离散数学怎么求子群

‘壹’ 一道离散数学题，如何求所有子群，求详细解答，以及思路和解题通法

求子群一般会用到拉携团格朗日定理和西罗的三个定理。辩枣橘(这两个定理都是针对有限群的)。如果对群比较感兴趣可以岩链看看丁石孙编的代数学引论。

‘贰’ 离散数学，证明循环群的子群也是循环群，这一步这么得到

设n阶循环乘群G的生成元为a,则a^n=1。G1是G的子群。
a^k是G1种指数最小塌茄败的元素,则纳衫
(a^k)*(a^k)=a^(2k)仍团颤是G1的元素,若a^k≠1，则a^(2k)≠a^k;
依此类推，若a^(2k)≠1，则a^(3k)≠a^k,a^(3k)≠a^(2k),
……
于是a^k是G1的生成元，
∴G的子群G1仍是循环群。

‘叁’ 离散数学题。。。关于群的。。。

用子群的定义来证明就可以了：

只需证明满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元。

封闭性：
任选a，b∈H，则
a*x=x*a
b*x=x*b
(a*b)*x=a*(b*x)=a*(x*b)=(a*x)*b=(x*a)*b=x*(a*b)
说明a*b∈H

结合律：因为H是G的子集，显然满足

有单位元：设<G,*>单位元是I，则
对任意的x∈G，有I*x=x*I
即I∈H，且显然I也是H中的单位元

有逆元：任选a∈H
则对任意的x∈G，有a*x⁻¹=x⁻¹*a ①

又因为(a⁻¹*x) * (x⁻¹*a) = a⁻¹*(x * x⁻¹)*a =a⁻¹*I*a =a⁻¹*a =I
即a⁻¹*x = (x⁻¹*a)⁻¹ ②
类似地，有x*a⁻¹ = (a*x⁻¹)⁻¹ ③

由①②③，得知
a⁻¹*x = x*a⁻¹

从而a⁻¹∈H，即逆元存在。

综上所述，H是子群。

‘肆’ 离散数学。<Z6,+6>的子群怎么求呀

子群，首先有两个平凡子群：<{0},+6>，与本身

然后在零元基础上再扩充元：清庆余
<{0,2,4},+6>也是一个子答滚群
<差闹{0,3},+6>也是一个子群

‘伍’ 离散数学题，求证循环群的子群仍是循环群

设G为循环群，那么G有生成元x，使得任何非单位元g属于G，均存在最小的正整数n，满足g=x^n。因此若H是G的子群,其任何元素非单位元h，均有h=x^n的形式。

不妨设d>0是满足x^d属于H的最小整数。任取x^a属于H(a>0)。则x^(am+tn)=(x^a)^m*(x^t)^n属于H。由Euclid辗转相除法知，存在m，n使得：

am+dn=(a，d)>0，表明x^((a，d))属于H，因为a=a1*(a，d)，d=d1*(a，d)，所以x^a，x^d可由x^((a，d))生成。

因此(a，d)<=d。由于d是最小的故(a，d)=d。又x^a是在举御H中任意取的非单位元。故H中的任何元素均可由x^d生。即胡散H中的非单位元均是形如x^(dn)形式。故H是循环群。

(5)离散数学怎么求子群扩展阅读：

循环群的性质

1、设(a)是—个循环群正做岩，(1)若|a|=∞，则(a)与整数加群Z同构；(2)若IaI=n，则(a)与模n的剩余类加群Zn同构。

2、有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元，且在Z中除零元外，每个元的阶都是无限的。

3、在模n的剩余类Zn中，有(1)|[k]|=n/(k，n)；(2)[k]是Zn的生成元<=>(k，n)=1。

‘陆’ 离散数学题 请问怎么求S3的所有正规子群

从单位元开始，慢慢添加一个新元素，然后将其逆元素，以及所有幂，都加进来，

形成一个子群，判断是否正规，然后再继续这个过程，即可

先求所有子群：

其中正规子群（不变子群），是H1，H5, H6

‘柒’ 离散数学这题

P(B)是B的幂集,即
P(B)={∅,{1},{2},{3},{4},{5},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}}

A是该幂集中的一元（A本身是一个集合，该集合作为幂集中的巧如一个元素孝斗启）。

A生成的子群，就是A通过对称差运算
【即A⊕B = (A-B)∪(B-A) 】销信，生成的一个群

显然原来的群中，∅是单位元
因此A生成的子群，必然包含A和∅两个元素。
但除此之外，没有其他元素了。
因此子群是({A,∅},⊕)

A⊕X={2,3,4}
即
{1,4,5}⊕X={2,3,4}
显然
X={1,2,3,5}

‘捌’ 离散数学怎么求子群

通过群中元素的阶数来求。若a是群G的k阶元素，则群G必有k阶子群｛a，a^2，……，a^k｝

‘玖’ 离散数学-代数结构问题 求6阶循环群｛e，a，a2，…，a5｝的各阶子群。 越详细越好，谢谢～

首先，子群的阶是6的约数：1,2,3,6
其次，1阶子群H1的生成元是a^6（a的6次方）＝e，迟源所以H1={e}。
2阶子群H2的生成元是a^3，所以H2={e,a^3}。
3阶子群H3的生成元是a^2，所以H3={e,a^2,a^4}。
6阶子册缓群H4的生成元是a，所以H4就是原来的群码姿态本身{e,a,a^2,a^3,a^4,a5}。

‘拾’ 离散数学循环群的题目

1、n阶循环群<a>={e,a,a^2,...,a^(n-1)}，则a^n=e，e是单位元。生成元除了a，还可以是a^k(1＜k＜n，至于更高幂次没有讨论讨论的意义，因为一定有a^(n+k)=a^k，k＜n)，那么k一定与n互素。只要你求出b=a^k的所有不超过n-1的幂次，就会发现b^0=e,b,b^2,...,b^(n-1)一定包含了所有的e,a到a^(n-1)。
比如n=15时，k可以取值2，那么b=a^2的各个幂次的结果是：b^0=e，b=a^2，b^2=a^4，b^3=a^6，b^4=a^8，b^5=a^10，b^6=a^12，b^7=a^14，b^8=a^16=a，b^9=a^18=a^3，b^10=a^20=a^5，b^11=a^22=a^7，b^12=a^24=a^9，b^13=a^26=a^11，b^14=a^28=a^13。这样<a^2>生成的循环群还是<a>。
2、群的阶指的是元素的个数。n阶群的子群H的阶r一定是n的因子。<12>=<0>={0}里面只有一个元素，自然是1阶子群了。
3、群G的子群有两个特殊的，一个是1阶子群{e}，一个包含所有元素的自身G，这两个称为平凡子群。
G=<a>是15阶循环群，子群<a>不就是G自身嘛，貌似这个地方应该是<e>。G的子群是1阶子群<e>={e}，3阶子群<a^5>，5阶子群<a^3>，15阶子群G。