A. 怎样把握数学教学的几个核心问题心得
随着基础教育课程改革的不断深入，人们越来越关注学生素质的培养。就数学学科而言，更关注学生的数学素养的提高，特别是有关数学核心素养的问题更引起广泛的讨论。如何理解数学核心素养，数学核心素养与数学基本思想、数学思想方法等之间的关系如何，本文试对这些问题谈一谈自己的理解。
一、对数学核心素养的理解
数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性能力。数学核心素养是数学的教与学过程应当特别关注的基本素养。《义务教育数学课程标准（2011年版）》(以下简称《标准》）明确提出10个核心素养，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。在《〈义务教育数学课程教准（2011年版)〉解读》等一些材料中，曾把这些表述称为核心概念，但严格意义上讲，把这些表述称为"概念"并不合适，它们是思想、方法或者关于数学的整体理解与把握，是学生数学素养的表现。因此，把这10个表述称为数学核心素养是恰当的。数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力。核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性和持久性。数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。
"数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，作出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。"[1]可见，数学素养是人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。人们所遇到的问题可能是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养的人可以从数学的角度看待问题，可以用数学的思维方法思考问题，可以用数学的方法解决问题。比如，人们在超市购物时常常发现这样的情境，收银台前排了长长的队等待结账，而只买一两样东西的人也同样和买多样东西的人排队等候。有位数学家看到这种情境马上想到，能否考虑为买东西少的人单独设一个出口，这样可以免去这些人长时间地等候，会大大提高效率。那么问题就出现了，什么叫买东西少，1件、2件、3件或4件，上限是多少？设定不同件数会对收银的整体情况产生什么影响？因此，会想到用统计的方法，收集不同时段买不同件数东西人的数量，用这个数据可以帮助人们作出判断。在这个过程中，至少从两个方面反映面对这样的情境，具有一定的数学素养有助于帮助人们提出问题和解决问题。首先是数感，具有数感的人会有意识地把一些事情与数和数量建立起联系，认识到排队结账这件事中有数学问题，人们买东西的数量(个数）与结账的速度有关系。买很少的东西也同样排很长时间队，一方面会显得交款处排很长的队，另一方面这些只买很少东西的人在心理上会产生焦虑。其次是数据分析观念，解决这个问题时需要数据分析观念，用具体的数据说话会有说服力地解决这个问题。从这个例子中可以了解到，具备数学素养可能有助于人们在具体的情境中发现问题、提出问题和解决问题。而这个情境本身可能并非有明显的数学问题。
《标准》提出的这些数学核心素养一般与一个或几个学习领域内容有密切的关系。某些核心素养与单一的学习领域内容相关。例如，数感、符号意识、运算能力与"数与代数"领域直接相关。在学习数的认识、数的运算、字母表示数等内容时与这些核心素养直接联系。数的认识的学习过程有利于形成学生的数感，数感的建立有助于学生对数的理解和把握。空间观念与"图形与几何"领域密切相关。学习图形的认识和图形的关系等内容应注重学生空间观念的发展。学生探索一个正方体有多少个面，怎样求易拉耀的表面积等内容时都需要空间观念的支撑。数据分析观念与"统计与概率"领域直接相关，数据的收集、整理、呈现和判断的整体过程是形成学生的数据分析观念的过程。
有些核心素养与几个领域都有密切的关系，不直接指向某个单一的领域，包括几何直观、推理能力和模型思想。几何直观在学习图形与几何、数与代数等领域的内容时都会用到。在解决具体数学问题时，可以采用画图的方法帮助理解数与代数问题中的数量关系。推理能力在几个领域的学习中都会用到。推理在几何中经常运用，特别是初中阶段的平面几何的证明。在数与代数中也常常用到推理。在小学数学教学中归纳是常用的思维方式。演绎也会经常用到，最简单的在表述一些运算的算理时，其实用到了演择推理的方法。如在学习"20以内退位减法"时，"看减法，想加法"是用加减之间互为逆运算的方法来算的。而这个过程通常表述为，"因为9+6=15,所以15-9=6"，这里事实上没有把"加减之间互为逆运算"这个大前提表述出来，加上这个大前提就是一个完整的演绎推理的过程。
模型思想同样在"数与代数""图形与几何"以及"统计与概率"中都会用到。如"时、分、秒"可以从建立时间模型的角度理解。方程的学习更是一个建模的过程。数轴和直角坐标系都是刻画空间位置的模型。"最简单的一维几何模型是一条线，如果在线上标出原点、单位、方向，则称这样的线为数轴。”
"实践意识"与"创新意识"具有综合性、整体性，在"综合与实践"领域中有突出的表现，但不局限于这个方面的内容，应当是贯穿整个小学数学教育全过程。
二、数学核心素养的特征
按照上述对数学核心素养的理解，数学核心素养具有综合性、阶段性和持久性的特征。
我们不妨用一个与"几何直观"有关的例子来说明数学核心素养的几个特征。在2013年第十一届全国小学数学观摩课中一节"分数乘法"的教学中，要解决的问题是"每小时织围巾1/5米，1/2小时织多少米？"。教师引导学生用画图的方法解决1/5*1/2=。教师引导学生："如果用一个长方形表示1米长的围巾，我们应该先画什么，再画什么?"学生2人一组画图表示这一数量关系。然后展示学生的不同表示方法。其中有两种典型的方法如下：
两种方法的不同在于第二步，方法1在第二次分的时候仍然是按第一次分的同样方式把一个小长方形平均分成2份；方法2却用画一条小横线的方式来分。两种方法看起来没有差别，但当教师问：为什么得到的结果是1/10的时候，第2种方法就显得比第1种方法更清楚。一个男生说了一句关键性的话"加一个辅助线"，形成下面的情况。
在这个图中可—地看到1/5的1/2是1/10，也就,1/5*1/2=1/10.
借助上面的案例，我们来分析数学核心素养的特征。
首先是综合性。综合性是指数学核心素养是数学基础知识、基本能力、数学思考和数学态度等的综合体现。数学基础知识和基本能力可以看等的综合体现。数学基础知识和基本能力可以看作数学核心素养的外显表现。在上面用几何直观表示分数乘法的过程中，需要运用分数的意义、乘法的意义、乘法运算、用图表示分数等基础知识和基本技能。同时，学生要思考用什么样的方式可以更好地表示出这样一种数量关系。这是一种综合的能力。核心素养总是基于数学的基础知识和基本能力实现的，并且外化于运用基础知识和基本能力解决问题的过程。同时，数学核心素养也促进数学基础知识的深刻理解和数学基本能力的提升。数学思考与数学态度作为数学核心素养的内隐特质。核心素养的形成需要对数学内部和数学外部之间的各种关系进行深入理解和综合运用，在这个过程中，数学的思考能力和思考方式以及数学态度起着重要作用，而这种作用往往不是直接看到的，是内隐于解决问题过程之中的。在上面的例子中，教师已经事先提示学生，用一个长方形表示一个1米长的围巾，并事先准备好长方形纸，让学生来做，以及提示学生先画什么，再画什么。如果教师不用这样的提示，可能学生会作出各种不同的几何直观的表示方式。这会显示出学生不同的思考方式和学习数学过程中的态度。
其次是阶段性。阶段性是指学生的数学核心素养表现为不同层次水平、不同阶段。在上面的例子中，学生用不同的方式表现分数乘法的过程。分一个长方形的方式和顺序不同，表现了学生运用几何直观的不同水平。五年级的学生可以在一个图中表示出两种不同的数量关系，并理解它们之间的联系。而低年级的学生可能达不到这种水平。在一个图中只表达一种数量关系。到了初中，学生可以用更复杂的方式表达数量关系，几何直观的水平会更高。这反映了几何直观的不同阶段。数学核心素养的水平和层次划分，是一个复杂的问题，不同的核心素养也有各自的特点。这将是一个值得深入研究的问题。
最后是持久性。持久性是指数学核心素养的培养不仅有助于学生对数学知识的理解与把握，还是伴随学生进一步学习，以及将来走向生活和工作的历程。在上面的例子中，运用图表等直观的形式表达复杂数量关系的能力，作为学生的数学素养，可以一直伴随他的学习和生活。学生到中学、大学，乃至走向生活和工作，也会有意识地运用几何直观的方式解决问题，包括数学问题和数学以外的问题。这体现了这一核心素养的持久性。
三、数学核心素养与相关概念的关系
与数学核心素养有着密切关系的还有数学基本思想、数学思想方法等概念。按照上述对数学核心素养的理解，我们可以尝试分析这几个概念之间的关系。
数学基本思想是《标准》提出的"四基"之一，也义务教育阶段学生应当达到的重要目标之一。数学基本思想是数学科学本质特征的反映，是数学科学的基石。史宁中认为，数学基本思想"是数学发展所依赖、所依靠的思想"。[3]数学基本思想是研究数学科学不可缺少的思想，也是学习数学，理解和掌握数学所应追求和达成的目标。"数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系"。[3]把抽象、推理和模型作为数学的基本思想与数学具有抽象性、严谨性和广泛的应用性的基本特征是一致的。抽象性就是抽象思想的体现，严谨性来自合乎逻辑的推理，广泛的应用性恰是通过建立数学模型使数学与现实中的问题建立联系，解决更广泛的实际问题。对于数学教育而言，了解数学科学发展所依赖的数学基本思想是必要的，也是最基本的目标。这体现了对数学学科的基本理解与把握，及对数学这门学科基本的思维方式的理解。
数学的思想方法是学习数学，特别是解决数学问题所运用的方法。这些方法一般来讲是具有一定的可操作性，同时反映数学的某些思想，不是一般意义上的具体方法。在数学学习和解决数学问题过程中，人们形成了一些重要的数学思想方法，如转换的思想方法、数形结合的思想方法、等量替换的思想方法、特殊化的方法、穷举的方法等。在小学数学教育中，经常运用这些思想方法解决一类数学问题。如用转换的思想方法学习平行四边形面积公式，将平行四边形转换成长方形，由长方形的面积=长*宽，得知平行四边形的面积=底边*高。用等量替换的方法解方程等。
从述的理解中，可以尝试分析这三个概念之间的关系。数学基本思想是统领整个数学和数学教育的思想，对于研究数学和学习数学的人都有重要指导意义。同样，数学基本思想对数学核心素养也是上位的具有指导性的。或者可以理解数学核心素养是数学基本思想在学习某一个或几个领域内容中的具体表现。数学思想方法则是体现如何从操作层面上实现数学核心素养和体现数学基本思想的方法或能力。
B. 如何提升数学核心素养
对于数学素养的解释，到目前为止还没有一个严格的、统一的定义。有人认为“数学素养”是人在先天基础上，受后天环境、数学教育等影响，所获得的数学知识技能、数学思想方法、数学能力、数学观念和数学思维品质等融于身心的一种比较稳定的心理状态。用南开大学顾沛教授的话说：“数学素养”就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西。 小学生的数学素养包括数感、符号意识、空间观念、统计观念、数学应用意识五种数学意识，数学思维、数学理解、数学交流、解决问题四种数学能力以及数学价值观的发展。 下面我从以下三个方面和大家谈谈我对培养学生数学素养的肤浅认识：一、用数学的视角去认识世界。二、用数学的方式去思考问题。三、用数学的方法解决问题。 首先看第一个方面：用数学的视角去认识世界——数学意识的培养。 什么是“数学意识”呢？举一个例子，假如学生会计算“48÷4”，说明学生具有除法的知识与技能。学生会解“有48个苹果，平均每人分4个苹果，可以分给多少人？”，说明学生具有一定的分析问题、解决问题的能力，但都不能说明学生具有数学意识。而在体育课上，48位学生在跳长绳，教师共准备了4根长绳，由此学生能想到“48÷4”这个算式，这就说明学生具有一定的数学意识了。 （一） 理解数的意义与数的联系，培养数感。 在北京自然博物馆有一块展板：“1983年初在东北地区进行的航行调查表明，在7000平方米的山林中仅发现两只老虎，因此东北虎被列为一级保护动物。”对外经贸大学的小杨认为:一个标准的操场都比7000平方米大。如果在7000平方米的范围里就有两只老虎，那么老虎的数量应该很多，怎么还会因此被列为一级保护动物呢？那为什么那么多的参观者对此说明都熟视无睹，而小杨却能发现其中的问题呢？一方面我认为小杨善于观察、思考，另一方面说明小杨有很好的数感。 “数感”，就是对数的本质的理解和感觉。数的本质是“多与少”或者“大与小”，从而过渡到数的顺序。有关“数感”问题我们可以追溯到动物的感知，比如说—条狗，它可能敢与一匹狼争斗，但如果有两匹狼它就会害怕，如果面对一群狼它就会逃跑。这说明动物也知道“多与少”。在《数：科学的语言》一书中记载了这样一件事：一只乌鸦在一家庄园的望楼顶上建了个鸟巢，庄园主对此很生气，决心杀死这只乌鸦。可是，每当庄园主走进望楼，乌鸦就离巢而去，直到庄园主走出望楼才回巢。庄园主就想了一个办法，他找来—个朋友，两人一起进去，然后走出一人，希望留下一个人去杀乌鸦，但是乌鸦并没有上当回巢。后来又三人进去两人出来，四人进去三人出来，依然如故。直到五人进去四人出来，乌鸦才分辨不清，回巢了。这说明乌鸦关于数的悟性至少可以分辨到4或5。如果人不会数数的话，能辨别到几呢?实验表明，人也只能辨别到4或5。由此可以推断，在数学方面，发明了计数之后，人类才与动物产生了本质的差异。有了“多少”这一概念，人类才能理解“有序”、“后继数”等概念。从l开始，借助“后继数”，便形成了自然数系；通过自然数的四则运算，形成了有理数系；通过有理数的代数运算，最终形成了实数系。所以，“多少”的概念，以及由其自然产生而不是通过运算产生的自然数，才是数学最本质的概念，也是小学数学的根基。因此，培养小学生的“数感”是低学段教学的重点。 其实学生入学前就已经知道了不少数，但那只是他们凭生活经验认识的数，对数他们只是有一种非常“肤浅”的表层认识，我们的任务就是让这些成人看起来非常抽象的数，在孩子的脑子中逐渐丰富起来，富有“数的内涵”。一年级上册第五单元学习11～20各数的认识，本节课的教学重点是，让学生通过动手操作初步认识和数位“个位”、“十位” 和 计数单位“一”、“十”；理解同一数字在不同位置表示不同的数值。一上课我通过猜数游戏引出“11”这个数，然后要求学生把11根小棒摆在桌面上，让别人一眼就能看出是11根。当学生把11根分成10根和1根两部分后，接着让他们把10根捆在一起。这时告诉大家，和同学们一样，数也有自己的位置，并出示数位筒，认识个位和十位。1根小棒表示1个一应放在个位筒里，1捆小棒表示1个十应放在十位筒里。另外，学生通过1个十和10个一的相互转化过程，体会 “数位”“计数单位”概念的实际意义，建立“数位”和“计数单位”的概念。同时，“数位筒”的教学又在不知不觉中对后面“份”的概念的教学起到了非常微妙的作用，从份的概念来分析，把这“10”根小棒捆成1捆，就是把10根小棒看成1份。学完后我问学生当你看到20你想到了什么？刘钰杰说：“我穿20号的鞋子。”刘翔宇说；“20十位上是2，个位上是0。”杜雨萌说：“我有20支新铅笔。”丁中岚说：“20比11大多了。”如果我们不给孩子说的自由，大概就没机会知道孩子心中的数有如此丰富的内涵了。 （二）经历符号化过程，培养符号意识。 英国着名数学家罗素说过：“什
C. 如何培养数学核心素养
一、什么是数学教师的数学专业素养？通常来说，教师素养包含三个层面，即文化底蕴、教育追求、教育智慧。数学素养是数学学科所固有的内蕴特性，是在人的先天基础上，通过后天学习获得的数学知识技能、数学思想方法、数学能力、数学观念和数学品质融于身心的一种比较稳定的心理状态。通过这段话来看，我认为：数学教师的数学专业素养的高低不能简单地用学了多少数学知识来衡量，细分数学专业素养分成三个方面：1.从知识的角度来看，应该较好地掌握初等数学和高等数学的基本数学知识。2.从能力的角度看，应该有较强的解决问题的能力。3.从思想观念的角度看，应该有正确的数学态度、数学哲学，对数学的发展历史、数学思想有足够的了解，热爱数学并能够不断学习和思考。具有数学素养的教师1、夯实知识基础的教师2、教出数学味道的教师（思想方法、文化、滋味）3、教出数学境界的教师（数学精神、人文精神）一、教师的专业知识中学数学教师应该熟知自己的科目，这种“熟知”并不是指仅仅熟悉教材，而是要懂得“更多“一些，比如数学发史、数学应用知识、新的数学分支等。这里特别要指出教师掌握数学应用方面知识的重要性。当前我们的数学教学现状是：相当多的学生不喜欢数学，感到数学枯燥无味，认为数学是考试时有用，考试后无用的东西。中国科学院院士姜伯驹指出：我们现在的数学教育不是吸引学生越有兴趣，而是越学害怕，感到数很难。但是，如果我们能做到让学生不仅懂得一些数学知识、数学思想，而且让他们在一定的地方能够用一下数学，在用的过程当中，一方面觉得自己的知识是有用的，而更多的是觉得要解决问题的话自己的知识是远远不够的，这样他会有一种求知欲望，他就能更好地学习数学。然而，事实上，目前教师掌握的数学应用知识寥寥无几，他们大多数只能在口头上向学生保证“数学是有用的”，努力规劝学生勤奋学习，却不能指明数学之用在何处，因而往往缺乏证据的空洞说教。有些教师至连书本出现的应用题都分析、解释不清楚，或者搞得很繁杂，致使学生一见应用题就害怕，一和实际联系就手足无措，更别提对数学的兴趣了。所以，我们对整个数学，特别是数学的应用例子到处都有，如比和比例，利息和利率，统计和概率，运筹与化以系统分析与决策等等。数学的应用性知识有很多，这些探究和实践课堂具有很强的说服力告知学生数学存在实际生活当中，能够解决具体的问题。例如：利用比和比例知识来设计国旗，绘制地图。利用物理的位置知识来进行拼图游戏，利用自行车里的数学来判断两地之间的距离，在爬坡的路段选择合适的齿轮搭配。利用圆和长方形的知识设计学校的运动场，利用利息计算的公式等知识进行合理的理财。利用圆柱和圆锥体积计算公式让学生体会节水积少成多来形成节约用水的良好品质。以上只是我们上学年中一部分的例子，还有以后我们也会更多的统计和概率知识更是数学应用的良好的载体。在注重掌握数学应用方面知识上，我的感受就是刚才提到的教师不应仅仅熟知教材而应是懂得更多，积极关注除数学教材以外的知识，数学的应用性决定了我们不仅要关注数学还要关注生活。通过数学与应用的结合来提高教学的品质，而这种结合才真正能体现出数学教师与众不同的的素养，在我们教学当中更会大放异彩。举个例子，上学期我们数学备课组每周轮流听课，在奥运圣火刚刚传递到北京的时候听取了本组田茂永老师的课堂就运用了胡锦涛传给刘翔的图片来讲授，并以哪位同学表现好即可获得奥运门票来吸引学生，课堂于是生动起来。我个人也感觉到每逢讲解到探究合作课程时学生们积极性最高，例如在讲解自行车里数学是将我的山地自行车搬到讲台上掩饰，学生看的清楚，学的明白，以后的生活中骑变速车便体会更深刻。事实证明将数学与应用结合起来传授知识效果是良好的。要能做到的这一点惟有博览群书。提高专业知识和与数学知识相关的生活应用知识都离不开读书。一、数学教师要多读二、数学教师应读哪些书首先，要认真研读教材，教材一本常读常新的书，每一次研读都会有新的收获.在研读教材的问题上我们认为，一方面要将教材读厚，如了解教学内容产生和发展的背景，理解教学内容在整个知识体系中的地位和作用，体会教材的编写意图等等.另一方面要将教材读薄，把握好教学内容的数学本质．最重要的，教师不能只关注自己的那一亩三分地，还应该阅读比自己所教年级高和低年级的教材，了解学生以前学过什么，以后将要学什么，这样才能更加准确地把握自己的教学.比如，小学数学教师就应该读一读初中乃至高中的教材，初步了解小学数学知识的拓展与延伸.初中教师也应该读一读小学数学教材，看看自己的学生在小学到底学了哪些数学知识，这些知识与学生们将要学的知识有什么联系和区别，从而更加清楚所带班级学生的底子，因基础而施教.我们大多数老师上一学期都是第一次教授小学的知识，大多能感受到先前对小学数学知识和自己的认识上有偏差。小学的数学知识并没有就是那点非常简单的东西，也是内容丰富，螺旋式上升，有许多初中学的知识，他们在小学已经学习。也有的数学教师能够教初中和高中，教不了孩子的小学数学。对小学生教法也值得有所了解。其次，要读一些针对性、实用性强的书籍，这些书拿到手里，读完就可以用到教学中.比如教学设计、评课一类能够提高老师们的教学技巧的书籍.例如《数学课堂教学案例透视》、宋淑持老师编着的《松子评课》。这一方面的书籍已经得到了大家的重视，这里不再赘述。学校的图书室关于这方面的书籍，类似的书籍在网络上搜索也很多，这是我们学习的宝贵财富。第三，要读一些有助于提高专业知识水平的数学专业书籍．如果将教学技巧当作功夫的一招一式，那么数学专业知识就是我们俗称的数学教师的内功，扎实的专业知识基础是数学教师专业成长的源头活水.然而，近年来教师的学历水平在不断的提高，同时也有部分教师没有系统地学习过高等数学，因此，主动地、有选择地读一些专业书书籍，是数学老师修炼内功的必要途径。今年的暑假我们学校几乎全员上阵学习参加研究生进修班，牺牲20天的休息时间进行充电，在有时候听不懂的时候体会到了自身专业知识的浅薄，中学教师也应该有自己科研的领地。学数学教师首先要读懂初中和高中数学教材，理解并掌握教材中的基础知识，把握知识间的相互联系，领会数学的基本思想和方法．其次要的是《初等数论》，以及与初等数论有关的书籍.可以说，小学数学中有关整数方面的知识，都是初等数论里最简单的情况.比如小学最开始学习的除法，都是整除，而且除数与被除数都是具体的数，整除的一些性质没有得到很好的体现.在《初等数论》第一章，讲的就是除法.这里就上升到用字母来表示了，整除的一些本质属性就体现出来了，比如传递性（如果，则）等.这些都是教师应该把握的，我们的数学教师应该站这个高度来把握教学，才能更好的驾驭课堂，看得更远.再次，教师还要读一点关于概率与统计方面的专业书籍.概率是课改新增加的内容，尤其 许多老师以前在大学里根本没有学过这方面的内容.于是，随着课改的深入，概率教学暴露出的问题越来越多.第四，要读一些有关数学史方面的书籍.不了解数学的发展史，就不可能理解数学的本质．当今中小学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学.这些数学教材已经过千锤百炼，是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习.向学生介绍数学史料，数学不仅仅一门工具，也是一种文化。因此，作为数学识的传播者，数学教师不仅在教会学生解题，教会学应用数学，还需要古为今用，取精用弘，从中挖掘数学的文化内涵，提炼数学的文化价值。对一门学科，如果不知道它的历史概况，不熟悉对它的发展进步作出巨大贡献的前辈以及他们的成就，那就不能真正了解该学科，也讲授不好这一学科。以史为鉴，这既是创设问题情境，活跃课堂气氛，丰富教学内容的良好的素材，也是数学走向大众化的有效途径。第五，教师应至少通读一至两种专业性的数学期刊.一般来说，数学期刊刊载的都是数学或数学教育研究的最新成果，讨论的是数学教育改革中的热点问题，反映的是数学及数学教育的最新动态．所有这些，对更新教育教学观念、提高教育教学水平将起到积极的作用．另外，很多专业期刊都会邀请一些数学和数学教育名家就教育改革中的热点问题发表自己的观念和论述.这些大家的数学功底精深，观点独到，往往能一针见血的点中要害，使老师们豁然开朗.读这些期刊，对老师们的成长有很大的帮助.老师们一定要带着问题、带着目的去读一些书，着重加深自己认为有待提高的那一方面的知识。
D. 如何提升学生的数学核心素养
如何提升学生的数学核心素养？
一、基于数学核心素养的数学教学
教什么，如何教？这是教师教学的永恒课题。基于数学核心素养的教师数学教学，首先要更新观念。培养并提升核心素养，不能仅仅依赖模仿、记忆，更需要理解、感悟，需要主动、自觉，将“学生为本”的理念与教学实际有机结合。1整体把握数学课程
基于数学核心素养的数学教学，整体理解数学课程是基础。高中数学课程是一个有机整体，要整体理解数学课程性质与理念，整体掌握数学课程目标，特别需要整体感悟数学核心素养，整体认识数学课程内容结构—主线—主题—关键概念、定理、模型、思想方法、应用，整体设计与实施教学。例如，以鸡兔同笼为例。在小学，可以使用“列举方法”，也可以利用“逼近方法”，还可以使用“假设方法”，在今后的学习中，这些方法依然会发挥作用。但更需要重视的是学习“方程组方法”。因为数学教学不仅是为了解决某个具体问题，更需要思考如何解决一类问题，更大的一类问题。把所有鸡兔同笼问题变成一个数学问题，给出求解的一般方法—运算程序。不仅如此，还可以为初中引入二元一次方程组奠定基础，解决更大一类问题。到了高中，还可以进一步从解析几何、向量的角度解读……在这一过程中，学生会不断感悟、理解抽象、推理、直观的作用，得到新的数学模型，扩大应用范围，提升关键能力，改善思维品质。2主题（单元）教学
基于数学核心素养的数学教学，要求教师能从一节一节的教学中跳出来，以“主题（单元）”作为教学的基本思考对象。可以以“章”作为单元，如将“三角函数”作为教学设计单元；也可以以数学中的重要主题为教学设计单元，如“距离”或“几何度量关系：距离、角度”等；也可以以数学中通性通法为单元，如“模型与待定系数”等。这是深度学习的核心，是深度学习的抓手，也是整体把握数学课程的抓手，可突出本质—数学核心素养，有利于教学方式多样化，把“教”与“学”结合起来，促进学生自主学习；有助于提高数学教师专业水平（数学、教育教学理论、实践），这是数学骨干教师的基本功，不是教教材，而是创造性地使用教材教数学。
主题（单元）教学的要素，最重要的是进行整体分析，包括数学分析、标准分析、学情分析、教材对比分析、重点（本质、核心素养）分析及教学方式分析，进而确定主题教学目标，选择、设计情境和学习活动。根据学生实际，确定教学流程，设计每一节课教学，进行教学实施，然后不断反思—循环—提升。
3抓住数学本质
我国着名数学家华罗庚反复强调：能把书读厚，又能把书读薄，读薄就是抓住本质，抓住重点。抓住本质，才能更好地理解和提升数学核心素养。4问题引领—发现、提出问题与分析解决问题
在关于数学和数学教育的大讨论中，问及在数学和数学教育中什么最重要时，着名数学家P.Harmous在一篇总结文章中强调“问题是关键”，数学概念、定理、模型和应用都是在解决问题的过程中总结形成的。在数学课程目标中，特别强调发展学生发现问题、提出问题与分析解决问题的能力，在基于数学核心素养的教学中，这也是关注的重点。5创设合适情境
创设合适情境是基于数学核心素养教学的另一关注点。首先要对“情境需要”有个全面的认识，包括实际情境、科学情境、数学情境、历史情境。情境选择的基本原则是便于理解学习内容和要完成的任务，循序渐进，进而考虑激发学生的兴趣和热情。
6掌握学情，加强“会学”指导
“授之以鱼，不如授之以渔”是古训，这与学会学习的理念一致，“会学”比“学会”重要。“会学数学”应包括：阅读理解、质疑提问、梳理总结、表达交流。以“数学阅读理解”为例，需要清楚数学语言由数学自然语言、符号语言、图形语言组成，它的特点是准确、清晰、简洁，数学阅读就要会读“数学普通话”“符号”“图形（表格）”。而数学符号、图形（表格）又是一个系统，彼此联系，学生不能很快习惯，需要指导，不能太急。数学教师强调“学法指导”，是一个很好的经验，需要坚持、总结、提升。
二、基于数学核心素养的数学学习
基于数学核心素养的数学学习，应关注以下问题。1视野—见识
学习数学需要有开阔的视野，了解数学的历史，了解数学的发展，了解数学在社会发展中的作用，美国科学委员会在写给美国总统的咨询报告中特别强调：“高科技本质上是数学技术”；了解数学在现实生活中的作用，英国研究理事会的评估报告认为，数学研究对英国经济的贡献约占英国所有工作岗位的10％和GDP增加值总额的16％。对优秀学生，教师应引导他们不满足于学到数学知识，得到好成绩，还需要获得好的见识。见识比知识更重要。2做题=数学学习？会学—自主
以做题取代数学学习，这是数学教育中的突出问题。通过做题巩固学习内容，这是学习数学的重要环节，但仅靠做题有很大的局限性。学习数学也需要理解数学概念、定理、应用，需要理解不同内容之间的联系。
做题与做数学是有区别的。做数学，首先要选择问题，进而猜想结论，确定条件，探索解决问题的方法；做题，完全不同，条件和结论是确定的，方法也是学习过的，在锻炼数学素养方面有一定的局限性。
3积极参与数学建模和数学探究
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。数学探究是围绕某个具体数学问题，开展自主探究、合作研究，并最终解决数学问题的过程。它们是高中阶段数学课程的重要内容。“数学建模活动”和“数学探究活动”主要以课题研究的形式开展。课题研究过程包括选题、开题、做题、结题四个环节，这是促进学生自主学习的一项重要措施，可以让他们经历解决问题的过程。
选题可由教师给定，也可由学生与教师协商确定，还可以让学生自己选择实际问题或数学问题。他们可以采取独立或小组合作的方式，并撰写开题报告。教师要组织开展“开题”交流活动。“做题”就是指解决问题的过程，包括描述问题、数学表达、建立模型、求解模型、得到结论、反思完善等。“结题”包括撰写研究报告和报告研究结果，由教师组织学生开展结题答辩，可采用专题作业、测量报告、算法程序、制作实物或研究论文等多种形式。对于研究报告的评价，教师可以组织评价小组，邀请校外专家、社会人士、家长等进行评价。研究报告及其评价应当作为文件存入个人学习档案，为大学招生提供参考和依据。4会交流
在数学学习为主的阶段，交流很重要。听一遍不如看一遍，看一遍不如讲一遍，讲一遍不如写一遍，很有道理。大学研究生授课的主要方式是让学生报告，导师很容易从报告的过程中判断是否真懂，希望中学教师和学生也能借鉴这种方法——交流。
基于数学核心素养的评价是落实的重要措施，尤其是高考评价。如果高考试题、考试等形式不进行改变，这次改革就很难落实。当然，也应循序渐进。基于数学核心素养评价的命题，要关注以下要素：（1）命题者要整体把握高中数学课程，围绕内容主线—主题（单元）和关键概念、结论、模型、思想方法、应用展开；（2）突出数学本质；（3）创设合适情境，强调发现、提出和分析、解决问题背景，情境包括实际情境、科学情境、数学情境、历史情境；（4）强调开放性、探究性。
如何在数学教育中提升学生的数学核心素养，是数学教育工作者面临的新课题。一线数学教师是落实本次高中课程标准修订的关键，希望广大教师注重提升自身数学素养，特别是数学核心素养，关注数学内容、数学教学理论、数学教学实践与数学核心素养的有机结合，直面问题，不断探索，为学生营造良好的数学教育环境。
E. 课堂教学中如何培养小学生的数学核心素养
所谓数学素养，就是在人的先天生理的基础上，受后天环境、数学教育的影响，通过个体自身的实践和认识活动，所得到的数学知识、技能、能力、观念和品质的素养。它是在长期的数学学习中逐步内化而成的。它包括数学知识技能、数学意识、解决问题能力、数学信息交流、创新意识等。青少年们是全能型人才的后备军，也是祖国的未来，担负着历史赋予的神圣使命。教育青少年们努力学习科学文化知识，打下坚实基础，尤其是从小培养他们的数学素养是他们能否成为全面发展的人的关键之一。\x0d\x0a《数学课程标准》明确提出数学教育要面向全体学生，实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”这三大理念，强调数学课程的基础性、普及性、和发展性，这是数学教育多年来指导思想的突破与革新。也就是说，当前我们要在这种理念的指导下实现数学教育的总体目标，全面提高学生的基础知识和基本技能，大力培养学生学习数学的情感态度和数学能力，把新课标理念转化成一个个具体的教学目标，逐一落实在数学教学活动中。下面我就结合自己的教学实践，谈一谈自己的一些做法和体会：\x0d\x0a一、结合教学实际，重视培养学生的数感\x0d\x0a数感是一个人数学素养的重要成分，所谓“数感”，是指学生对“数”的敏锐、精确、丰富的感知和领悟。数感的建立水平是学生个体数学素养水平的重要标志。《数学课程标准》中指出要通过数学活动，发展学生的数感。\x0d\x0a1、创设生活情境，启蒙数感\x0d\x0a着名数学家华罗庚曾一针见血地指出：“人们对数学产生枯燥无味、神秘难测的印象，原因之一是数学教学脱离实际。”可见，生活是数学的源泉，数学学习离开了生活，将会寸步难行，而“数感”更不是通过传授而能得到培养的。为此，我们在数学教学中必须紧密联系学生的生活实际，充分挖掘学生的生活资源，将抽象的数学建立在学生生动、丰富的生活背景上，让学生自己去感悟、探究，用数学的眼光去观察、认识周围的事物，用数学语言来表达与交流。从中提高学生对数的敏锐程度，形成对数的良好直觉，启蒙学生的数感。\x0d\x0a例如在一年级“认数”的教学过程中，教师可以创设一个富有童趣的情境：“同学们还记得在幼儿园上活动课时的情景吗？大家一起去滑梯，去荡秋千，去骑木马??”学生们对幼儿生活的美好回忆渐渐被唤醒了，这时教师适时运用多媒体出示一个欢快、温馨的幼儿活动的画面：“大家愿意和老师一起来数数这个幼儿园里的活动器械吗？”于是，小学生们开始兴趣盎然地数数：1只滑梯，2个秋千，3只木马??从而经历了一个从日常生活中抽象出数的过程，理解了数的意义。又如，教学质量单位时，让学生到市场进行“今天我买菜活动”，看一看，称一称，估一估各种瓜果、蔬菜的重量等，开展丰富的活动，让学生充分体验数感。可见，情境教学是培养学生数感的基础，如果较好地利用和创设情境，体验和感受数学的实际意义，学生不但较容易将知识与生活经验建构起来，获得丰富的表象和富有生命力的数学知识，而且让学生充分感受到数学无处不在，使学生的数感意识得以萌芽。\x0d\x0a2、引导认真观察，建立数感\x0d\x0a数学是一种运用思维的学科，观察是思维的触角，是学生认识事物的基础，观察是形成和发展数学知识的基本方法之一。为此，在教学中，教师要引导学生围绕目标有序、认真、多角度、全方位的观察，可引导学生观察画面，发现数学问题；观察规律，发现数学问题；也可引导学生用数来表达和交流观察到的信息??通过一系列的观察活动帮助学生学习数学知识，建立数感、发展数感。比如在新课程各年级“数的认识”教学中，要注重让学生联系实际先观察再说一说。如：观察一张纸多厚，再观察10张、30张、50张有多厚，然后拿出一叠（1000张）纸，让他们观察有多厚。又如在教学“0的认识”时，教师引导学生联系生活实际说出在哪些地方见过“0”。这方面，学生有着丰富的生活经验，说出诸如“在体育比赛的比分上见过0”；“在温度表上见过0”；“电话上有0”；“我的直尺上有0”??学生直观体会“0”除了表示没有以外，在温度表上、方向图上表示分界点；在直尺上表示起点；在日历上表示日期；在电话、车牌上与其他数字一起组成号码??这些都是学生身边的事，学生很容易理解和接受。这样，学生在观察中不但体会了数的含义，而且初步建立相应的数感。\x0d\x0a3、构建活动平台，发展数感\x0d\x0a皮亚杰说，活动是儿童发展的杠杆。通过实践操作，可以让学生体会到“数”就在身边，感受到“数”的趣味和作用，对数产生亲切感。因此，在课堂教学中，教师应向学生提供充分从事数学活动的平台，始终把儿童的活动作为主体发展的基础与载体，提供开阔的活动时空，让学生有合作交流、积极思考、操作等活动空间，使学生的数感真正得到发展。\x0d\x0a如教学100以内数的认识时，设计一个让儿童数100根小棒的游戏，看谁数得又快又好的活动。数的结果就会出现这样的情况：逐一地数；分组数；10根10根地数。数完后老师提出问题：通过今天的数数，你发现了什么？数感强的学生会说出：我发现10根10根地数比较快一些，还不容易出错。此时，教师应紧紧抓住学生的这种对计数原则的感悟进行发掘整理，让学生讨论为什么10根10根地数不容易出错？然后告诉学生，在数数的时候我们给满10根的数找一个位置，让数满10根的数都放在这个位置上，现在我们给这个位置取个名字——“十位”。儿童从逐一地计数到分群计数是对数的认识的飞跃，发展了学生的数感。\x0d\x0a4、加强估算教学，优化数感\x0d\x0a估算本身是数感的一个重要方面，也反映人对实际情境中数和数量及其大小范围的理解和把握水平，同样在日常生活中有重要的使用价值。因此，加强估算，可以培养学生的估计意识和估算能力，提高计算准确率，优化、巩固学生的数感。首先，教师要善于抓住各种时机，创造性地开发教材内容，让学生在探索中学会一些基本的估算方法，并说明自己估计的合理性。在这过程中要培养学生的估算方法，养成良好的估算习惯。其次，应用估算。如计算7.98×5.1，先让学生估算，可以看作8×5；所以积一定在40左右，然后再笔算；如遇到工程问题“筑路队要修一条公路，甲队独修要60天，乙队独修要40天，两队合修要多少天？”可以要求学生很快地确定大概时间，再进行计算，以提高计算的准确率。这样的估算，是学生在笔算中取的相应的感觉，体会和经验积累的基础上进行的，它对数感十分有利。又如学校开展“保护环境，爱护地球”活动，为增加说服力，教师可以这样设计问题，要求学生估算解答。“全国的小学生如果每人每天浪费一小张纸，一年全国小学生要浪费多少吨纸？要用多少辆卡车运输？”这道题里的小学生数，一小张纸有多大多重，一辆卡车能运几吨等数据都必须做出合理的估计，并在此基础上进行估算。这样的活动既培养了学生的人文素养，又提高了学生的估算能力，对数留下了全面深刻的印象，优化了对数的感受性。\x0d\x0a5、解决实际实际问题，提升数感\x0d\x0a我们知道，数学源于生活，更要高于生活。因此，数学教学应从现实的、有趣的或与学生已有知识相联系的素材出发引导学生提出问题，引发讨论，在解决问题的过程中去了解新知识，形成新技能，反过来解决原先的问题，在综合运用数学知识解决问题的过程中使学生的数感得到发展。如，教学“有余数的除法”后，让学生解决“全班43人去划船，每条船限坐6人，至少需要几条船？怎样乘船合理？”的问题，学生通过思考、计算，不难得出需要8条船。教师可以让学生说说可以怎样乘船，学生的方案有6×7+1；6×6+4+3；6×5+4×2+5；6×3+5×5等。在交流思维的过程中，学生会发现找到答案的方法并非只有一种，答案也并非只是一个，知道如何选择合理的方案。通过解决实际生活中的问题，学生知道了计算的意义和如何运用计算的结果，学会如何选择适当的算法解决问题，学会对结果的合理性做出解释，并在此基础上形成自己解决问题的基本策略，提升数感。
F. 如何在数学教学中提高学生“数学核心素养”
所谓数学素养，就是在人的先天生理的基础上，受后天环境、数学教育的影响，通过个体自身的实践和认识活动，所得到的数学知识、技能、能力、观念和品质的素养。它是在长期的数学学习中逐步内化而成的。它包括数学知识技能、数学意识、解决问题能力、数学信息交流、创新意识等。青少年们是全能型人才的后备军，也是祖国的未来，担负着历史赋予的神圣使命。教育青少年们努力学习科学文化知识，打下坚实基础，尤其是从小培养他们的数学素养是他们能否成为全面发展的人的关键之一。
《数学课程标准》明确提出数学教育要面向全体学生，实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”这三大理念，强调数学课程的基础性、普及性、和发展性，这是数学教育多年来指导思想的突破与革新。也就是说，当前我们要在这种理念的指导下实现数学教育的总体目标，全面提高学生的基础知识和基本技能，大力培养学生学习数学的情感态度和数学能力，把新课标理念转化成一个个具体的教学目标，逐一落实在数学教学活动中。下面我就结合自己的教学实践，谈一谈自己的一些做法和体会：
一、结合教学实际，重视培养学生的数感
数感是一个人数学素养的重要成分，所谓“数感”，是指学生对“数”的敏锐、精确、丰富的感知和领悟。数感的建立水平是学生个体数学素养水平的重要标志。《数学课程标准》中指出要通过数学活动，发展学生的数感。
1、创设生活情境，启蒙数感
着名数学家华罗庚曾一针见血地指出哗弊：“人们对数学产生枯燥无味、神秘难测的印象，原因之一是数学教学脱离实际。”可见，生活是数学的源泉，数学学习离开了生活，将会寸步难行，而“数感”更不是通过传授而能得到培养的。为此，我们在数学教学中必须紧密联系学生的生活实际，充分挖掘学生的生活资源，将抽象的数学建立在学生生动、丰富的生活背景上，让学生自己去感悟、探究，用数学的眼光去观察、认识周围的事物，用数学语言来表达与交流。从中提高学生对数的敏锐程度，形成对数的良好直觉，启蒙学生的数感。
2、引导认真观察，建立数感
数学是一种运用思维的学科，观察是思维的触角，是学生认识事物的基础，观察是形成和发展数学知识的基本方法之一。为此，在教学中，教师要引导学生围绕目标有序、认真、多角度、全方位的观察，可引导学生观察画面，发现数学问题；观察规律，发现数学问题；也可引导学生用数来表达和交流观察到的信息……通过一系列的观察活动帮助学生学习数学知识，建立数感、镇巧发展数感。 比如在新课程各年级“数的认识”教学中，要注重让学生联系实际先观察再说一说。
3、 构建活动平台，发展数感
皮亚杰说，活动是儿童发展的杠杆。通过实践操作，可以让学生体会到“数”就在身边，感受到“数”的趣味和作用，对数产生亲切感。因此，在课堂教学中，教师应向学生提供充分从事数学活动的平台，始终把儿童的活动作为主体发展的基础与载体，提供开阔的活动时空，让学生有合作交流、积极思考、操作等活动空间，使学生的数感真正得到发展。
4、加强估算教学，优化数感
估算本身是数感的一个重要方面，也反映人对实际情境中数和数量及其大小范围的理解和把握水平，同样在日常生活中有重要的使用价值。因此，加强估算，可以培养学生的估计意识和估算能力，提高计算准确率，优化、巩固学生的数感。首先，教师要善于抓住各种时机，创造性地开发教材内容，让学生在探索中学会一些基本的估算方法，并说明自己估计的合理性。在这过程中要培养学生的估算方法，养成良好的估算习惯。其次，应用估算。如计算7.98×5.1，先让学生估算，可以看作8×5；所以积一定乱旅族在40左右，然后再笔算；如遇到工程问题“筑路队要修一条公路，甲队独修要60天，乙队独修要40天，两队合修要多少天？”可以要求学生很快地确定大概时间，再进行计算，以提高计算的准确率。这样的估算，是学生在笔算中取的相应的感觉，体会和经验积累的基础上进行的，它对数感十分有利。
5、解决实际实际问题，提升数感
我们知道，数学源于生活，更要高于生活。因此，数学教学应从现实的、有趣的或与学生已有知识相联系的素材出发引导学生提出问题，引发讨论，在解决问题的过程中去了解新知识，形成新技能，反过来解决原先的问题，在综合运用数学知识解决问题的过程中使学生的数感得到发展。如，教学“有余数的除法”后，让学生解决“全班43人去划船，每条船限坐6人，至少需要几条船？怎样乘船合理？”的问题，学生通过思考、计算，不难得出需要8条船。教师可以让学生说说可以怎样乘船，学生的方案有6×7+1；6×6+4+3；6×5+4×2+5；6×3+5×5等。在交流思维的过程中，学生会发现找到答案的方法并非只有一种，答案也并非只是一个，知道如何选择合理的方案。通过解决实际生活中的问题，学生知道了计算的意义和如何运用计算的结果，学会如何选择适当的算法解决问题，学会对结果的合理性做出解释，并在此基础上形成自己解决问题的基本策略，提升数感。
我们知道，数学源于生活，更要高于生活。因此，数学教学应从现实的、有趣的或与学生已有知识相联系的素材出发引导学生提出问题，引发讨论，在解决问题的过程中去了解新知识，形成新技能，反过来解决原先的问题，在综合运用数学知识解决问题的过程中使学生的数感得到发展。在交流思维的过程中，学生会发现找到答案的方法并非只有一种，答案也并非只是一个，知道如何选择合理的方案。通过解决实际生活中的问题，学生知道了计算的意义和如何运用计算的结果，学会如何选择适当的算法解决问题，学会对结果的合理性做出解释，并在此基础上形成自己解决问题的基本策略，提升数感。
G. 如何把核心素养渗透在数学教学中
一、主动发现问题，抓住问题本质，渗透核心素养
“不会提问题的学生不是一个好学生。”学生能够独立思考，也有提出问题的能力。无论学生提什么样的问题，不管学生提的问题是否有价值，只要是学生自己真实的想法，教师都应该给予充分的肯定，然后对问题采取有效的方法进行引导和解决。对于有创新意识的问题和见解，不仅要给予鼓励，而且要表扬学生能够善于发现问题并提出问题进而引导大家一起去深层次地思考交流。例如：教学《加法交换律》，这节课主要是探究和发现规律，在探索新知的环节，采用竞赛的形式进行教学。在讲清竞赛的内容和规则后出示题目：25+48、48+25、68+27、27+68…..两小组轮流答题，答到第4题时，先答题的小组的同学马上提出了问题：“老师，其他组的同学做的是我们小组做过的题目，不公平！”这时老师问：“为什么不公平，你来说说。”接着学生就顺其自然地说到问题的本质：“虽然加数的位置相反，但是加数是相同的，所以结果也是相同的。”通过让学生主动发现问题，提出问题抓住本质，进一步让学生明确加法交换律的内涵。又如：“生活中的比”，导入时提出问题：你在生活中有遇到哪些比？从学生的回答中可以将“糖水中的糖和水的比”与“篮球比赛中的比“提出来，并问“这两个比相同吗？如果不同，不同之处在哪里？”学生通过交流和讨论给出了不同的想法：比赛中的比主要是要比大小比输赢，而糖水中糖和水的比虽然也有可能发生变化但是更注重糖和水之间的关系。从而抓住问题的本质，突破难点。
二、具有创新精神，合理提出猜想，渗透核心素养
杜威曾说：“科学的每一项巨大成就，都是以大胆的幻想为出发点的。”对数学问题的猜想，实际是一种数学想象，是一种创新精神的体现。在数学教学中，要鼓励学生大胆提出猜想，创新地学习数学。让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，分享自己的想法，锻炼自己的数学思维。例如：《圆的周长》，在探究圆的周长和什么有关的环节中，先引导学生提出猜想：正方形的周长与它的边长有关，猜一猜圆的周长与什么有关？接着结合学生的回答，演示三个大小不同的圆，滚动一周。并让学生指出哪个圆的直径最长？哪个直径最短？哪个圆的周长最长？哪个圆的周长最短？最后总结：圆的直径的长短，决定了圆周长的长短。
又如：在教学“3的倍数特征”时，大部分学生受前面学习的2和5的倍数的特征的影响，会有个位是3的倍数的数的猜想。这时，教师出示一些数据引导学生进行观察和验证。第1列中“73、86、193、199、163、419、763、176、599”中 9个数的个位都是3的倍数，它们能否被3整除？通过验证，学生发现先前的猜想是错误的，于是就会产生疑惑，并有了探求新知的欲望。这时教师利用错误，引导学生观察第2列数“9、21、105、237、27、78、42、591、843、534”。第二列的数能否被3整除？再观察观察，你想到什么？接着指出：看来一个数能否被3整除不能只看个位，也与数的排列顺序无关，那么，究竟与什么有关，具有什么特征呢？在教师的启发下，学生又能重新作出如下猜想：1、可能与各位数的乘积有关2、可能与各位数的差有关3、可能与各位数的和有关等等这些猜想，这时教师放手让学生自探主究验证，将大错化小错，小错化了。
三、进行合理提炼， 建立数学模型，渗透核心素养
数学模型是数学学习中不可或缺的，不仅可以为数学的语言表达和交流提供桥梁，而且是解决现实问题的重要工具。在数学学习中可以帮助学生理解数学学习的意义并解决问题。例如：在教学“平行四边形的面积”时，在构建面积公式这个数学模型时，首先应用数格子的方法来探究图形面积的一种简单方，学生能够轻松地理解。在这个过程中学生对这长方形和平行四边形相对应的量进行分析，并初步得出：当长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高时，这两个的图形的面积相等。于是猜想平行四边形的面积可能等于底乘高。接着提出如果要去测量现实生活中一块很大的平行四边形的田地，你认为数格子的方法合适吗？从而引导学生把平行四边形转化成长方形进行计算。
又如：教学“加法交换律”时，当学生已经初步感知规律后，教师提问：你能用自己喜欢的方式表示加法交换律吗？学生纷纷用自己喜欢的符号来表示，并重点提出a+b=b+a这种形式，引导学生讨论a和b可以是哪些数，这样不仅关注学生了运算定律的形式化表达，还培养了学生的抽象能力和模型思想。
四、运用数学知识，解决实际问题，渗透核心素养
学数学就是为了能在实际生活中应用，数学是人们用来解决实际问题的，数学问题就产生在生活中。所以课堂教学中应加强数学知识与生活-实践的联系。例如：“估算”，估算在日常生活中是一种常见的计算方法，许多问题有的只需要得到大致的结果，有的很难算出准确的数据，这就需要用估算的方法来帮我们解决问题。因此增强学生的估算意识，掌握一些简单的估算方法，对于学生去解决日常生活中实际的问题，以及培养他们的数感及数学应用意识都有着积极意义。比如估算到超市买东西大概需要带多少钱？估算一个房间的面积大约有多少？估计一个操场大约可以容纳多少人？……学生估算意识和能力的形成需要需要教师平时课堂教学中坚持不懈的潜移默化，这样学生才能将估算内化，学生的估算能力也才能真正的提高。又如：“欣赏与设计”这一课，从学生的已有的知识基础出发，让学生感受到对称图案的美，并体验到复杂美丽的图案其实可以用一个简单图形经过平移、旋转或对称得到。在欣赏了各种漂亮图案的基础上让学生自己设计，学生创造出的图形丰富多彩，让学生感受到我们的现实生活和数学离不开，数学给我们带来了美的感受。
H. 浅谈如何提高小学数学教师提炼核心问题的能力
数学教师的专业发展问题是教师专业化建设的一个重要组成部分，是数学教师队伍建设的逻辑起点。基础教育课程改革要求教师提高自身的理论素质和教学实践能力；新的小学数学课程标准要求小学数学教师能够解决许多新的课题， 如创新教育、问题解决、项目学习、研究性学习、数学建模、数学文化等；小学数学教师的专业水平不断提高是时代的需要，是教育发展的必然。
教师专业发展的核心，是要求教师对教育真谛应有深刻的理解。华东师范大学叶澜教授指出：“只有将人的培养、将完整人格的自我塑造而不仅仅是知识的传授看作教育的最终目标，生命的无限可能性才能在教育的过程中展开，教师才能成为富于时代精神、创新精神的人，教师职业也才能具有像医生、律师一样的专业不可替代性。”尤其对于小学数学教师，其学科的特殊性要求更高，而其专业化水平的提高更为重要。因此，不揣冒昧，对小学数学教师专业发展提出如下几点建议：
一、对数学教学问题的执着探讨
美国着名数学家哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏。”同样，对数学教学问题的执着探讨，也是每位数学教师专业发展的“心脏”。数学教学问题，不仅包括学科知识问题、学科教法问题，也包括学科理念问题。具体到某个数学问题的解决和变式、问题情境的创设和教法设计、解题过程的评价和反思、数学能力的形成和培养、数学情感的体验和养成、数学思想的概括和发展等等，对这些问题的探讨和一个个的解决，都能有效地促使教师走向成熟。数学教师只有对在数学教学中碰到的许多实际问题不轻易放过，及时地去请教他人，才能促成他们数学教学专业的顺利发展。
二、对数学教育理论的不断学习
罗树华说过，教师学习是新世纪、新时代的要求，是履行育人使命的需要，是更新观念、完善自我、提高人生品味的需要。学习的内容有：1.专业知识技能；2.现代生活与处世做人的知识技能；3.“终身学习”的知识技能。学习的关键环节是阅读、思考和自悟。同样，数学教师的专业发展，要通过有系统的专业培训和理论学习。这些培训要根据教师的不同发展阶段，伴随着他们的教学实践而展开，包括新教师上岗培训、青年教师新苗研修班的培训、青年教师骨干研究班的培训、名师班和奥数班的培训，以及新课程和新理念的培训，也包括进修深造。同时，在教学实践中要坚持不断地学习数学教育理论，尤其要学习当代的数学教育理论，及时更新数学教育的理念。托佛勒《第三次浪潮》的问世，标志着信息革命的开始。一个人的数学素质是在先天的基础上，主要通过后天学习所获得的数学观念、知识、能力的总称，是一种稳定的心理状态。
它包括数学意识、思维品质、创造能力和数学语言四个层面，这些数学素质的形成都离不开学习。
三、对数学课堂教学的反复实践
身教是最有效力的实践环节，课堂是数学教育教学活动的主阵地。一个优秀教师的特质包括稳定而持久的职业动力，优异的教学能力——教学内容的处理能力、教育机智、与学生交往的能力、教学组织与管理能力、语言表达能力、教学科研能力、运用各种教学方法和手段的能力，和良好的性格特质——对教育教学具有高度的自我调节和完善的能力。这些特质都要在课堂的反复实践中磨炼出来。教育教学实践是数学教师发展的基础平台。教师的智慧，在教育教学实践中汲取；教师的能力，在教育教学实践中提高；教师的价值，在教育教学实践中实现。顾泠沅教授也曾说，数学教师要在“课堂拼搏”中提炼自己。所以，数学教师必须在数学课堂的反复实践和决战中促成专业的逐渐发展。
四、对数学课堂实践的深刻反思
反思就是把自己作为研究的对象，研究自己的教育理念和实践，反省自己的教育实践，反省自己的教育观念、教育行为及教育效果，以便对自己的教育观念进行及时的调整，从而提高自己的教学效果。教师的反思是指教师在教育教学中批判地考察自我的主体行为表现及其行为依据，通过回顾、诊断、自我监控等方式，或给予肯定、支持与强化，或给予否定、思索与修正，从而不断提高其教学效能的过程。教师的反思能力是其专业发展和自我成长的核心因素，也是现代教师素质的必要组成部分。诚如J.Galderheal所说：“成功的有效率的教师倾向于主动地创造性地反思他们事业中的重要事情，包括他们的教育目的、课堂环境以及他们自己的职业能力。”“反思被广泛地看作教师职业发展的决定性因素。”美国心理学家波斯纳提出了教师成长的公式：成长=经验+反思。数学离不开思维，更离不开反思，因此，数学教师的专业发展也不例外。
五、对数学教育方式的改革创新
教师的教育研究可以促进教师的专业成长，不断提升教师的自我更新能力和可持续性发展能力，增强教师职业的乐趣和价值感、尊严感。一个教师如果缺少研究者的眼光，那他就难以成为一个专家教师；而如果一个教师不从事真正的科研活动，那么他也就难以形成研究者的眼光。创新是教师实践活动的灵魂，教育科研是教师发展的助推器。教师具有创新的潜力： (1)专业人员不仅是已有专业知识和技能的继承者和实践者，也是专业知识的发展者。(2)一些实践性的、无法预见的、从未见过的教学情境对教师是一种强大的激励力量，这些情境所表现出来的一般性和偶然性的联系能够在教师那里不断形成新的专业知识。作为专业人员，教师在这种情境中能够体验到理性释放的愉悦和创造性冲动的欣喜。(3)教师专业创新的潜力包括：教师对自己教学行为的反思，对具有挑战性的教学情境进行行动研究。可见，优秀的数学教师是在教学研究和改革创新中发展起来的。教师是教学改革的关键，教师需要担负起克服人类无知与陋习的重要使命。