常用的数学归纳法有哪些

⑴ 高一数学方法归纳

第一个首先是特征值法：
比如an=2a(n-1)
x=2
a(n+2)-5a(n+1)+6an=0
x^2+5x+6=0 ,(an=c1*2^n+c2*3^n)
如果数列{an}的通项公式很容易表示成另一个数列{bn}相邻两项的差, an=b(n+1)-bn ,则有 Sn=b(n+1)-b1 , 这种方法叫裂项相消求和法.

教学内容：数列、极限、数学归纳法(上)
【考点梳理】
一、考试内容
1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。
2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。
3.数列的极限及其四则运算。
4.数学归纳法及其应用。
二、考试要求
1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。
5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。
三、考点简析
1.数列及相关知识关系表

2.作用地位
（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。等比数列可看作自然数n的“指数函数”。因此，学过数列衫备棚后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决滚好现实生活中的一些实际问题打下了基础。
（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证或则唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。
（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。
（4）数列、极限、数学归纳法这部分知识，在高考中占有相当的比重。这部分知识是必考的内容，而且几乎每年有一道综合题，其中1999年高考有两道综合题。
3.等差数列
（1）定义：an+1－an=d(常数d为公差)
（2）通项公式：an=a1+(n－1)d
（3）前n项和公式：Sn= =na1+ d
（4）通项公式推广：an=am+(n－m)d
4.等差数列{an}的一些性质
（1）对于任意正整数n，都有an+1－an=a2－a1
（2）{an}的通项公式：an=（a2－a1）n+(2a1－a2)
（3）对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s，则有ap+aq=ar+as
（4）对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有ap+ar=2aq
（5）对于任意正整数n>1，有2an=an－1+an+1
（6）对于任意非零实数b，若数列{ban}是等差数列，则数列{an}也是等差数列
（7）已知数列{bn}是等差数列，则{an±bn}也是等差数列
（8）{a2n}，{a2n－1}，{a3n}，{a3n－1}，{a3n－2}等都是等差数列
（9）S3m=3（S2m－Sm）
（10）若Sn=Sm(m≠n)，则Sm+n=0
（11）若Sp=q,Sq=p，则Sp+q=－(p+q)(p≠q)
（12）Sn=an2+bn，反之亦成立
5.等比数列
（1）定义： =q(常数q为公比)
（2）通项公式：an=a1qn－1
（3）前n项和公式
Sn=
特别注意q=1时，Sn=na1这一特殊情况。
（4）通项公式推广：an=am•qn－m
6.等比数列{an}的一些性质
（1）对于任意正整数n，均有 =
（2）对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p+q=r+s，则ap•aq=ar•as
（3）对于任意正整数p、q、r，如果p+r=2q，则ap•ar=aq2
（4）对任意正整数n>1，有an2=an－1•an+1
（5）对于任意非零实数b,{ban}也是等比数列
（6）已知{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列
（7）如果an>0，则{logaan}是等差数列
（8）数列{logaan}成等差数列，则an成等比数列
（9）{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比数列
7.数列极限
（1）极限的定义“ε—N”
（2）极限的四则运算
若 an=A， bn=B，则
(an±bn)= an± bn=A±B
（an•bn）= an• bn=A•B
（an/bn）= an/ bn= (B≠0)
（3）两个重要极限
① =
② rn=
中学数学中数列求极限最终都化成这两类的极限问题。由①我们可以得到多项式除多项式的极限。
=
其中p,q∈N,a0≠0，b0≠0。
（4）无穷递缩等比数列各项和公式
S= Sn= （|q|<1）
应用：化循环小数为分数。
8.递归数列
数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列 即为递归数列。
递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：
（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。
（2）迭代法。
（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。
（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。
9.数列求通项与和
（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：
an=
（2）求通项常用方法
①作新数列法。作等差数列与等比数列。
②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1
③归纳、猜想法。
（3）数列前n项和
①重要公式
1+2+…+n= n(n+1)
12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2
②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd
③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn
④裂项求和
将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：
= －
n•n！=(n+1)!－n!
=cotα－cot2α
Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r
= － 等。
⑤错项相消法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。
⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。
数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
10.数学归纳法
（1）数学归纳法的基本形式
设P(n)是关于自然数n的命题，若
1°p(n0)成立（奠基）；
2°假设P(k)成立(k≥n0)，若可以推出P（k+1）成立（归纳），则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立。
（2）数学归纳法的应用
数学归纳法适用于有关自然数n的命题。具体来讲，数学归纳法常用来证明恒等式，不等式，数的整除性，几可中计数问题，数列的通项与和等。
四、思想方法
数列、极限、数学归纳法中，主要注意如下的基本思想方法：
1.分类讨论思想。如等比数列的求和分公比等于1和不等于1两种情形；已知数列前n项和求通项分n=1和n≥2两种情形；求极限时对两个参数进行大小比较的讨论等。
2.函数思想。将数列视为定义域为自然数或其子集的函数。
3.数形结合思想。如等差数列的通项公式和前n项和公式分别视为直线、二次曲线的方程。
4.转化思想。如将非等差数列、非等比数列转化为等差数列、等比数列。
5.基本量思想。如把首项及公差、公比视为等差数列、等比数列的基本量。
6.构造思想。如由旧数列构造新数列。
7.特殊化思想。为研究一般问题可先退化到特殊问题的研究。在这部分内容中，处处充满了由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证法，这就要求我们在思考问题时要用辩证的观点，由具体认识抽象，由特殊窥见一般，由有限逼近无限。其中，我们常用的“归纳——猜想——证明”法就体现了这一点。
8.一般化思想。为研究一个特殊问题，我们先研究一般的情形。我们采用的数学归纳法，就主要体现一般化思想，先证命题对一般值成立，然后再证对每一个特殊的n值也成立。

⑵ 初中的数学归纳法是什么，有哪些题型

数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

数学归纳法填空题
1、用数学归纳法证明“(3n＋1)7n-1能被9整除(nÎN)”的第二步应为________。
2、用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（n＋3）=(nN)”，
当n=1时，左边应为____________。
3、已知{an}数列的前n项Sn=2n-an,则{an}的前四项依次为_______,猜想an=__________.
4、用数学归纳法证明某个命题时，左式为（n为正偶数）从”n=2k到n=2k+2”, 左边需增加的代数式是_____。
5、用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k到圆亏n=k+1”, 左边需增添的代数式是_____。
6、用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n=(nÎN)的第二步应是；假设_______时等式成立，即_____________，那么当_________时，左边=1＋2＋…＋_______=(1＋2＋…＋_______)＋_________=_______＋_______=_________，右边=__________，故左边________右边，这就是说____________________。
7、已知数列{an}, a为常数且an=,Sn=a1+a2+…+an ,则S1 , S2 ,S3分别为___________,推测Sn的计算公式为_______.
8、用数学归纳法证明等式时,当n=1左边所得的项是 ；从””需增添的项是 。
9、用数学归纳法证明当时是31的倍数时，当n=1时原式为 ，从时需增添的项是 。
10、
用数学归纳法证明“当n³2且nÎ斗腔困N时，xn-nan-1x＋(n-1)an能被(x-a)2整除”的第一步应为_________________。
11、已知数列{an}满足a1=2a，an=2a-(n³2)，用数学归纳法证明an=a的第一步是___________________。
12、用数学归纳法证明等式1·3·5+3·5·7+···+(2n-1)(2n+1)(2n+3)=n(n+2)·(2n2+4n-1)时，先算出n=1时，左边=_______，右边=__________，等式成立。
13、在数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an-2,,则此数列的四项分别为_______.猜想an的计算公式是_______.
14、用数学归纳法证明“当n是非负整数时55n+1＋45n+2＋35n能被11整除”的第一步应写成：当n=______时，55n+1＋45n+2＋35n=________=_______，能被11整除。
15、用数学归纳法证明1＋3＋6＋……＋=(nÎN)的第一步应是：当n=_____时，左边=____，右边=_____，∴左边_____右边，故_____。
16、用数学归纳法证明“56n+5＋76n+7能被9整除”的第二步中，为了使用归纳假设，应将56(k+1)+5＋76(k+1)+7变形为__________________。
17、设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+______.
18、已知数列{an}, a1=, 则a2, a3 , a4 ,a5分别为_________,猜想an=________.
19、探索表达式A=(n-1)n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1! (n>1且n∈N)的结果时，第一步n=___________时，A=__________.
20、用数学归纳法证明某个命题时，左式为1·2·3·4+2·3·4·5+n(n+1)(n+2)(n+3), 从 “n=k到n=k+1”，左边需增加的代数式是____。
21、用数学归纳法证明某命题时，若命题的左边是1＋＋＋＋…＋(nÎN)，则n=k＋1时，左边应是n=k时的左边加上______________。
2、用数学归纳法证明1＋2＋22＋23＋……＋25n-1(nÎN)是31的倍数时，从“n=k®n=k＋1”需添的项是___________。
23、空念设Sk＝，那么Sk+1＝Sk＋_____
24、记平面内每两条棱交于两点，且任何三条不共点的几条抛物线，将平面划分的Z区域个数为f(n)，则f(k＋1)＝f(k)＋____。
25、直线l上有k个点(k³2)，由k个点确定的线段条数记为f(k)，则l上增加一个点后，线段条数最多增加_______条。
26、平面上原有k个圆，它们的交点个数记为f(k)，则增加第k＋1个圆后，交点个数最多增加_______个。
27、平面上原有k个圆，它们相交所成圆弧共有f(k)段，则增加第k＋1个与前k个圆均有两个交点，且不过前k个圆的交点的圆，则前k个圆的圆弧增加_________段。
28、设有通过一点的k个平面， 其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成个f(k)部分，则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+_____个部分.
29、平面内原有k条直线，这k条直线没有两条互相平行，没有三条交于同一点，它们互相分割成f(k)条线段或射线，则增加一条这样的直线，被分割的线段或射线增加________条。
30、平面上两两相交且任何三条不过同一点的k条直线将平面分面f(k)个部分，则k+1条直线把平面分成为f(k+1)=f(k)+_____个部分
31、已知凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)与f(k)的关系是f(k＋1)=____________。
32、设数列{an}满足a1=2，an+1=2an＋2，用数学归纳法证明an=4·2n-1-2的第二步中，设n=k时结论成立，即ak=4·2k-1-2，那么当n=k＋1时，___________。
数学归纳法填空题 〈答案〉

1、 答案：略。

2、 1＋2＋3＋4
3、 1,
4、
5、 (2k+2)(2k+3)
6、 答案：略。
7、
8、 1＋2＋3；(2k＋2)＋(2k＋3)
9、 1＋2＋22＋23＋24；25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4.
10、 当n=2时，xn-nan-1x＋(n-1)an=x2-2ax＋a2=(x-a)2能被(x-a)2整除
11、 a2=2a-=2a-=a=
12、 1·3·5=15;1·3·(2+4-1)=15
13、 2,4,8,16;2n
14、 0，51＋42＋30，22
15、 1，1，1，=，成立
16、 76(56k+5＋76k+7)＋(56-76)·56k+5
17、 π
18、
19、2,1
20、 (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
21、 ＋＋＋…＋
22、 25k＋25k+1＋…＋25k+4
23、
24、 2k＋1
25、 k
26、 2k
27、 2k
28、 2k
29、 2k＋1
30、 k+1
31、 f(k)＋
32、 ak+1=2ak＋2=2(4·2k-1-2)＋2=4·2k-2=4·2(k+1)－1-2
例1 求证：多项式xn+1+(x+1)2n-1(n∈N)能被多项式x2+x+1整除.

分析：与自然数有关的命题，常用数学归纳法证明，但在用

数学归纳法证明整除性问题时，为了凑假设，常需对n=k+1的情形进行添项和拆项.

证明：（1）当n=1时，x2+(x+1)显然能被x2+x+1整除.

例2 用数学归纳法证明：

评注：通常用数学归纳法证明关于含有自然数n的命题时，第一步只要检验n=1(或n=2，…)就可以了.本题在检验n=1不等式成立后，又继而检验n=2时，不等式也成立，这一做法不是多余的，因为后面的证明中要用到

例3 已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.

证明：（1）当n=1时,1个平面把空间分为2部分，而f(1)=1×(1-1)+2=2(部分)，所以命题正确.

（2）假设当n=k时,命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f(k)=k(k-1)+2(部分),

当n=k+1时，第k+1个平面和其它每一个平面相交,使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分.

∴f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2+2k

=k(k-1+2)+2=(k+1)[(k+1)-1]+2(部分),

即n=k+1时,命题成立.

根据(1)、(2)知，n个符合条件的平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.

⑶ 常用的数学归纳法有哪几种形式

高中阶段常用的数学归纳法有三种种形式：（1） 第一数学归纳法（常见，略）（2） 第二数学归纳法，证明步骤是：① 验证n=n0（n0∈N+）时命题P（n0）晌哪成立；② 假设对于所有适合n0≤世谨塌m≤k的自然数m，命题P（m）成立，能推出P（k+1）成立.根据以上两点，知对一切自然数n（n≥m），P（n）都成立.（3） 反向归纳法（又称倒推归纳法）：设P（搜圆n）是一个含有自然数n的命题.若① P（n）对无限多个自然数n成立；② 假设P（h+1）成立，可推出P（h）成立.则对一切自然数n，命题P（n）成立.

⑷ 归纳法分为哪两个方法

归纳法分为哪两个方法：完全归纳法、不完全归纳法。

完全归纳法：完全归纳法是根据同一类事物的每一个对象都具有（或不具有）某种属性而推出这类事物都具有（或不具有）该属性的一般性结论的推理。

不完全归纳法：不完全归纳法是根据某类中的部分对象具有（或不具有）某种属性，而得出该类对象全部都具有（或不具有）该属性的推理。它又可分为简单枚举归纳法和科学归纳法两类。

科普返芦坦拓展：

归纳法一般指归纳推理，是一种由个别到一般的推理。由一定程度的关于个别事漏桐物的观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。

1、归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一哗槐般，是一个必然地得出的思维进程。

2、归纳推理除了完全归纳推理前提与结论间的联系是必然的外，前提和结论间的联系都是或然的，也就是说，前提真实，推理形式也正确，但不能必然推出真实的结论。

归纳法有两种常用定义：

1、一种定义为从个别前提得出一般结论的方法；根据这个定义，它包括简单枚举归纳法、完全归纳法、科学归纳法、穆勒五法、赖特的消除归纳法、逆推理方法和数学归纳法。

2、另一种定义为个别前提或然得出结论的方法；根据此定义，包括简单枚举归纳法、穆勒五法、赖特的消除归纳法、逆推理方法和类比法，而不包括完全归纳法、科学归纳法和数学归纳法。

⑸ 数学归纳法，常用方法

先验证n=1时成立
再假设n=k时成立,推出n=k+1时成立。

⑹ 数学归纳法几种常见方式

第一数学归纳法,第二数学归纳法,跷跷板数学归纳法.3种

⑺ 什么是归纳法

归纳法一般指归纳推理，是一种由个别到一般的推理。由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。

1、归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程。

2、归纳推理除了完全归纳推理前提与结论间的联系是必然的外，前提和结论间的联系都是或然的，也就是说，前提真实，推理形式也正确，但不能必然推出真实的结论。

(7)常用的数学归纳法有哪些扩展阅读：

1、归纳可分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是前提包含该类对象的全体，从而对该类对象作出一般性结论的方法。

2、归纳和演绎反映了人们认识事物两条方向相反的思维途径，前者是从个别到一般的思维运动，后者是从一般到个别的思维运动。

3、归纳推理是从认识研究个别事物到总结、概括一般性规律的推断过程。在进行归纳和概括的时候，解释者不单纯运用归纳推理，同时也运用演绎法。

4、科学归纳推理由于其主要特点是考察对象与属性之间的因果联系，因而有助于引导人们去探求事物的本质，发现事物的规律，从而比较可靠地把感性认识提升到理性认识。

⑻ 数学归纳法经典题目有哪些

如下：

1、用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式：

个部分。

介绍

数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立。

两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。

⑼ 什么是数学归纳法.反设法

数学归纳法是高中数学中一种常用的证题方法，应用极其广泛。既是高考的一个热点，又是教学的一个难点，与其他证明方法相比，由于数学归纳法格式固定，常使学生看似简单易懂，实则又难以理解．数学归纳法又是一种“归纳——演绎法”，雹雀科学地发现总是要经过“发现——论证”的阶段，因此在数学归纳法中要注意引导学生发现要证明的论证．数学归纳法是在人类认识自然数的过程中发展起来的，它本身是一种文化[7]．数学归纳法提供了一种数学的思维方法，我们学习数学归纳法时应强调它的思维作用，学会用数学归纳法的思维方式去思考问题，在充分理解数学归纳法的原理以及证题中的一些要点之后，才能使这种知识融入整个知识体系，才能运用数学归纳法去证明一些问题，解决一些问题．
总之，尽管数学归纳法是一种证明方法，但实质是递推思想，只要把握住“递推”，巧妙地进芹埋行命题转换，以递推分析为主，这样就可以理解其实质，掌握证题技巧，真正提高分析问题解决问题的能力．

（一）第一数学归纳法：
一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。
（二）第二数学归纳法：
对于某个与自然数有关的命题P(n)，
（1）验证n=n0时P(n)成立； 嫌肆蚂
（2）假设n0≤n<k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：
（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假设P(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立，
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立；
（四）螺旋式归纳法
对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)，
（1）验证n=n0时P(n)成立；
（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立
由此可见，数学归纳法在数列的有关问题的证明中是非常有用的（通项，与数列有关的不等式）

⑽ 数学归纳法的类型

数学归纳法（Mathematical
Inction,
MI）是一种数学证明方法，通常被局哗用于证明某个给定命桐神行题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以瞎神用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。