教材，其中第4、6、8、13这四道试题为教材例题或课后习题。
2.试题注重对主干知识和关键能力的考查，加强对数学思维考查，进一步引导课堂回归学科本质
试卷中的第8题、第16题、第23题、第25-28题，都是以主干知识为载体，考查在知识形成、发展和应用过程中，所积累的活动经验，以及对知识本质的理解和数学思想的感悟。“机械刷题”对这些试题是无效的，引导课堂教学要坚持关注知识本质和思想方法的灵活运用。
3.试题的设与问符合教学实际和学生心理特征，试题没有“偏难怪”，引导教学“不抢跑”
试卷全卷第28题既没有高中知识下放的试题，也没有初高中数学竞赛改编的试题，考查的不是超前学习的知识和竞赛中非常规的解题技巧，而是考查基础知识的扎实度、有效数学活动经验积累的厚度，数学本质理解的深度和数学思想的感悟度。引导教学回归与学生认知特点和学科发展规律相一致的正常课堂教学，为中学生“减负”创造良好的教育生态，促进素质教育深入实施，帮助学生健康成长成才。
总之，2021年北京市初中学业水平考试数学学科试卷面向全体学生，以学生为中心，巩固过去几年中考考试内容改革成果，积极探索初中学业水平考试改革新模式，坚持稳中求进的命题总原则，充分发挥试题育人功能，坚持创设符合学生特点的新情景，考查主干知识，考查核心能力，考查基本思想，考查发现问题、分析问题和解决问题的能力，努力构建培养学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，培养有理想、有本领、有担当的时代新人。
2021年北京市初中学业水平考试
数学试题评价
2021年北京市初中学业水平考试数学试卷（以下简称“北京卷”）以《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）为依据，既实现水平性考查功能，又体现了选拔功能，符合“两考合一”的要求。北京卷在试卷结构、题型分布、分数设置等方面保持稳定，体现了“稳中求进，以稳为主”的特点。
一、依据《课程标准》
凸显数学课程特点
北京卷依据《课程标准》的要求，以教材题目或者学生熟悉的内容创设情境，有利于减轻学生过重的课业负担。如第4题给出图形研究“多边形内角和”问题，第6题“抛掷两枚硬币”问题，第16题“企业生产线加工”问题等。
北京卷引导学生关注真实的社会生活，用数学方法解决问题。如第25题，背景是“邮政企业的收入”，考查学生对统计图表信息的读取，对统计数据的解读与使用。第20题，背景是研究《淮南子·天文训》中记载的确定东西方向的方法，学生在阅读分析推理的同时感悟数学文化的魅力，展现了数学的育人价值与科学价值。
二、全面考查“四基”
落实学业水平要求
北京卷紧扣课标和教材，注重对基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。各知识领域的分值设计与课标要求相符，大部分题目的创设与教材联系密切。梯度设计细致合理，符合初中学生的认知规律与水平，体现了初中学业水平考试的要求。与2020年北京卷相比，在题型和设问上保持了稳定。
第2、3、4、9、10题等，考查基本概念和性质。第8、12、23（1）、26（1）题考查初中三种函数的概念、图象和性质,突出了对主干知识的考查，既考查了基础知识，也注重知识的整体性和知识之间的联系。第11、18、19题以不同知识为载体实现了对运算能力的考查。第23题借助函数图象，在运动变化中找到临界状态，体现了数形结合的思想方法。
北京卷多数试题以学生熟悉的形式呈现，设问起点低，易于理解，为学生的思考提供了方向。如第25题与2018年第25题叙述方式相似， 第26（1）、27（1）题也是基础性题目，为不同的学生提供了不同的展示机会。
与2020年北京卷相比，减少了函数探究题目，一元二次方程题目由填空题调整为解答题，填空题增加了对分式方程解法的考查。充分体现了对知识考查的基础性、全面性和综合性。
三、关注思维深度
体现试卷选拔功能
北京卷关注思维广度的考查，试题设计体现高质量地认识问题、分析问题、解决问题所必须具备的能力。北京卷立足学科主干知识，关注了对学科本质的考查，体现了试卷的选拔功能。
第16题创设了加工相同原材料的生产线的现实情境，考查学生对用文字和符号描述的数学条件的阅读理解能力、对题目中的信息进行提取、加工和处理能力，建立合适的数学模型，鼓励学生用多样化的方法、不同的数学模型来分析、解决现实问题，考查模型思想与应用意识。
第26题来源于教材和课堂教学，立足于二次函数的概念、图象和基本性质这些学科主干知识的考查，引导学生结合二次函数图象的对称性，利用数形结合的方法进行推理，重点考查学生利用在初中学段的学习中所积累的主干知识和学习经验进行思考和说理。学生可以通过对问题的深入分析选择不同的方法，合理降低运算量，体现了试题坚持对学生能力和素养的考查要求，以实现试题的选拔功能。
第27题延续了北京卷以往的风格，考查学生识别、分析和提炼问题情境中的基本几何图形及其性质，利用自身的学习经验，以及所学过的常用图形变换，通过画图、观察和分析图形运动变化的全过程，猜想、探究蕴含其中的几何图形数量之间的关系和规律，从而考查学生的几何直观、对基本图形中的常用辅助线的认知，考查探究问题的通用方法的掌握情况和逻辑推理能力。
第28题作为北京一贯坚持的特色试题，坚持了对概念学习的过程性考查，以学生学习的重点知识之一的旋转作为主要背景，定义了“关联线段”，以实践操作、探索发现、证明猜想为活动主线，让学生经历学习、研究新知识的一般过程，从特殊情况入手，继而研究一类“关联线段”的特征，探究和解决问题，在现场学习的活动经验的积累过程中提升数学素养。
与2020年相比，第26、27、28三道试题，在考查方向和考查方式上保持稳定，关注思维深度，体现试卷选拔功能。
四、关注情境创设
实现育人功能
北京卷进一步丰富试题的选材范围，创设了丰富的现实情境、文化情境，以学生个人生活和社会公共生活为背景设计试题，反映了数学的多种应用，在数学知识内容与提出的问题之间架起桥梁，引导学生在运用数学知识解决问题的过程中，切实感受到数学的应用价值。第6题以学生非常熟悉的抛硬币试验为背景，考查学生对于概率意义的理解，以及用列举法求概率的方法；第8题延续了2020年北京卷的命题思路，选取了教材中的问题情境，研究了周长确定的矩形其相邻两边之间、面积和一边之间的关系，考查了学生对于函数模型思想的掌握；第16题以工业生产中的分配加工业务问题为背景，引导学生用模型思想解决问题，学生需要在理解题意的基础上做出理性的分析和判断；第25题以两个城市的邮政企业收入问题为背景，考查平均数和中位数的统计意义，用样本估计总体等数据分析的观念，也增强了学生分析和解决现实问题的能力。
北京卷充分落实立德树人的根本任务，体现正确的育人导向，促进和推动学生全面发展、健康成长，发展素质教育。第2题以脱贫攻坚中的教育扶贫为背景，考查科学记数法的知识，引导考生胸怀祖国、关注社会，厚植爱党爱国爱社会主义情怀，自觉肩负为实现中华民族伟大复兴而奋斗的使命担当。第20题以《淮南子·天文训》中记载的利用杆的影子确定东西方向的方法，设计了尺规作图问题和简单的几何推理，实现教育育人、文化育人，是新时期进行社会主义核心价值观教育的必然要求，增强了文化自信。
2021年北京卷在命题上体现了平稳过渡的特点，加强了基础试题的比重，保持了较难题的思维深度，命题导向把握得当。试题在情境创设、素材选用和价值观的引导上发挥了较好的作用。试题与国家的发展趋势相结合，与北京的发展相结合，紧密联系教材内容。引导学生在新的问题、新的情境中学以致用，对课堂教学起到了良好的导向作用。
‘贰’ 中考数学填空题解题技巧
数学填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学中考命题重要的组成部分，那么接下来给大家分享一些关于中考数学填空题解题技巧，希望对大家有所帮助。
中考数学填空题解题技巧
一、直接法
这是解填空题的基本 方法 ，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。它是解填空 题的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，熟练应用解方程和解不等式的方法，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的 恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。
三、数形结合法
"数缺形时少直观，形缺数时难入微。"数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。我们要将抽象、复杂的数量关 系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到"形帮数"的目的;同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到"数促形"的目的。对于一 些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
四、等价转化法
通过"化复杂为简单、化陌生为熟悉"，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
中考数学复习谨记三大要素
第一，重视课本知识：任何科目的学习都万变不离其宗，数学也不例外，数学里面的这个“宗”，就是课本，因为所有的学习知识都来源于课本，考试的内容有些高于课本，但是基础知识点还是不会变化的，考试的试题就是课本知识的衍生物，要一点一点去挖掘试题背后的东西，找到其中要考试的重点是哪部分。所以课本还是不能丢的，不能一味地去做一些试题而忽略了课本这个根本。尤其是在学习新知识的时候，必须要保证将课本的知识点和例题弄明白，书后的每个练习都要认真地做一遍，这样才能说我们基本掌握了这一部分知识。
在暑假相信很多同学都会对将要学习的知识进行预习。有很多同学在对数学进行预习的时候有一个误区，就是认为我把书看了就是预习了，我觉得只有在看书的基础之上能够将课本上每节的配套练习解决才算真正的预习，因为数学知识的掌握情况最终还是得体现在解题中。
第二，要学会正确地纠错：在学习数学的过程中，每个人都会犯错，出现错误是正常的，并不可怕，可怕的是很多同学一错再错，这里面就涉及正确纠错的问题。暑假的时间相对充裕，正是我们纠错的好时机。但是数学的改错绝对不是简单地用红笔把得数改正就可以的。正确的纠错应该是首先搞清楚自己到底错在哪里，是自己对题目的分析有问题还是运算过程中出现了错误，其次大家要把自己的错误记在心里，时时强化自己的记忆，纠正头脑中的错误观念。如果条件允许，家长能够把孩子每天犯的错误单独抄在一个本上定期让孩子再重新做一遍，会收到更好的效果。
第三，做好 总结 ：学习之后的总结是学习的一个重要环节，进行总结是对知识进行升华的过程。很多同学也知道要进行总结，但是需要总结什么很多人并不清楚，在这里建议同学们利用暑假时间总结以下几点：
1.总结旧知的知识结构。数学每一章都有一个知识体系，大家应该把这个知识体系总结出来并利用这个知识体系，记忆和掌握数学的各种定理和知识点。
2.总结自己一些容易出现错误的点。大家可以重新回忆自己出现过的错误，看看哪些地方是自己反复出现问题的点，往往反复出现问题的点就是自己的学习漏洞，如果运算有问题就强化运算能力，如果是知识有漏洞就把知识再回顾一遍，并适当地配合着知识做一些练习。
中考数学答题规范技巧
一、答题工具
答选择题时，必须用合格的2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卡。禁止使用涂改液、修正带或透明胶带改错。必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚。
二、答题规则与程序
①先选择题、填空题，再做解答题。
②先填涂再解答。
③先易后难。
三、答题位置
按题号在指定的答题区域内作答，如需对答案进行修改，可将需修改的内容划去，然后紧挨在其上方或其下方写出新的答案，修改部分在书写时与正文一样，不能超出该题答题区域的黑色矩形边框，否则修改的答案无效。
四、解题过程及书写格式要求
《考试说明》中对选择填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做;
稳——变形要稳，防止操之过急;
全——答案要全，避免对而不全;
活——解题要活，不要生搬硬套;
细——审题要细，不能粗心大意。
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‘叁’ 2022江西中考数学试题难度分析
江西省2022年初中学业水平考试数学试卷较好地立足于《课程标准》的基本理念，系统、全面、科学地回归“四基”和“四能”，试题背景自然而亲切，较多试题素材回归课本，立意新颖，注意加强与社会生活、学生经验的联系及相关学科的融合，增强问题的真实性和情境性、开放性，重视考查学生在真实情境中收集、整合、运用信息的能力，提出、分析、解决问题的能力，有效地关注了学生的可持续性发展的数学素养和学习潜能。
命题者创造性地使用了课本中的素材、题型并积极探索尝试新的题型，设计了一些背景新颖、设问巧妙、形式生动的开放性试题和探究性、应用性、实验操作性的试题，体现了培养学生创新精神和实践能力的引领与教学导向。
全卷共23题，满分120分，题型设置为选择题（6个小题，共 18 分），填空题（6 个小题，共 18 分），解答题（11个小题，共 84分）.
试题按照易、中、难约为7:2:1 的比例设计，较好地体现了检测和导向功能.试题结构布局合理，坚持整体稳定，贯彻课程标准所阐述的命题指导思想，遵循义务教育数学课程基础性、普及性、发展性的要求，立足基础，考查基础知识、基本技能、基本活动经验、基本数学思想，有层次性地考查学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.
注重对学生进入高一级学校后必需的基础知识的考查，主要考查的内容有：数与式、函数、方程与不等式、基本图形的性质与证明、基本图形间的基本关系、统计与概率、三角函数等初中核心知识．
对统计内容的考查主要集中在三个方面：
一是以统计图、统计量为知识线索，考查基础知识与基本技能；
二是以样本特征估计总体特征为试题内容的核心，考查统计观念；
三是以数据的收集、整理、描述和分析全过程为重点，考查统计意识和基本数学活动经验.
因此数据分析观念的培养要从学生感兴趣的现实问题出发，围绕“数据”做文章，经历数据分析活动过程，掌握一定的数据处理方法，体验数据的随机性，让“数据”成为学生发现、提出、分析、解决问题的好伙伴.
第15题以选派护士支援防疫工作为素材，对随机发生的可能事件进行各种可能分析与预测；
第21题以“双减”政策前后学生参加校外学科补习班的人数统计数据为素材，将相关“双减”前后的人数收集、整理成不完整的人数统计表或条形、折线统计图，进而补全统计图表的内容，并对相关的统计量（百分比、频率、中位数、众数等）进行简单的计算与应用，对“双减”前后的人数变化进行对比分析
这两题所选素材与生活紧密相联，进一步引领广大一线教师从以统计量的计算或统计图的收集与整理为主的教学思路，转变为让统计与概率回归到数据统计过程中的数据分析、统计意识、观念与随机观念的统计本质.