检测系统的数学模型有哪些

❶ 航空重力矢量测量的数学模型

1.航空重力矢量测量的数学模型

在经典力学中，根据牛顿第二运动定律，作用于单森誉位质点的总加速度矢量（称为比力）fⁱ与载体运动加速度矢量

和引力加速度矢量Gⁱ之间的关系为：

航空重力勘探理论方法及应用

牛顿第二运动定律只成立于惯性系，上式中上标i表示惯性坐标系。按照爱因斯坦等效原理，

与

是不可分的，要获取引力加速度Gⁱ，则必先求得载体运动加速度

（通过动态GPS），再从测得的比力中烂耐减去（孙中苗，2004）。

设质点在惯性系i和地球系e中的位置矢量分别为rⁱ和r^e，两者之间的关系可表示为：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：

为从i系到e系的坐标变换矩阵，将上式对时间求导得：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：

为反对称矩阵，表示e系相对于i系的运动角速度。设v是载体相对地球的速度，即v^e＝

,v^e在n系可表示为：

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将式（3-3-3）代入式（3-3-4）可得：

航空重力勘探理论方法及应用

由上式可解得：

航空重力勘探理论方法及应用

于是

航空重力勘探理论方法及应用

上式因

量级很小，而忽略

。在n系中，顾及式（3-3-1）可得：

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将式（3-3-7）代入上式得：

航空重力勘探理论方法及应用

利用相似此历段变换：

，及式（3-3.6）得：

航空重力勘探理论方法及应用

重力是引力和离心力之和，

即为惯性系中的重力gⁱ，所以：

航空重力勘探理论方法及应用

上式即为惯导系统中的比力方程，式中

称为科里奥利（Coriolis）加速度，

为载体运动加速度，gⁿ为重力加速度矢量。

航空重力勘探理论方法及应用

或写为：

航空重力勘探理论方法及应用

式中qⁿ表示科里奥利加速度和运动加速度的综合影响。

式（3-3-12）中的重力加速度矢量gⁿ又可以表示成正常重力矢量γⁿ和扰动重力矢量δgⁿ之和，由此可得出航空重力矢量测量的基本模型（Titterton,2004；孙中苗，2004）：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：

为载体的加速度；vⁿ为载体的速度；fⁿ为坐标系n加速度计的比力测量值；

为地球自转角速度在当地地理坐标系n下的投影；γⁿ为正常重力；δgⁿ为所求的重力扰动矢量。

为当地地理坐标系n相对地球坐标系e的角速度在n系下的投影。

严格地说，上式适用于当地水平稳定平台系统，其中三轴加速度计的空中定向由电子机械反馈环路维持，因此所有观测量均直接在n系中获得。

对捷联式矢量重力测量系统，加速度计和陀螺的观测量是在载体坐标系b中获得的，故其相应的数学模型为：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：

为载体坐标系b与当地地理坐标系n之间的方向余弦转换矩阵；f^b为坐标系b下加速度计的比力测量值。

2.航空重力测量矢量模型的分量形式

下面将式（3-3-14）表示成分量形式

航空重力勘探理论方法及应用

式中

表示地球旋转角速度的矩阵形式：

航空重力勘探理论方法及应用

航空重力勘探理论方法及应用

由此可得：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：

航空重力勘探理论方法及应用

注意到γⁿ=[0 0 γ_u]^T，则式（3-3-14）的分量形式为：

航空重力勘探理论方法及应用

将vⁿ以椭球坐标表示为：

航空重力勘探理论方法及应用

即：

航空重力勘探理论方法及应用

R_N和R_M分别为卯酉圈和子午圈半径，将式（3-3-22）代入式（3-3-20），得航空重力测量矢量模型的分量形式：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：δg_N、δg_E、δg_U为重力扰动矢量的北向、东向和天向的分量；

为载体运动加速度的北向、东向和天向的分量；v_N、v_E、v_U为载体速度的北向、东向和天向的分量；f_N、f_E、f_U为比力的北向、东向和天向的分量；φ 、h为地理纬度和大地高度；ω为地球自转角速度；γ_U为正常重力（指向天向）。

式（3-3-23）的第三式右端的[·]项为科里奥利加速度的垂直分量，通常称为厄缶改正（Eötvös），记为δa_E：

航空重力勘探理论方法及应用

该改正项模型首先是由匈牙利物理学家厄缶推导的，并于1919年用实验方法得到证实。

在当地地理坐标系n中，正常重力模型是大地纬度φ和飞行高度h（海拔高度m）的函数（Tit-terton,2004）：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：y₀=9.780327（1+5.3024×10^-3sin²φ－5.9×10^-6sin²2φ）（m/s²,1979年国际地球物理及大地测量联合会推荐的重力正常场计算公式）；

❷ 习题 2-1 什么是系统的数学模型常用的数学模型有哪些

—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义. 模型准备 首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设 根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样． 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术． 模型分析 对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等． 模型检验 把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待．当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了．模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意． 模型应用 应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面的内容不是本书讨论的范围。 应当指出，并不是所有建模过程都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明．建模时不应拘泥于形式上的按部就班，本书的建模实例就采取了灵活的表述方式

❸ 模型检验常用方法有哪些

正确性分析：（模型稳定性分析，稳健性分析，收敛性分析，变化趋势分析，极值分析等）
有效性分析：误差分析，参数敏感性分析，模型对比乱州检验
有用性分析：关键梁团数据求解，极值点，拐点，变化趋势分析，用数据橡陪橘验证动态模拟。
高效性分析：时空复杂度分析与现有进行比较

❹ 数学模型有哪些

1、生物学数学模型

2、医学数学模型

3、地质学数学模型

4、气象学数学模型

5、经济学数学模型

6、社会学数学模型

7、物理学数学模型

8、化学数学模型

9、天文学数学模型

10、工程学数学模型

11、管理学数学模型

(4)检测系统的数学模型有哪些扩展阅读：

数学模型的历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字，就不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。

数学模型这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。

因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。