什么数学书讲卷积

⑴ 怎样通俗易懂地解释卷积

对卷积的意义的理解：

从“积”的过程可以看到，我们得到的叠加值，是个全局的概念。以信号分析为例，卷积的结果是不仅跟当前时刻输入信号的响应值有关，也跟过去所有时刻输入信号的响应都有关系，考虑了对过去的所有输入的效果的累积。在图像处理的中，卷积处理的结果，其实就是把每个像素周边的，甚至是整个图像的像素都考虑进来，对当前像素进行某种加权处理。所以说，“积”是全局概念，或者说是一种“混合”，把两个函数在时间或者空间上进行混合。

⑵ 什么是卷积

卷积是分析数学中一种重要的运算。

卷积公式的使用条件是只用来计樱局算密度函数，不能计算分布函数。在泛函分析中，卷积、旋积或摺积（英语：Convolution）是通过两个函数f和g生成第三个函数的一纳颂帆种数学算子，表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。

离散卷积的公式：这里i的定义域为负无穷到正无穷，当然具体的问题要具体分析，比如成绩（100分满分），那么i的定义域就洞雹是（0-100）。连续卷积的公式：这里定积分的下限是负无穷，上限是正无穷，同理，还是具体情况具体分析，如果还是那个打分情况，那么就是下限为0，上限为100。

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书名：数学女孩

作者：[日]结城浩

译者：朱一飞

豆瓣评分：8.9

出版社：人民邮电出版社

出版年份：2016-1-1

页数：327

内容简介：

《数学女孩》以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探寻数学中的美。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的初等数学科普书”。内容涉及数列和数学模型盯猜、斐波那契数列、卷积、调和数、泰勒展开、巴塞尔问题、分拆数等，非常适合对数学感兴趣的初高中生以及成人阅读。凯举型

作者简介：

作者简介：

结城浩

日本资深技术作家和程序员。二十年来笔耕不辍，在编程语言、设计模式、数学、密码技术等领域，编写着作三十余本。代表作有《数学女孩》系列、《程序员的数学》等。

作者主页：http://www.hyuki.com/

译者简介：

朱一飞

复旦大学日语系硕士，曾获日本文部省奖学金赴日本早稻田大学、关西大学交换留学。现任复旦大学外事处项目官员、复旦大学日本研究中心兼职研究员，译有《小王 金鱼生活》《只要一分钟》《情路9号》《断食法》《猫叔来了》《新娘修炼记》等。

⑷ 高等数学里的卷积简单来说是怎么回事

根据两个函数生成第三个函数的一种算法 频域中卷积对应时域中积,频域中积对应时域中卷积

⑸ 《心中有数》：透过数学看人生，找到自己人生的最优解

高考的阅卷工作已经到了尾声，自6月23日起，全国多个省份都纷纷开始陆续“放榜”。

然而，每一年的高考放榜，又是几家欢喜几家愁？取到好成绩的同学肯定是平时的努力所致，但高考失利的却不代表平时就不努力，更多的只是概亩和率问题。

这个概率问题刚好和刘雪峰教授在《心中有数：生活中的数学思维》一书中提出概率世界观吻合，他说：“很多事情的最终结果是我们不能保证的，但是，这个结果发生的概率是我们可以靠努力改变的。”

作者刘雪峰，是北京航空航天大学副教授、博士生导师。他在《心中有数》一书中利用数学思维，结合生活，帮助你解开对人生的困惑；鼓励你要敢于预测自己的未来，也要善于捕捉生活中的每一次小确幸；在接受不完美的前提下，逐渐完善自己、迭代自己，最终找到生活中的最优解。

一、接受暂时的不完美，完成远比完美重要。

关于高考成绩，无可否认的是，平常认真的同学取得好成绩的概率，肯定会比那些不认真的同学要高得多。

而在高考失利这个问题上，可以用刘雪峰教授所提出的概率世界观来解释，这其实也和我们熟知的“谋事在人，成事在天”道理相通。

刘教授说：“对于一个参加高考的学生而言，即使他平常非常努力，模拟考试的成绩也很好，但在高考成绩公布之前，谁也不能保证他一定能考上一个好大学。因为有些重要的因素，例如考题的难度、他的临场发挥情况等，是他不能控制的。”

高考失利，虽然成为你人生中的不完美，但我们必须承认的一个事实就是：世界万物都毫无完美可言。

很多人认为，高考是人生中的转折点。没错！但它并不是人生的终点，恰恰相反，高考只是人生中的一个新起点。

面对高考失利这个不完美，我们可以选择全然接受，因为它只是暂时的。人生很长，总有很多站需要你停下来思考。

如果你因为发挥失常而导致的落榜，建议你可以分析一下这次失利的原因，同时也请你好好感谢一下自己一直以来的努力，因为你已经完成了人生中第一个重要的事情，虽然有一点遗憾，但完成远比完美重要的多。

这时候，你可以选择复读，总结了失败的原因之后继续努力，准备来年再战。人生并不是千篇一律的读书和升学，我们还可以选择就业、甚至可以选择创业。

阿里集团的创始人马云，在他创立了他的商业帝国之前，也曾经是高考落榜生，而且还是连续三次落榜，甚至最差的数学只有1分。他说“我不相信有一流的人才，我只相信一流的努力。”在他不断的努力下，连番的落榜经历，也完全不影响他成为誉满全球的企业家。

正如刘雪峰教授说的一样，我们要“平静接受现实，努力改变概率。”如果你等到的结果不如意，那么我们就接受暂时的不完美，去完成你该完成的，改变你该改变的，毕竟先有完成，才可能有完美的结果。

当你真的去努力了，我们也不要太焦虑，静待结果就好，该来的总会在路上。

二、敢于预测未来，也善于捕捉生活中的小确幸。

金无足赤，人无完人。每一个人都不完美，都有优缺点。那些成功的人，并不是说他们有三头六臂，或者说他们有多完美，而是他们往往比较大胆地去做预测。

在谷神星被发现的故事中，为什么年仅24岁的高斯，能够在欧洲天文学界声名鹊起？那是他敢于预测谷神星的位置，他除了借助自己在计算天体运动轨迹时就发明的最小二乘估法来消除观测误差，还发明了很多方法来对行星运动轨道的估计精度。

终于，谷神星在人们视线中消失了一年后，谷神星在天文学家冯·扎克根据高斯预测的位置上再一次被找到。而在这之前，几位着名的数学家都没有找到，从一系列短期观测数据中确定行星轨道的方法。

之所以高斯可以一下子征服欧洲天文学界，最主要的是他在谷神星再次被观测到之前，就成功地预测了它的位置。如果高斯在谷神星被再次观测到之后再来解释，谷神星为什么会再次出现在这个位置时，他的解释会显得毫无意义。

在这个故事中，刘雪峰教授认为：““预测”比“解释”重要得多，也难得多。”也就是说，敢于去“预测”，就等于敢于去行动，而“解释”却是马后炮。很明显，行动起来春慎比马后炮更容易让你成功迅森盯。

其实，不止是谷神星的故事中，“预测”显得尤为重要，我们的人生也是一样，你敢于描绘自己未来的蓝图，你就有可能拼出美好的未来。

也许你会说，拥有美好的未来是一种幸福感，而这种幸福感永远只属于那些拥有高学历和拥有高起点的人，又或者是属于那些有幸运体质的人。

有这种想法的话你就错了，为什么呢？刘雪峰教授认为，其实所谓的幸福感，也可以是那些小到想妈妈时，她的电话就打过来了；可以是走在路边，却发现路边的树已经冒出新芽等等这些小确幸。

在《心中有数》一书中，刘雪峰教授用“卷积”这个数学概念来分析关于究竟是偶尔的大幸福，还是频繁的小确幸，更能让我们获得幸福？

卷积的目的是刻画一个系统对于外界输入的反应。系统是控制理论中的概念之一，简单来说，系统接收输入信号，然后产生输出信号。

系统对外界输入进行输出，这个概念在生活中无处不在，包括我们说到的幸福感。

卷积的概念可以帮助我们在日常生活中做出正确的选择，如果我们用心去感知，用心去体会、去捕捉，甚至去创造生活中的每一次小确幸，那么频繁的小确幸带来的幸福感，一定比偶尔的大幸福带来更多的幸福感。

就比如你在大城市的市中心上班，那么你买市区的小房子带来的幸福感，比在郊区买大房子的幸福感要高得多。因为你本身就在市区上班，不必为每天长时间的往返而头痛，更不必为生活的不便利而烦恼。

三、在不完美中成长迭代，找到人生的最优解。

为什么建议年轻时多出去闯一闯？刘雪峰在《心里有数》一书中用到了计算机领域着名的模拟退火算法来解释。

模拟退火算法是解决函数优化问题的数值解法，要找到函数的极值。刘雪峰教授用找到函数y=-x2+2x的极值为例，分别列举了几种算法，包括解析解、梯度法和爬山法。

其中解析解无疑是最优的，但是要找到解析解也并不那么容易。于是就有了梯度法和爬山法这两个数值解。

对于刚刚步入社会的有理想的年轻人，刘雪峰教授建议，我们可以先用梯度法的核心思想在工作中“找准方向，精益求精”。有了方向之后，只要做到精益求精，才有可能更接近最优解。

除了梯度法，刘雪峰教授还建议可以用爬山法，顾名思义，爬山法就像是我们平时爬山一样，每一次出发都会站得比之前的位置高，也就是说你在工作中，需要一次次不断地迭代自己，一次比一次要更好。

但是，刘雪峰教授也指出了爬山法的缺陷，那就是当你爬到某一座山的最高点时，可能由于山中雾大影响，你以为你已经爬到了最高，但其实还有另外最高的山峰，这时候或许从旁边那个比现在位置较低的点再出发，有可能会到达更高的高峰。

其实生活中不乏这样的例子，比如你在跳槽的时候，你肯定是期望新工作的工资比之前的要高，因为是新人，因为公司的考核制度，不可能一开始就给你之前公司的最高工资。如果你觉得公司的前景好，而且更适合你的话，那么你可以接受现在这个暂时比之前工资低的结果，然后不断努力去达到符合你期望值的工资。

爬山法的这些算法会陷入局部最高点无法跳出的缺点，就正如我们的人生一样，当你不断地最求利益最高点的时候，难免会被一时的利益蒙蔽双眼，以至无法接受短期的挫折。但事实上，能接受暂时的不太完美，才有可能换取一个更好的未来。

当我们意识到这一点时，那么问题又来了，我们应该怎样去接受不完美呢？刘雪峰教授又给出了一个引入随机的算法，就是以一定的概率去接受暂时的不完美。

最后，教授用模拟退火算法来得到最优解，模拟退火算法告诉我们，开始时需要接受有很大概率的不完美，但是随着时间的增加，这个概率会慢慢降低而达到平衡。

所有的算法都和我们的人生密切相关，刘雪峰教授说：“人生其实是一个寻找最优解的过程。一开始谁都不是完美的，但是我们可以不断努力提升自己，最后的目标是达到自己可能到达的最优位置。”

这些算法告诉我们：年轻的时候，可以随机性地让自己多去闯一闯，去不断地尝试各种职业，不断地在不完美中成长迭代，从而找到自己真正喜欢的，并且能够激发你潜能，让潜能无限放大的工作。然而随着年龄的增长，就需要控制随机性，在自己最适合的领域深耕，不要轻易地切换赛道。

写在最后

刘雪峰教授这本《心中有数》，荣登了2022年5月的中国好书榜，它不仅仅是一本聚焦于计算机算法领域的科普书，它还是一本教你如何利用算法看清世界，让你心中有数的书；更是一本让你在算法中得到智慧，不断迭代自己，从而找到人生最优解的书。

从前，我认为数学就是数学，生活就是生活，它们两个根本不搭边。读完这本书之后才惊觉“生活无处不数学”。

虽然概率世界观告诉我们，很多事情的最终结果是我们不能保证的，但是，这个结果发生的概率是我们可以靠努力改变的。所以我非常建议你沉下心来慢慢咀嚼，也祝福你从中得到生活的智慧，找到你人生的最优解。

⑹ 线性代数里什么叫卷积

所谓的卷积即是一种加权平均
形式上卷积f*g是积分f(t-s)g(s)ds，可以看成f在权数g下的野蚂平均颂吵埋，碰敏或者g在权数f下的平均

⑺ 卷积 什么意思

卷积
convolution

分析数学中一种重要的运算。设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分：
可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）＝（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）＝（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。并察
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅里叶变换，那么有如下的关系成立：（f *g）∧（x）＝(x)·(x)，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。这个关系，使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数（f *g）（x），一含蔽链般要比f，g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们谈孙的卷积（f *g）（x）也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数 ， 都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推广到数列 、测度以及广义函数上去。

⑻ 二维卷积在哪本数学书上有讲

数学分析的下册有，内容比较抽象，希望能帮上你！

⑼ 卷积运算是啥

在泛函分析中，卷积(卷积)、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f
和g
生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f
与经过翻转和平移与g
的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
简单介绍
卷积是分析数学中一种重要的运算。设:
f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作吵态积分：
可以证明，关于几乎所有的
，上述积分是存在的。这样，随着
x
的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f
与g
的卷积，记为h(x)＝(f*g)(x)。容易验证，(f
*
g)(x)
＝
(g
*
f)(x)，并且(f
*
g)(x)
仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换升纤源，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g
一般要比f
和g
都光滑。特别当g
为具有紧支集的光滑函数，f
为局部可积时，它们的卷积f
*
g
也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f
的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
卷积在工程和数学上都有很多应用：
统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。
声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。
电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积竖陆获得。
物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。
卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲得很详细。
高斯变换就是用高斯函数对图像进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到：
for(i=0;
i<N;
i++)
{
for(j=0;
j<N;
j++)
{
g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2));
sum
+=
g[i*N+j];
}
}
再除以
sum
得到归一化算子
N是滤波器的大小，delta自选
首先，再提到卷积之前，必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的，除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分（或求和，离散情况下）。
信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入
输出
和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。
因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。
卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理
中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

⑽ AI数学基础26-卷积（Convolution）

卷积（Convolution）是一个应用非常广泛的函数间的数学运算，类似加、减、乘、除。之所以很多同学听到卷积二字就头皮发麻，是因为不熟悉，而且在日常生活中用的少。加、减、乘、除从小就学习，天天在使用，所以觉得简单、容易，亲切。

加、减、乘、除 用符号 +，-，×，÷，表示；同样，卷积用符号：* 表示。

如上所述，卷积是两个函数之间的数学运算，假设有两个函数f(t), g(t)，其卷积运算的结果也是函数，我们记做c(t)，则：

c(t) = f(t)*g(t) = (f*g)(t)

注意：f(t)*g(t)和(f*g)(t)这两种写法，都是表示卷积运算，大家世神在学习一个数学运算的时候， 首先是要学习并熟悉其标记的含义 ，这跟学习加、减、乘、除一样。

卷积具体的计算是如何定义的呢？

两个函数f(t), g(t)是定义在实数范围内可积的函数，其卷积记作：f*g，是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，如下图所示：

咋一看，有点儿懂了，也有点儿没懂，不着急，接下来我们一步一步图解卷积运算的过程。

首先 ，已知两函数f(t)和g(t)，如下图所示

然后 ，根据上述的卷积运算定义，把两个函数f(t)和g(t)自变量由t换为τ，并把其中一个函数，比如g(τ)，向右移动t个单位，得到g(τ-t)。

接着 ，把右移t个单位的函数，以纵轴为中心，180°翻转（Flip）,得到g(-(τ-t))，即g(t-τ)，如下图所示：

这样，经过平移和翻转，我们得到了积分表达式中的f(τ）和g(t-τ)。

接下来 ，τ是自变量，对整个定义域，我们对f(τ）和g(t-τ)积分，如下图所示：

最后 ，完成f(τ）和g(t-τ)的积分运算后，就完成了两个函数f(t)和g(t)的卷积运算。

通过上述演示过程，大家可以把两个函数的卷积运算，简单记住为：“ 卷积就是平移翻转再积分 ”，其过程如下图所示：

若把g(t-τ)看作为是一个加权函数的话，卷积可以认为是对f(τ)取加权值的过程。

跟加、减、乘、除有交换律，结合律相似，卷积也有如下性质

卷积定模巧理 指出，函数卷积的 傅里叶变换 是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如 时域 中的卷积就对应于 频域 中的乘积。

这一定理对 拉普拉斯变换 、 双边拉普拉斯变换 、 Z变换 、 Mellin变换 和 Hartley变换 （参见 Mellin inversion theorem ）等各种傅里叶变换的变体同样成立。利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为 n 的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做 2n-1 组对位乘法，旦返键其 计算复杂度 为O(n²)；而利用 傅里叶变换 将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的 快速算法 之后，总的计算复杂度为O(n·log(n))。卷积定理简化运算在工程实现中，经常使用。

卷积在科学、工程和数学上都有很多应用 ：

代数 中，整数乘法和多项式乘法都是卷积。

图像处理 中，用作图像模糊、锐化、 边缘检测 。

统计学 中，加权的滑动平均是一种卷积。

概率论 中，两个统计独立变量X与Y的和的 概率密度函数 是X与Y的概率密度函数的卷积。

声学 中， 回声 可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。

电子工程 与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的 冲激响应 ）做卷积获得。

物理学 中，任何一个线性系统（符合 叠加原理 ）都存在卷积。

下一节将继续介绍《 AI数学基础27-离散卷积（Discrete convolution） 》