数学分析中紧集是什么意思

A. 高数或数分里,紧集中的“紧”字是什么意思为什么要叫紧集

定义
紧集是拓扑空间内的一类特殊点集,它们的任何开覆盖都有有限子覆盖.在度量空间内,紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合：
任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合（自列紧集）
具备Bolzano-Weierstrass性质
完备且完全有界
性质
紧集具有以下性质：
紧集必然是有界的闭集,但反之不一定成立.
紧集在连续函数下的像仍是紧集.
豪斯多夫空间的紧子集是闭集.
实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素.
Heine-Borel定理:在Rn内,一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界.
定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值.
定义在紧集上的连续实值函数一致连续.
直观理解
从某种意义上,紧集类似于有限集.举最简单的例子而言,在度量空间中,所有的有限集都有最大与最小元素.一般而言,无限集可能不存在最大或最小元素陪汪（比如R中的(0,1)）,但R中的非空紧子集都有最大和最小元素.在很多情况下,对有限集成立的证明可以扩展到紧集.一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数一致连续.
类似概念
自列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列.
可散州数紧集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖.
伪紧：所有的实值连续函数都是有界的.
弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点.
在度量空间中,以上概念均等价于紧集.
以下概念通常弱于紧集：
相对紧致：如果一芦掘仔个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的,则称Y是相对紧致于X.
准紧集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列,则称Y是X中的准紧集.
局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基,则称这个空间是局部紧致空间.

B. 紧支集是什么

紧支集： 这个谨笑渗函数的支集是有有限的子集覆盖的。

支集：一个定义在集合X上的实值函数f的支撑集，或简称支集，是指X的一个子集，满足f恰好在这个子集上非0。

紧集：紧集是指拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。从某种意义上，紧集类似于闭集。

(2)数学分析中紧集是什么意思扩展阅读：

如果函数的支撑集是x中的紧集，则称函数在x空间中是紧支撑的。例如，如果x是实轴，则所有在无穷远处消失的函数都被紧支撑。

实际上，这是函数在有界集外必须为零的特殊情况。在一个好的例子中，紧支撑函数的集合在无穷远处消失的所有函数集合中都是稠密的。当然，在给定的特定问题中，这可能需要大量的工作来验证。

在数学中，一个定义在集合X上的实值函数f的支撑集，或简称支集，是指X的一个子集，满足f恰好在这个子集上非0。

最常见的情形是，X是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数f在此拓扑下连续。

此时，f的支撑集被定义为这样一个闭集C：f在中为0，且不存在C的真闭子集也祥脊满足这个条件，即，C是所有这样的子升裂集中最小的一个

C. 什么叫紧集

在度量空间内，紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合：i)任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合（自列紧集）；ii)具备Bolzano-Weierstrass性质；iii)完备且完全有界 ；iv)预紧集合的闭包。
紧集：紧集是拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。

每一度空间X都是另一完备度量空间的稠密子空间，而且由X唯一构造出来。例如，实数直线就是有理数集的完备化，20世纪初建立严密的数学分析理论正是基于这一重要事实。

稠密子空间：

在度量空间中可以用距离定义点列的收敛概念：xn→x0就是指d（xn,x0）。点列{xn}称为柯西点列，是指对任意正实数ε，都存在自然数N，使得m、n≥N时有可以证明收敛点列一定是柯西点列，反过来并不成立。

每个柯西点列都收敛的度量空间叫做完备度量空间。这类空间有许多好的性质。例如，完备度量空间中压缩映射原理成立。可以用它证明微分方程、积分方程以及无限线性代数方程组的一系列存在唯一性定理。

度量空间X的任何子集Y配上原有的距离也成为度量空间，称作X的子空间。如果每个开球{x∈X|d(x0,x)<首喊r}都含有Y 的点，便说Y是亮埋X 的稠密者键野子空间。

以上内容参考：网络-度量空间