程序设计中常用的数学算法有哪些

A. 请问递归算法的时间复杂度如何计算呢

递归算法的时仔汪缺间复杂度在算法中，当一个算法中包含递归调用时，其时间复杂度的分析会转化为一个递归方程求解，常用以下四种方法：

1.代入法(Substitution Method)

代入法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法来验证该解是否合理。

2.递归程序设计是程序设计中常用的一种方法，它可以解决所有有递归属性的问题，并且是行之有效的.

3.但对于递归程序运行的效率比较低，无论是时间还是空间都比非递归程序更费，若在程序中消除递归调用，则其运行时间可大为节省.

B. 计算机编程常用算法有哪些

贪心算法，蚁群算法，遗传算法，进化算法，基于文化族唤的遗传算法，禁兆颂凯忌算法樱此，蒙特卡洛算法，混沌随机算法，序贯数论算法，粒子群算法，模拟退火算法。

模拟退火+遗传算法混合编程例子：
http://..com/question/43266691.html
自适应序贯数论算法例子：
http://..com/question/60173220.html

C. 编程算法有哪些

具体算法如下：

1、快速排序算法快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种排序算法。在平均状况下，排序n个项目要誉毁Ο（nlogn)次比较。在最坏状况下则需要Ο（n2)次比较，但这种状况并不常见。

2、堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

3、归并排序（Mergesort，台湾译作：合并排序）是建立在归并操作上的一庆码备种有效的排序算法。该算法是采用分治法（DivideandConquer）的一个非常典型的应用。

4、二分查找算法是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。搜素过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜素过程结束。

5、BFPRT算法解决的问题十分经典，即从某n个元素的序列中选出第k大（第k小）的元素，通过巧妙的分析，BFPRT可以保证在最坏情况下仍为线性时间复杂度。

6、深度优先搜索算法，是搜索算法的一种。它沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所有边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节模笑点v的那条边的起始节点。

D. 软考程序员考试知识点有哪些

软考初级程序员考试包含基础知识和应用技术共两个科目，各科目考试知识点有所不同。基础知识科目考试题型为客观选择题，应用技术科目考试题型为主观问答题。
程序员属于软考初级资格考试，软考程序员考试大纲中各科目的考试知识点范围如下：
考试科目1：计算机与软件工程基本知识
1.计算机科学基础
1.1数制及其转换
二进制、十进制和十六进制等常用数制及其相互转换
1.2数据的表示
数的表示
非数值数据的表示
1.3算术运算和逻辑运算
计算机中二进制数的运算方法
逻辑代数的基本运算
1.4数学应用
常用数值计算（矩阵、近似求解、插值）
排列组合、应用统计
编码基础
1.5常用数据结构
数组
线性表及链表
队列、栈
树
图
1.6常用算法
算法与数据结构的关系
算法设计和算法描述
常用的排序算法
查找算法
常用的数值计算方法
字符串处理算法
递归算法
最小生成树、拓扑排序和单源点最短路径求解算法
2.计算机系统基础知识
2.1硬件基础知识
2.1.1计算机的类型和特点
微机（PC机）、工作站、服务器、主机、大型计算机、巨型计算机、并行机
2.1.2中央处理器CPU
CPU的组成
常用的寄存器
指令系统，寻址方式
令执行控制、中断控制、处理机性能
2.1.3主存和辅存
存储介质
高速缓存（Cache）、主存
辅存设备
2.1.4I/O接口、I/O设备和通信设备
I/O接口
I/O设备（类型、特性）
通信设备（类型、特性）
I/O设备、通信设备的连接方法和连接介质类型
2.2软件基础知识
2.2.1操作系统基础知识
操作系统的类型和功能
处理机管理
存储管理
设备管理
文件管理
作业管理（作业调度算法）
图形用户界面和操作方法
2.2.2程序设计语言和语言处理程序的基础知识
语言翻译基础知识（汇编、编译、解释）
程序设计语言的基本成分：数据、运算、控制和传输
程序语言类型和特点
2.3网络基础知识
网络的功能、分类、组成和拓扑结构
基本的网络协议与标准
常用网络设备与网络通信设备，网络操作系统基础知识
Client/Server结构、Browser/Server结构
局域网（LAN）基础知识
Internet基础知识
2.4数据库基础知识
数据库管理系统的主要功能和特征
数据库模式（概念模式、外模式、内模式）
数据模型、ER图
数据操作（关系运算）
数据库语言（SQL）
数据库的主要控制功能（并发控制、安全控制）
2.5多媒体基础知识
多媒体基本知识
常用多媒体设备性能特征，常用多媒体文件格式类型粗尘
2.6系统性能指标
响应时间、吞吐量、周转时间
可靠性、可维护性、可扩充性、可移植性、可用性、可重用性、安全性
2.7计算机应用基础知识
计算机常用办公软件操作方法
计算机信息管理、数据处理、辅助设计、自动控制、科学计算、人工智能等领域的应用
远程通信服务
3.系统开发和运行知识
3.1软件工程和项目管理基础知识
软件工程基础知识
软件开发生命周期各阶段的目标和任务
软件过程基本知识
软件开发项目管理基本知识
软件开发方法（原型法、面向对象方法）基础知识
软件开发工具与环境基础知识（CASE）
软件质量管理基础知识
3.2系统分析设计基础知识
数据流图（DFD）、实体联系图（ER图）基本知识
面向对象设计、以过程为中心设计、以数据为中心设计基础知识
结构化分析和设计方法
模块设计、代码设计、人机界面设计基础知识
3.3程序设计基础知识
结构化程序设计、流程图、NS图、PAD图
程序设计风格
3.4程序测试基础知识
程序测试的目的、原则、对象、过程与工具
黑盒测试、白盒测试方法
测试设计和管理
3.5程序设计文档基础知识
算法的描述、渗宏程度逻辑的描述、程度规格说明书
模块测试计划、模块测试用例、模块测试报告
3.6系统运行和维护基础知识
系统运行管理基础知识
系统维护基础知识
4.信息安全基础知识
信息系统安全基础知识
信息系统安全管理
加密与解密基础知识
5.标准化基础知识
标准化基本概念
标准的层次（国际标准、标准、行业标准、企业标准）
相关标准（代码标准、文件格式标准、安全标准、软件开发规范和文档标准、互联网相关标准）
6.信息化基础知识
信息、信息资源、信息化、信息工程、信息产业、信息技术的含义
全球信息化趋势、信息化战略、企业信息化战略和策略常识
有关的法律、法规要点
7.计算机专业英语
具有助理工程师（或技术员）英语阅读水平
掌握本领域的英语基本术语
考试科目2：程序设计
1.内部设计
1.1理解外部设计
1.2软件功能划分和确定结构
数据流图（DFD）、结构图
1.3物理数据设计
确定数据组织方式、存储介质、设计丛凳册记录格式，处理方式
1.4详细输入输出设计
界面设计、报表设计等
1.5内部设计文档
程序接口、程序功能、人机界面、输入输出、测试计划
1.6内部设计评审
2.程序设计
2.1模块划分（原则、方法、标准）
2.2编写程序设计文档
模块规格说明书（程序处理逻辑、输入输出数据格式）
测试要求说明书（测试类型和目标、测试用例、测试方法）
2.3程序设计评审
3.程序实现
3.1编程
编程方法和规范
程序设计语言的选择和使用
人工走查
程序文档化
3.2程序测试
测试环境和测试工具的选择和使用
测试数据的设计
测试报告的编写
4.程序设计语言（C语言为必选，再在C、C++、Java语言中任选一种）
4.1C程序设计语言（C99标准）
4.2C++程序设计语言（ANSIC++标准）
4.3Java程序设计语言（Java2）

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E. 编程的基础算法有哪些

1、二叉树的每个结点至多只有二棵子树（不存在度大于2的结点），二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2^（i 1）个结点。

深度为k的二叉树至多有2^k 1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。二叉树算法常被用于实现念旦则二叉查找树和二叉堆。

递归算法能够解决的问题

数据的定义是按递归定义的。如Fibonacci函数。

问题解法按递归算法实现。如Hanoi问题。

数据的结构形式是按递归定义的。如二叉树、广义表等。

F. 软件编程经常用的算法都有哪些

排序算法 所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。
分类
在计算机科学所使用的排序算法通常被分类为：
计算的复杂度（最差、平均、和最好表现），依据串行（list）的大小（n）。一般而言，好的表现是O。(n log n)，且坏的行为是Ω(n2)。对于一个排序理想的表现是O(n)。仅使用一个抽象关键比较运算的排序算法总平均上总是至少需要Ω(n log n)。
记忆体使用量（以及其他电脑资源的使用）
稳定度：稳定排序算法会依照相等的关键（换言之就是值）维持纪录的相对次序。也就是一个排序算法是稳定的，就是当有两个有相等关键的纪录R和S，且在原本的串行中R出现在S之前，在排序过的串行中R也将会是在S之前。
一般的方法：插入、交换、选择、合并等等。交换排序包含冒泡排序（bubble sort）和快速排序（quicksort）。选择排序包含shaker排序和堆排序（heapsort）。
当相等的元素是无法分辨的，比如像是整数，稳定度并不是一个问题。然而，假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。
(4, 1) (3, 1) (3, 7) (5, 6)
在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是依照相等的键值维持相对的次序，而另外一个则没有：
(3, 1) (3, 7) (4, 1) (5, 6) (维持次序)
(3, 7) (3, 1) (4, 1) (5, 6) (次序被改变)
不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。不稳定排序算法可以被特别地时作为稳定。作这件事情的一个方式是人工扩充键值的比较，如此在其他方面相同键值的两个物件间之比较，就会被决定使用在原先资料次序中的条目，当作一个同分决赛。然而，要记住这种次序通常牵涉到额外的空间负担。
排列算法列表
在这个表格中，n是要被排序的纪录数量以及k是不同键值的数量。
稳定的
冒泡排序（bubble sort） — O(n2)
鸡尾酒排序 (Cocktail sort, 双向的冒泡排序) — O(n2)
插入排序 （insertion sort）— O(n2)
桶排序 （bucket sort）— O(n); 需要 O(k) 额外 记忆体
计数排序 (counting sort) — O(n+k); 需要 O(n+k) 额外 记忆体
归并排序 （merge sort）— O(n log n); 需要 O(n) 额外记忆体
原地归并排序 — O(n2)
二叉树排序 （Binary tree sort） — O(n log n); 需要 O(n) 额外记忆体
鸽巢排序 (Pigeonhole sort) — O(n+k); 需要 O(k) 额外记忆体
基数排序 （radix sort）— O(n·k); 需要 O(n) 额外记忆体
Gnome sort — O(n2)
Library sort — O(n log n) with high probability, 需要 (1+ε)n 额外记忆体
不稳定
选择排序 （selection sort）— O(n2)
希尔排序 （shell sort）— O(n log n) 如果使用最佳的现在版本
Comb sort — O(n log n)
堆排序 （heapsort）— O(n log n)
Smoothsort — O(n log n)
快速排序 （quicksort）— O(n log n) 期望时间, O(n2) 最坏情况; 对于大的、乱数串行一般相信是最快的已知排序
Introsort — O(n log n)
Patience sorting — O(n log n + k) 最外情况时间, 需要 额外的 O(n + k) 空间, 也需要找到最长的递增子序列（longest increasing subsequence）
不实用的排序算法
Bogo排序 — O(n × n!) 期望时间, 无穷的最坏情况。
Stupid sort — O(n3); 递回版本需要 O(n2) 额外记忆体
Bead sort — O(n) or O(√n), 但需要特别的硬体
Pancake sorting — O(n), 但需要特别的硬体
排序的算法
排序的算法有很多，对空间的要求及其时间效率也不尽相同。下面列出了一些常见的排序算法。这里面插入排序和冒泡排序又被称作简单排序，他们对空间的要求不高，但是时间效率却不稳定；而后面三种排序相对于简单排序对空间的要求稍高一点，但时间效率却能稳定在很高的水平。基数排序是针对关键字在一个较小范围内的排序算法。
插入排序
冒泡排序
选择排序
快速排序
堆排序
归并排序
基数排序
希尔排序
插入排序
插入排序是这样实现的：
首先新建一个空列表，用于保存已排序的有序数列（我们称之为"有序列表"）。
从原数列中取出一个数，将其插入"有序列表"中，使其仍旧保持有序状态。
重复2号步骤，直至原数列为空。
插入排序的平均时间复杂度为平方级的，效率不高，但是容易实现。它借助了"逐步扩大成果"的思想，使有序列表的长度逐渐增加，直至其长度等于原列表的长度。
冒泡排序
冒泡排序是这样实现的：
首先将所有待排序的数字放入工作列表中。
从列表的第一个数字到倒数第二个数字，逐个检查：若某一位上的数字大于他的下一位，则将它与它的下一位交换。
重复2号步骤，直至再也不能交换。
冒泡排序的平均时间复杂度与插入排序相同，也是平方级的，但也是非常容易实现的算法。
选择排序
选择排序是这样实现的：
设数组内存放了n个待排数字，数组下标从1开始，到n结束。
i=1
从数组的第i个元素开始到第n个元素，寻找最小的元素。
将上一步找到的最小元素和第i位元素交换。
如果i=n－1算法结束，否则回到第3步
选择排序的平均时间复杂度也是O(n²)的。
快速排序
现在开始，我们要接触高效排序算法了。实践证明，快速排序是所有排序算法中最高效的一种。它采用了分治的思想：先保证列表的前半部分都小于后半部分，然后分别对前半部分和后半部分排序，这样整个列表就有序了。这是一种先进的思想，也是它高效的原因。因为在排序算法中，算法的高效与否与列表中数字间的比较次数有直接的关系，而"保证列表的前半部分都小于后半部分"就使得前半部分的任何一个数从此以后都不再跟后半部分的数进行比较了，大大减少了数字间不必要的比较。但查找数据得另当别论了。
堆排序
堆排序与前面的算法都不同，它是这样的：
首先新建一个空列表，作用与插入排序中的"有序列表"相同。
找到数列中最大的数字，将其加在"有序列表"的末尾，并将其从原数列中删除。
重复2号步骤，直至原数列为空。
堆排序的平均时间复杂度为nlogn,效率高（因为有堆这种数据结构以及它奇妙的特征，使得"找到数列中最大的数字"这样的操作只需要O(1)的时间复杂度，维护需要logn的时间复杂度），但是实现相对复杂（可以说是这里7种算法中比较难实现的）。
看起来似乎堆排序与插入排序有些相像，但他们其实是本质不同的算法。至少，他们的时间复杂度差了一个数量级，一个是平方级的，一个是对数级的。
平均时间复杂度
插入排序 O(n2)
冒泡排序 O(n2)
选择排序 O(n2)
快速排序 O(n log n)
堆排序 O(n log n)
归并排序 O(n log n)
基数排序 O(n)
希尔排序 O(n1.25)
冒泡排序
654
比如说这个，我想让它从小到大排序，怎么做呢？
第一步：6跟5比，发现比它大，则交换。564
第二步：5跟4比，发现比它大，则交换。465
第三步：6跟5比，发现比它大，则交换。456

G. 软件工程程序设计中几种常用算法的比较研究

摘要：在计算机科学领域中，软件工程程序设计是一项重要的研究内容，而程序设计的核心就是算法的选择，最佳的算法不仅能够降低程序唤搭拦的复和胡杂性，而且要能够达到程序设计的要求。在软件工程中对于程序设计算法的方法有很多种，该文主要对软件工程程序设计的几种常用算法进行比较研究，从而能够为软件工程程序设计提供一些参照条件。枝橘（剩余0字）

H. C语言中什么叫算法,算法在程序设计中的重要作用

一、什么是算法
算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。算法常常含有重复的步骤和一些比较或逻辑判断。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。
算法的时间复杂度是指算法需要消耗的时间资源。一般来说，计算机算法是问题规模n 的函困枝宴数f(n)，算法执行的时间的增长率与f(n) 的增长率正相关，称作渐进时间复杂度（Asymptotic Time Complexity）。时间复杂度用“O（数量级）”来表示，称为“阶”。常见的时间复杂度有： O（1）常数阶；O（log2n）对数阶；O（n）线性阶；O（n2）平方阶。
算法的空间复杂度是指算法需要消耗的空间资源。其计算和表示方法与时间复杂度类似，一般都用复杂度的渐近性来表示。同时间复杂度相比，空间复杂度的分析要简单得多。

二、算法设计的方法
1.递推法
递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。设要求问题规模为N的解，当N=1时，解或为已知，或能非常方便地得到解。能采汪银用递推法构造算法的问题有重要的递推性质，即当得到问题规模为i-1的解后，由问题的递推性质，能从已求得的规模为1，2，…，i-1的一系列解，构造出问题规模为I的解。这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地，由已知至i-1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至得到规模为N的解。
【问题】 阶乘计算
问题描述：编写程序，对给定的n（n≤100），计算并输出k的阶乘k！（k=1，2，…，n）的全部有效数字。
由于要求的整数可能大大超出一般整数的位数，程序用一维数组存储长整数，存储长整数数组的每个元素只存储长整数的一位数字。如有m位成整数N用数组a[ ]存储：
N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100
并用a[0]存储长整数N的位数m，即a[0]=m。按上述约定，数组的每个元素存储k的阶乘k！的一位数字，并从低位到高位依次存于数组的第二个元素、第三个元素……。例如，5！=120，在数组中的存储形式为：
3 0 2 1 ……
首元素3表示长整数是一个3位数，接着是低位到高位依次是0、2、1，表示成整数120。
计算阶乘k！可采用对已求得的阶乘(k-1)！连续累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，计算5！，可对原来的24累加4次24后得到120。细节见以下程序。
# include <stdio.h>
# include <malloc.h>
......
2.递归
递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。
能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。
【问题】 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。
斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n>1时）。
写成递归函数有：
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算搭侍fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。
在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。
在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。
由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。
【问题】 组合问题
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1
（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1
（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1
（10）3、2、1
分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。
【程序】
# include <stdio.h>
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
}
}

void main()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
3.回溯法
回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

【问题】 组合问题
问题描述：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。
采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：
（1） a[i+1]>a，后一个数字比前一个大；
（2） a-i<=n-r+1。
按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：
首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下：
【程序】
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int r)
{ int i,j;
i=0;
a=1;
do {
if (a-i<=m-r+1
{ if (i==r-1)
{ for (j=0;j<r;j++)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
a++;
continue;
}
else
{ if (i==0)
return;
a[--i]++;
}
} while (1)
}

main()
{ comb(5,3);
}

4.贪婪法
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。
【问题】 装箱问题
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下：
{ 输入箱子的容积；
输入物品种数n；
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积；
预置已用箱子链为空；
预置已用箱子计数器box_count为0；
for (i=0;i<n;i++)
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j；
if （已用箱子都不能再放物品i）
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子；
box_count++；
}
else
将物品i放入箱子j；
}
}
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。
}

5.分治法
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模N有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算；n=2时，只要作一次比较即可排好序；n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
如果原问题可分割成k个子问题（1<k≤n），且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
（2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
（3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
（4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
（1）分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
（2）解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
（3）合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
6.动态规划法
经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。
为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。以下先用实例说明动态规划方法的使用。
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列
问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
代码如下：
# include <stdio.h>
# include <string.h>
# define N 100
char a[N],b[N],str[N];

int lcs_len(char *a, char *b, int c[ ][ N])
{ int m=strlen(a), n=strlen(b), i,j;
for (i=0;i<=m;i++) c[0]=0;
for (i=0;i<=n;i++) c[0]=0;
for (i=1;i<=m;i++)
for (j=1;j<=m;j++)
if (a[i-1]==b[j-1])
c[j]=c[i-1][j-1]+1;
else if (c[i-1][j]>=c[j-1])
c[j]=c[i-1][j];
else
c[j]=c[j-1];
return c[m][n];
}

char *buile_lcs(char s[ ],char *a, char *b)
{ int k, i=strlen(a), j=strlen(b);
k=lcs_len(a,b,c);
s[k]=’’;
while (k>0)
if (c[j]==c[i-1][j]) i--;
else if (c[j]==c[j-1]) j--;
else { s[--k]=a[i-1];
i--; j--;
}
return s;
}

void main()
{ printf (“Enter two string（<%d）!\n”,N);
scanf(“%s%s”,a,b);
printf(“LCS=%s\n”,build_lcs(str,a,b));
}
7.迭代法
迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：
（1） 选一个方程的近似根，赋给变量x0；
（2） 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；
（3） 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为：
程序如下：
【算法】迭代法求方程组的根
{ for (i=0;i<n;i++)
x=初始近似根;
do {
for (i=0;i<n;i++)
y = x;
for (i=0;i<n;i++)
x = gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)
if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)； } while (delta>Epsilon)；
for (i=0;i<n;i++)
printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”，I，x)；
printf(“\n”)；
} 具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：
（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；
（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
8.穷举搜索法
穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，并从众找出那些符合要求的候选解作为问题的解。
【问题】 将A、B、C、D、E、F这六个变量排成如图所示的三角形，这六个变量分别取[1，6]上的整数，且均不相同。求使三角形三条边上的变量之和相等的全部解。如图就是一个解。
程序引入变量a、b、c、d、e、f，并让它们分别顺序取1至6的整数，在它们互不相同的条件下，测试由它们排成的如图所示的三角形三条边上的变量之和是否相等，如相等即为一种满足要求的排列，把它们输出。当这些变量取尽所有的组合后，程序就可得到全部可能的解。程序如下：
按穷举法编写的程序通常不能适应变化的情况。如问题改成有9个变量排成三角形，每条边有4个变量的情况，程序的循环重数就要相应改变。

I. 求PASCAL的算法

学习计算机语言不是学习的最终目的。语言是描述的工具，如何灵活地运用语言工具，设计和编写能解决实际问题的程序，算法是程序设计的基础。算法的作用是什么呢？着名数学家高斯（GAUSS）从小就勤于思索。1785年，刚上小学二年级的小高斯，对老师出的计算题S=1+2+3+…+99+100，第一个举手报告S的结果是5050。班上的同学都采用依次逐个相加的“算法”，要相加99次;而小高斯则采用首尾归并，得出S=（1+100）*50的“算法”，只需加一次和乘一次，大大提高了效率。可见，算法在处理问题中的重要性。学习计算机编程，离不开基本算法。刚开始学习程序设计时，就应注重学习基本算法。
第一节 递推与递归算法

递推和递归是编程中常用的基本算法。在前面的解题中已经用到了这两种方法，下面对这两种算法基本应用进行详细研究讨论。

一、递推
递推算法是一种用若干步可重复的简单运算（规律）来描述复杂问题的方法。

[例1] 植树节那天，有五位参加了植树活动，他们完成植树的棵数都不相同。问第一位同学植了多少棵时，他指着旁边的第二位同学说比他多植了两棵；追问第二位同学，他又说比第三位同学多植了两棵；…如此，都说比另一位同学多植两棵。最后问到第五位同学时，他说自己植了10棵。到底第一位同学植了多少棵树？
解：设第一位同学植树的棵数为a1，欲求a1，需从第五位同学植树的棵数a5入手，根据“多两棵”这个规律，按照一定顺序逐步进行推算：
①a5=10;
②a4=a5+2=12;
③a3=a4+2=14;
④a2=a3+2=16;
⑤a1=a2+2=18;
Pascal程序：
Program Exam1;
Var i, a: byte;
begin
a:=10; {以第五位同学的棵数为递推的起始值}
for i :=1 to 4 do {还有4人，递推察升计算4次}
a:= a+2; {递推运算规律}
writeln(’The Num is’, a);
readln
end.
本程序的递推运算可用如下图示描述：

递推算法以初始{起点}值为基础，用相同的运算规律，逐次重复运算，直至运算结束。这种从“起点”重复相同的方法直至到达一定“边界”，犹如单向运敏凳动，用循环可以实现。递推的本质是按规律逐次推出（计算）下一步的结果。
二、递归
递归算法是把处理问题的方法定义成与原问题处理方法相同的过程，在处理问题的过程中又调用自身定义的函数或过程。
仍用上例的计算植树棵数问题来说明递归算法：
解：把原问题求第一位同学在植树棵数a1，转化为a1=a2+2;即求a2；而求a2又转化为a2=a3+2; a3=a4+2; a4=a5+2;逐层转化为求a2,a3,a4,a5且都采用与求a1相同的方法；最后的a5为已知,则用a5=10返回到上一层并代入计算出a4；又用a4的值代入上一层去求a3;...,如此,直到求出a1。
因此：

其中求a x+1 又采用求ax 的方法。所以:
①定义一个处理问题的过程Num(x)：如果X < 5就递归调用过程Num(x+1);
②当递归调用到达一定条件(X=5)，就直接执行a :=10，再执桥没旅行后继语句，遇End返回到调用本过程的地方，将带回的计算结果(值)参与此处的后继语句进行运算（a:=a+2）;
③最后返回到开头的原问题，此时所得到的运算结果就是原问题Num(1)的答案。
Pascal程序：
Program Exam1_1;
Var a: byte;
Procere Num(x: integer);{过程Num(x)求x的棵数｝
begin
if x=5 then a:=10
else begin
Num(x+1); ｛递归调用过程Num(x+1)｝
a:=a+2 {求(x+1)的棵数｝
end
end;
begin
Num(1); ｛主程序调用Num(1)求第1个人的棵数｝
writeln(’The Num is ’, a);
readln
end.
程序中的递归过程图解如下：

参照图示，递归方法说明如下：
①调用原问题的处理过程时，调用程序应给出具体的过程形参值（数据）;
②在处理子问题中，如果又调用原问题的处理过程，但形参值应是不断改变的量(表达式）;
③每递归调用一次自身过程，系统就打开一“层”与自身相同的程序系列;
④由于调用参数不断改变，将使条件满足（达到一定边界），此时就是最后一“层”，不需再调用（打开新层），而是往下执行后继语句，给出边界值，遇到本过程的END，就返回到上“层”调用此过程的地方并继续往下执行;
⑤整个递归过程可视为由往返双向“运动”组成，先是逐层递进，逐层打开新的“篇章”，（有可能无具体计算值）当最终递进达到边界，执行完本“层”的语句，才由最末一“层”逐次返回到上“层”，每次返回均带回新的计算值，直至回到第一次由主程序调用的地方，完成对原问题的处理。
[例2] 用递归算法求X n 。
解：把X n 分解成: X 0 = 1 ( n =0 )
X 1 = X * X 0 ( n =1 )
X 2 = X * X 1 ( n >1 )
X 3 = X * X 2 ( n >1 )
…… ( n >1 )
X n = X * X n-1 ( n >1 )
因此将X n 转化为：

其中求X n -1 又用求X n 的方法进行求解。
①定义过程xn(x,n: integer)求X n ;如果n >1则递归调用xn (x, n-1) 求X n—1 ;
②当递归调用到达n=0，就执行t t :=1, 然后执行本“层”的后继语句;
③遇到过程的END就结束本次的调用，返回到上一“层”调用语句的地方，并执行其后续语句tt:=tt*x;
④继续执行步骤③，从调用中逐“层”返回，最后返回到主程序，输出tt的值。
Pascal程序：
Program Exam2;
Var tt, a, b: integer;
Procere xn(x, n: integer); ｛过程xn(x, n)求xn ｝
begin if n=0 then tt:=1
else begin
xn(x, n-1); ｛递归调用过xn(x,n-1)求x n-1｝
tt:=tt*x
end;
end;
begin
write(’input x, n:’); readln(a,b); ｛输入a, b｝
xn(a,b); ｛主程序调用过程xn(a, b)求a b｝
writeln(a, ’^’, b, ’=‘, tt);
readln
end.
递归算法，常常是把解决原问题按顺序逐次调用同一“子程序”(过程)去处理，最后一次调用得到已知数据，执行完该次调用过程的处理，将结果带回，按“先进后出”原则，依次计算返回。
如果处理问题的结果只需返回一个确定的计算值，可定义成递归函数。

[例3]用递归函数求x!
解：根据数学中的定义把求x! 定义为求x*(x-1)! ,其中求(x-1)! 仍采用求x! 的方法，需要定义一个求a！的过程或函数，逐级调用此过程或函数，即：
(x-1)!= (x-1)*(x-2)! ;
(x-2)!= (x-2)*(x-3)! ;
……
直到x=0时给出0!=1，才开始逐级返回并计算各值。
①定义递归函数：fac(a: integer): integer;
如果a=0，则fac:=1;
如果a>0，则调用函数fac:=fac(a-1)*a;
②返回主程序，打印fac(x)的结果。
Pascal程序：
Program Exam3;
Var x: integer;
function fac(a: integer): integer; ｛函数fac(a) 求a !｝
begin
if a=0 then fac:=1
else fac:=fac(a-1)*a ｛函数fac(a-1)递归求(a-1) !｝
end;
begin
write(’input x’); readln(x);
writeln(x, ’!=’, fac(x)); ｛主程序调用fac(x) 求x !｝
readln
end.
递归算法表现在处理问题的强大能力。然而，如同循环一样，递归也会带来无终止调用的可能性，因此，在设计递归过程（函数）时，必须考虑递归调用的终止问题，就是递归调用要受限于某一条件，而且要保证这个条件在一定情况下肯定能得到满足。

[例4]用递归算求自然数A，B的最大公约数。
解：求最大公约数的方法有许多种，若用欧几里德发明的辗转相除方法如下：
①定义求X除以Y的余数的过程;
②如果余数不为0，则让X=Y，Y=余数，重复步骤①，即调用过程;
③如果余数为0，则终止调用过程;
④输出此时的Y值。
Pascal程序：
Program Exam4;
Var a,b,d: integer;
Procere Gdd(x, y: nteger);{过程}
begin
if x mod y =0 then d :=y
else Gdd(y, x mod y) {递归调用过程}
end;
begin
write(’input a, b=’); readln(a, b);
Gdd(a, b);
writeln(’(’, a, ’,’, b, ’)=’, d );
readln
end.
简单地说，递归算法的本质就是自己调用自己，用调用自己的方法去处理问题，可使解决问题变得简洁明了。按正常情况有几次调用，就有几次返回。但有些程序可以只进行递归处理，不一定要返回时才进行所需要的处理。

[例5] 移梵塔。有三根柱A，B，C在柱A上有N块盘片，所有盘片都是大的在下面，小片能放在大片上面。现要将A上的N块片移到C柱上，每次只能移动一片，而且在同一根柱子上必须保持上面的盘片比下面的盘片小，请输出移动方法。
解：先考虑简单情形。
如果N=3，则具体移动步骤为：

假设把第3步，第4步，第6步抽出来就相当于N=2的情况（把上面2片捆在一起，视为一片）：

所以可按“N=2”的移动步骤设计：
①如果N=0，则退出，即结束程序;否则继续往下执行;
②用C柱作为协助过渡，将A柱上的（N-1）片移到B柱上，调用过程sub(n-1, a,b,c);
③将A柱上剩下的一片直接移到C柱上;
④用A柱作为协助过渡，将B柱上的（N-1）移到C柱上，调用过程sub(n-1,b,c,a)。

Pascal程序：
Program Exam65;
Var x,y,z : char;
N, k : integer;
Procere sub(n: integer; a, c , b: char);
begin
if n=0 then exit;
sub(n-1, a,b,c);
inc(k);
writeln(k, ’: from’, a, ’--＞’, c);
sub(n-1,b,c,a);
end;
begin
write(’n=’; readln(n);
k:=0;
x:=’A’; y:=’B’; Z:=’C’;
sub(n,x,z,y);
readln
end.
程序定义了把n片从A柱移到C柱的过程sub(n,a,c,b)，这个过程把移动分为以下三步来进行：
①先调用过程sub(n-1, a, b, c)，把(n-1)片从A柱移到B柱, C柱作为过渡柱;
②直接执行 writeln(a, ’--＞’, c），把A柱上剩下的一片直接移到C柱上，;
③调用sub(n-1,b,c,a)，把B柱上的(n-1)片从B移到C柱上，A柱是过渡柱。
对于B柱上的(n-1)片如何移到，仍然调用上述的三步。只是把(n-1)当成了n，每调用一次，要移到目标柱上的片数N就减少了一片，直至减少到n=0时就退出，不再调用。exit是退出指令，执行该指令能在循环或递归调用过程中一下子全部退出来。

习题6.1
1.过沙漠。希望一辆吉普车以最少的耗油跨越1000 km的沙漠。已知该车总装油量500升，耗油率为1升/ km，必须利用吉普车自己沿途建立临时加油站，逐步前进。问一共要多少油才能以最少的耗油越过沙漠？
2.楼梯有N级台阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上二阶。编一递归程序，计算共有多少种不同走法？
提示：如N级楼梯有S(N)种不同走法，则有：
S(N)=S(N-2)+S(N-1)
3.阿克曼(Ackmann)函数A(x,y)中，x,y定义域是非负整数，函数值定义为：
A(x,y)=y+1 (x = 0)
A(x,0)=A(x-1,1) (x > 0, y = 0)
A(x,y)=A(x-1, A(x, y-1)) (x, y > 0)
设计一个递归程序。
4.某人写了N封信和N个信封，结果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封共有多少种不同情况。可用下面公式：
Dn=(n—1) ( D n—1+D n—2)
写出递归程序。

第二节 回溯算法

在一些问题求解进程中，有时发现所选用的试探性操作不是最佳选择，需退回一步，另选一种操作进行试探，这就是回溯算法。

例[6.6] 中国象棋半张棋盘如下，马自左下角往右上角跳。现规定只许往右跳，不许往左跳。比如下图所示为一种跳行路线。编程输出所有的跳行路线，打印格式如下：
<1> (0,0)—(1,2)—(3,3)—(4,1)—(5,3)—(7,2)—(8,4)

解：按象棋规则，马往右跳行的方向如下表和图所示：

水平方向用x表示; 垂直方向用y表示。右上角点为x=8, y=4, 记为(8, 4) ; 用数组tt存放x方向能成行到达的点坐标;用数组t存放y方向能成行到达的点坐标;
①以(tt(K), t(k))为起点，按顺序用四个方向试探，找到下一个可行的点(x1, y1);
②判断找到的点是否合理 (不出界)，若合理，就存入tt和t中;如果到达目的就打印，否则重复第⑴步骤;
③如果不合理，则换一个方向试探，如果四个方向都已试过，就退回一步(回溯)，用未试过的方向继续试探。重复步骤⑴;
④如果已退回到原点，则程序结束。
Pascal程序：
Program Exam66;
Const xx: array[1..4] of 1..2 =(1,2,2,1);
yy: array[1..4] of -2..2=(2,1,-1,-2);
Var p: integer;
t, tt : array[0..10] of integer;
procere Prn(k: integer);
Var i: integer;
Begin
inc(p); write(‘< ‘, p: 2, ’ > ‘, ’ ‘:4, ’0,0’);
for i:=1 to k do
write(‘— ( ‘, tt[ I ], ’ , ’, t[ I ], ’)’ );
writeln
End;
Procere Sub(k: integer);
Var x1, y1, i: integer;
Begin
for I:=1 to 4 do
Begin
x1:=tt[k-1]+xx[ i ]; y1:=t[k-1]+yy[ i ];
if not( (x1 > 8) or (y1 < 0) or (y1 > 4) ) then
Begin
tt[k]:=x1; t[k]=y1;
if (y1=4) and (x1=8) then prn(k);
sub(k+1);
end;
end;
end;
Begin
p:=0; tt[0]:=0; t[0]:=0;
sub(1);
writeln( ‘ From 0,0 to 8,4 All of the ways are ’, p);
readln
end.

例[6.7] 输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列。
解：①在1～n间选择一个数，只要这个数不重复，就选中放入a数组中;
②如果这个数巳被选中，就在d数组中作一个被选中的标记 (将数组元素置1 );
③如果所选中的数已被占用（作了标记），就另选一个数进行试探;
④如果未作标记的数都已试探完毕，那就取消最后那个数的标记，退回一步，并取消这一步的选数标记，另换下一个数试探，转步骤①;
⑤如果已退回到0，说明已试探全部数据，结束。
Pascal程序：
Program Exam67;
Var p,n: integer;
a,d: array[1..500] of integer;
Procere prn (t : integer);
Var i: integer;
Begin
write(‘ < ‘, p:3, ’ > ‘, ’ ‘:10);
for I:=1 to t do
write(a[ I ]:4);
writeln;
end;
Procere pp(k: integer);
var x: integer;
begin
for x:=1 to n do
begin
a[k]:=x; d[x]:=1;
if k < n then pp(k+1)
else
begin
p:=p+1;
prn(k);
end;
end;
end;
Begin
write(‘Input n=‘); readln(n);
for p:=1 to n do d[p]=0;
p:=0;
pp(1);
writeln(‘All of the ways are ‘, p:6);
End.

例[6.8] 设有一个连接n个地点①—⑥的道路网，找出从起点①出发到过终点⑥的一切路径，要求在每条路径上任一地点最多只能通过一次。

解：从①出发，下一点可到达②或③，可以分支。具体步骤为：
⑴假定从起点出发数起第k个点Path[k]，如果该点是终点n就打印一条路径;
⑵如果不是终点n，且前方点是未曾走过的点，则走到前方点，定(k+1)点为到达路径，转步骤⑴;
(3)如果前方点已走过，就选另一分支点;
(4)如果前方点已选完，就回溯一步，选另一分支点为出发点;
(5)如果已回溯到起点，则结束。
为了表示各点的连通关系，建立如下的关系矩阵：

第一行表示与①相通点有②③，0是结束 标志;以后各行依此类推。

集合b是为了检查不重复点。

Program Exam68;
const n=6;
roadnet: array[1..n, 1..n] of 0..n=( (2,3,0,0,0,0),
(1,3,4,0,0,0),
(1,2,4,5,0,0),
(2,3,5,6,0,0),
(3,4,6,0,0,0),
(4,5,0,0,0,0) );
var b: set of 1..n;
path: array[1..n] of 1..n;
p: byte;
procere prn(k: byte);
var i: byte;
begin
inc(p); write(’<’, p:2, ’>’, ’ ’:4);
write (path[1]:2);
for I:=2 to k do
write (’--’, path[ i ]:2);
writeln
end;
procere try(k: byte);
var j: byte;
begin
1 2 3 4 5
6 X 8 9 10
11 12 13 14 15
j:=1;
repeat
path[k]:=roadnet [path [k-1], j ];
if not (path [k] in b) then
begin b:=b+[path [k] ];
if path [k]=n then prn (k)
else try(k+1);
b:=b-[path [k] ];
end;
inc(j);
until roadnet [path [k-1], j ]=0
end;
begin
b:=[1]; p=0; path[1]:=1;
try(2);
readln
end.

习题[6.2]
1. 有A,B,C,D,E五本书，要分给张、王、刘、赵、钱五位同学，每人只能选一本。事先让每个人将自己喜爱的书填写在下表中。希望你设计一个程序，打印分书的所有可能方案，当然是让每个人都能满意。
A B C D E
张 Y Y
王 Y Y Y
刘 Y Y
赵 Y

钱 Y Y

2. 右下图所示的是空心框架,它是由六个单位正方体组成,问:从框架左下外顶点走到右上内顶点共有多少条最短路线?

3.城市的街道示意图如右:问从甲地去到乙地可以有多少条最短路线?

4.有M×N张(M行, N列)邮票连在一起,
但其中第X张被一个调皮的小朋友控掉了。上图是3×5的邮票的形状和编号。从这些邮票中撕出四张连在一起的邮票,问共有多少种这样四张一组的邮票?注:因为给邮票编了序号,所以1234和2345应该看作是不同的两组。
5.有分数12 ，13 ，14 ，15 ，16 ，18 ，110 ，112 ，115 ， 求将其中若干个相加的和恰好为1的组成方案，并打印成等式。例如：
<1> 12 +13 +16 = 1
<2> ...
6.八皇后问题。在8*8的国际象棋盘上摆上8个皇后。要求每行，每列，各对角线上的皇后都不能互相攻击，给出所可能的摆法。

J. 常用的算法表示形式有哪些

算法的常用表示方法有三种：

1、使用自然语言描述算法；

2、使用流程链派图描述算法；

3、使用伪代码描述算法。

算法是指对解决方案的准确、完整的描述，是解决问题的一系列清晰的指令。该算法代表了描述解决问题的策略和机制的系统方式。也就是说，对于某个标准输入，可以在有限的时间内获得所需的输出。

如果一个算法有缺陷或不适合某个问题，执行该算法将无法解决该问题。不同的算法可能使用棚做贺不同的时间、空间或效率来完成相同的胡迹任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度和时间复杂度来衡量。