数学归纳法又叫什么

❶ 什么是数学归纳法

数学归纳法（Mathematical
Inction,
MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。
在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

❷ 什么叫数学归纳法

概述 数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。 编辑本段 基本步骤 （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n）， （1）验证n=n0时P(n）成立； （2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （三）倒推归纳法（反向归纳法）： （1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）； （2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立， 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立； （四）螺旋式归纳法 对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n）， （1）验证n=n0时P(n）成立； （2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立； 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。 编辑本段 应用 （1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。 （2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。 （3）证明数列前n项和与通项公式的成立。 （4）证明和自然数有关的不等式。 编辑本段 变体及应用 在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。 从0以外的数字开始 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改： 第一步，证明当n=b时命题成立。第二步，证明如果n=m(m≥b）成立，那么可以推导出n=m+1也成立。 用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。 针对偶数或奇数 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改： 奇数方面： 第一步，证明当n=1时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。 偶数方面： 第一步，证明当n=0或2时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。 递降归纳法 数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。如果命题P(n）在n=1,2,3,......,t时成立，并且对于任意自然数k，由P(k),P(k+1）,P(k+2）,......,P(k+t-1）成立，其中t是一个常量，那么P(n）对于一切自然数都成立. 其它形式 如跳跃数学归纳法的定义 通常，跳跃数学归纳法的第二步总是由k推出,跨度为n 。但是并不是对于所有的问题都能解决. 编辑本段 合理性 数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。比如，由下面的公理可以推出数学归纳法原理： 自然数集是良序的。 注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。 编辑本段 历史 已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri o（1575年）。Maurolico利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成： 递推的基础：证明当n=1时表达式成立。 递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。 这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。 或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定： 第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与之相邻的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。 这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。 这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。 解题要点： 数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中， 第一步为：验证n取第一个自然数时成立 第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。 最后一步总结表述

❸ 数学归纳法是怎样用的数学归纳法什么时候不能用 什么时候不能用

我们都学过数学归纳法,非常精妙的一种数学方法,其主要用于证明某个命题在自然数范围内成立.大概步骤如下：
1：假设当n=1时命题成立；
2：证明如果在n=m时成立,那么可以推导n=m+1时命题也成立.
3：从而可以证明此命题成立.
这就是我们常见的数学归纳法.名叫第一归纳法.事实上,数学归纳法可不止这一种形式,他有多种变体,除了我们可以从n=3等开始,或者是只考虑n为奇数偶数等,还有下面的完整归纳法：
1：证明当n=1,2,……,k时命题p(n)成立
2：证明p(m),p(m+1),p(m+2)……,p(m+k-1)成立,能推导出p(m+k)成立.从而证明此命题成立.也就是将第一归纳法里的一个推一个换成多个推一个.我们以一个例子,那就是证明菲波拉契数列的通项公式：
证明：当n=1,2时,可以检验其成立.
假设当n=k和n=k+1时命题皆成立,即：
从而证明了这个通项公式的正确.关于数学归纳法的内容,远不止我们中学所学的那么点.就此一例,希望能让各位同学打开自己的眼界,去探寻真正的数学王国.

❹ 什么是数学归纳法,能举例吗

一楼完全将归纳法的思想方法搞错了。

数学归纳法(Mathematical Inction)是：
先验证，后假设，再归纳。

具体的方法就是
1、根据已知的表达式进行验证，通常是验证第一项；
2、假设到第n项也成立；
3、推广到第(n+1)项。

举例如下：
试用归纳法证明：
1²+2²+3²+4²+.......+n²=n(n+1)(2n+1)/6
证明：
当n=1时，1²=1
1×(1+1)(2+1)/6=1
∴n=1时，1²+2²+3²+4²+.......+n²=n(n+1)(2n+1)/6 成立

假设n=k时，1²+2²+3²+4²+.......+k²=k(k+1)(2k+1)/6 也成立

1²+2²+3²+4²+.......+k²+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²
=[(k+1)/6]×[k(2k+1)+6(k+1)]
=[(k+1)/6]×(2k²+7k+6)
=[(k+1)/6]×(k+2)(2k+3)
=[(k+1)/6]×[(k+1)+1]×[2(k+1)+1]
=(k+1)×[(k+1)+1]×[2(k+1)+1]/6
证明完毕！

说明：
第二步的假设是，级数的最后一项是k²,等式后面对应的是k;
第三步的级数最后一项是(k+1)²,等式右边对应的是(k+1).
这说明，k=1成立，k+1变成了2，2也成立
k=2成立，2+1变成了3，3也成立。。。。。都成立。

记住：归纳法的公式是用其他方法得出的，不是如楼上讲的找出规律！
归纳法是先有了结论，这个结论甚至可能是猜出来的，都没有关系。

平时的数学是演绎法(dece)，是可以递推的。归纳法正好相反，不可以递推，
所以称为归纳，归纳到一个表达式中，归纳到一个方法中。

³

❺ 什么是数学归纳法 与完全归纳法 不完全归纳法有什么区别

数学归纳法是完全归纳法的一种。是严谨的数宏旁学证明。它的主要思想有两个步骤，1、证明n=1时命题正确。2、假设当n=k是命题正确，以此来推导n=k+1时命闷郑题正确。这样对于一切自然数，命题都正确了。1可以推得2，2可以推得3，以此类推。
而不蔽罩橡完全归纳法则只能证明n取其中某些数字时命题正确，没有证明对于所有的自然数都正确。

❻ 数学归纳法是什么

数学归纳法就是一种证明方式。

通过过归纳，可以使杂乱无章的数学条理化，使大量的数学系统化。归纳是在比较的基础上进行的。通过比较，找出数学间的相同点和差异点，然后把具有相同点的数学归为同一类，把具有差异点的数学分成不同的类。最终达到数学上的证明。

(6)数学归纳法又叫什么扩展阅读：

数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：

自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）；比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1。

下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：

对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。

对于那备型些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S，所以k>1）

k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对手仔k也应该成立，这与毕滚汪我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。