A. 浅谈埃及和古巴数学的各自特点
一、古埃及的数学
古代埃及人凭借尼罗河沿河两岸的沃土，用他们的智慧独立地创造出了灿烂的古代文化．远在公元前4000年以前的古埃及的文明，已经有了象形文字，大约于公元前3000年左右，埃及成为统一的奴隶制国家．根据现在保存在英国牛津Ashmolean博物馆的古埃及第一王朝时期(约公元前3400年以前)一个王室的权标上象形文字的记载，当时一次胜仗曾俘获过120000名俘虏，400000头牛，1422000头羊．这表明当时埃及人已能用象形文字表示大的数目．
1．古埃及人的记数法
古埃及人是用以10为基的象形数字记数的
介于其间的各数由这些符号的组合来表示，书写方式是从右往左．所以 表示为32．
尽管埃及是最早采用10进数制的国家之一，由于没有采用位置记数的方法，这样就给记数带来了麻烦(详见第三节)．
古埃及人用纸草作为书写材料，纸草是尼罗河三角洲沼泽地盛产的一种水生植物，把这种草的茎依纵向剖成小薄片，然后压平晒干使之成为纸卷，可用于书写．由于埃及地区气候干燥，因此有些纸草能幸运地保存至今．其中有两卷纸草记录了古埃及数学资料．它们都产生于公元前1700年左右．一卷称为莫斯科纸草(图1－1)，其中含有25个数学问题，由俄国人戈兰尼采夫(голенищев)于1893年在埃及发现，现存于莫斯科美术博物馆．另一卷称为兰德纸草(图1－2)由英国人兰德(A．Henry．Rhind)于1858年在埃及购买的，后收藏于英国博物馆．因纸草是由埃及人阿默士(Ahmes)从公元前3000年的文献中抄写下来，记录着85个数学问题的抄本，所以又称为阿默士纸草．这两卷纸草是现在我们研究古埃及数学的主要来源．
2．古埃及人的算术知识
在莫斯科和兰德纸草中记载的110个数学问题多半来源于实际计算．由于任何一个自然数都可以由2的各次幂的和组成．因此我们可以发现古埃及人的计算技术具有迭加的特征．
通常进行加减法运算时，他们用添上或拆掉一些数字记号求得结果，而进行乘法或除法运算时，则需要利用连续加倍的运算来完成．
例如，计算：27×31．
因为27=20＋21＋23＋24=1＋2＋8＋16，
于是只要把31的这些倍数加起来，即可求得27×31的积．其作法如下：
把那些带有*号的31的倍数加起来，即得积837．
又如计算：745÷26．
只要连续地把除数26加倍，直到再加倍就超过被除数745为止．其程序如下：
∵745=416＋329
=416＋208＋121
=416+208+104+17．
从上述带有(*)号的各项，便可得出，其商为16＋8＋4=28，其余数为17．
古埃及算术最可注意的方面是分数的记法和计算．
古埃及人通常用单位分数(指分子为1的分数)的和来表示分数．
兰德纸草里有个数表，它把分子为2而分母为5到100的奇数的这类分数，表达成为单位分数的和
用现代的记号，其首末几行可表示为：
这样古埃及人就可以利用这张表进行分数运算了．
例如要用5除以21．运算程序可以如下地进行：
由于整数与分数的运算都较为繁复，古埃及算术难以发展到更高的水平．
3．古埃及的代数
在兰德纸草上有一个方程问题：“有一堆(古埃及人把未知数称为
在莫斯科纸草上有一个面积问题：“把一个面积为100的正方形分为两个小正方形，使其中一个的边长是另一个的四分之三”，写成现在的形式为
中并没有说明为什么要这样做．
在兰德纸草中还出现了有关算术级数的问题：“ 5个人分100个面包，要求每个人所得的份数构成一个算术级数”．纸草作者先令公差为
由上所述，古埃及人虽然能解决相当于今天解方程的问题，但实质上用的是纯粹算术的方法，还没有出现代数语言．并不存在解方程的概念．
4．古埃及的几何
古代埃及人留下了许多气势宏伟的建筑，其中最突出的是约公元前2900年兴建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高达146.5米，塔基每边平均宽230米，任何一边与此数值相差不超过0.11米，正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一．与金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神庙．其中卡尔纳克的神庙主殿总面积达5000平方米，有134根圆柱，中间最高的12根高达21米．这些宏伟建筑的落成，离不开几何学知识．
另一方面，几何学也起源于古埃及的农业．在兰德纸草中有19个关于土地面积和谷仓容积的计算问题．表明当时的埃及人已经会正确计算矩形、三角形和梯形的面积，并能对其他一些几何图形采用近似计算法，例如在求任意见边形的面积时，出现过近似公式：
古埃及人很可能已经知道了后来称为毕达哥拉斯定理的个别特殊情况．例如，埃及人可能已知：把12个单位长的绳子用结分成长为3、4、5个单位的三段，可以用来构造直角，但是这种推测尚未被学者所公认．
在兰德纸草上有一个求圆形土地面积的例子．他们把圆面积表示为
约为3.1605……，与π值的误差仅约为0.6％．
对立方体、柱体等体积的计算，他们给出一些计算的法则，其中有比较准确的也有较为粗略的．值得注意的是，在莫斯科纸草中有一个正四棱台的体积的具体计算方法上、下底面和中截面的面积之和乘以高的
其中，a、b分别是上、下底面正方形的边长，h是高．
这个计算与我们现在所用的公式完全相同，可以说这是埃及几何中最出色的成就之一．
二、古代巴比伦的数学
公元前4000年左右，生活在西亚的底格里斯河和幼发拉底河之间的地带，即“美索波达米亚”地区的人民相继创造了西亚上古时期的文明，已经有了象形文字，大约于公元前1900年形成了奴隶制的巴比伦王国．
从19世纪前期开始，在美索波达米亚工作的考古学家们进行了系统的挖掘工作，发现了大约50万块刻写着文字的“泥板”．古巴比伦人用一种断面呈三角形的笔在粘土板上刻出楔形的痕迹，称为楔形文字，这种泥板经晒干或烘烤之后，遂被长时间地、完整地保留了下来．现在世界上许多博物馆，如着名的伦敦、巴黎、柏林等博物馆中都收藏有许多这类泥板．在发掘出来的50万块泥板中，约有400块是数学泥板，其中记载有数字表和数学问题．
1．古代巴比伦的记数法与六十进位制
古代巴比伦人借助于符号 和 ，可以表示所有的整数，如：
巴比伦数系的特点是六十进位制．地质学家W·K·劳夫特斯于1854年发掘出两块泥板(称为森开莱泥板)其中一块上面刻着一个数列，用现代符号来写，前七个数是1，4，9，16，25，36，49．显然这是一个自然数平方的数列．49以下自然应该是64，81，…．但记载的却是1·4，1·21…直到58·1．这个问题只有在六十进位记数制中才能得到妥善的解释：
1·4=1×60+4=64=82，
1·21=1×60+21=81＝92，
58·1=58×60＋1=3481=592．
由上所述，古代巴比伦人已经懂得了用相同的符号可以按其位置不同来表示不同的数值，这种60进位的位值制记数法，是一项重要的贡献．但
至于巴比伦人为什么要采用六十进位制呢？现代人们有种种的推测：一般认为60是许多简单数字如2，3，4，5，6，10，12，…
化为较大单位时成为整数．也有的认为60=12×5，12是一年包含的月数，5是一只手的手指数．
2．古代巴比伦人的算术运算
巴比伦人对于加减法的运算只不过是加上或去掉些数字记号而已，加法没有专门的记号，减法用 记号表示，例如 表示40-3，关于乘法，巴比伦人是在整数范围内进行的，其记号是 ，如果要计算36×5，他们的做法是30×5＋6×5．这可以看作是乘法分配律的萌芽．为了便于计算，他们大约在公元前2000年以前已经编制了从1×1到60×60的乘法表，并用来进行乘法运算了．
关于除法，巴比伦人进行的是整数除以整数的运算，这种运算可以采用与倒数相乘的办法来进行，于是经常要使用分数．在巴比伦人遗留
化为有限位的六十进制“小数”．这个倒数表可以用现代的记号表示为
2 30
3 20
……
1 20 45
1 21 44 26 40
其意思是
……
除了乘除法之外，巴比伦人还能借助于泥板上的数表来进行平方、 但是还没有根据证明他们已认识了无理数．
3．巴比伦的代数知识
大约于公元前2000年，古代巴比伦人已能使用代表抽象概念的代数语言，可能由于许多代数问题都与几何有关，因此他们常常用“长”，“宽”，“面积”来代表未知数和它们的乘积等．
例如“给定矩形的周长和面积，试求边长”也就是相当于求解方程组
早期巴比伦代数中的一个基本问题是：“求一个数，使它和它的倒数之和等于一个给定的数．”用现代的记号来写就是
对于这个二次方程，他们给出的答案相当于
由于当时还没有负数的概念，所以负根略去不记，这表明巴比伦人实际上已经会解二次方程了．
通过解二次方程可以求解一些高次方程．例如“我把长乘宽的面积10，我把长自乘的面积，我把长大于宽的量自乘，再把这个结果乘以9，这个面积等于长自乘所得的面积，问长和宽各是多少？”
用现代的记号表示为方程组
在求复利问题的时候，甚至巴比伦人还能解指数方程．例如“有一笔钱，利息率为每年20％，问经过多长时间以后利息与本金相等？”这实际上是求解指数方程
(1.2)x=2．
上述例子表明古代巴比伦在代数学上的成就确实很高．
纽格包尔(Otto Neugebauer)和萨克斯(Sachs)于1945年对收藏在哥伦比亚大学普林顿收藏馆的第322号巴比伦数学泥板(简称为普林顿322号)作了成功的解释．普林顿322号包括基本上完整的三列数字．左边应该还有第四列数，但已佚失．将它用现代十进位符号改写，得到图1－3．显然最右边的那一列只不过是用来表示行数的，他们两人还发现：两列中的对应数字(除了四个例外)正好构成一个边长为正整数的直角三角形的斜边(图1－3中的中间一列)和一个直角边．在图1－3中带括号的四个值是例外值，放在经我们改正的数字的右边．
现在人们把象(3，4，5)这样一组能作为一个直角三角形的边的正整数称为毕达哥拉斯数(简称为毕氏三数)如果这样一组数除了1以外，没有其他公因子，则就称它为素毕氏三数．(3，4，5)是素毕氏三数，而(6，8，10)则不是．
现在我们已经证明了所有的素毕氏三数(a，b，c)能用下列参数式表达：
a=2uv，b=u2-v2，c=u2+v2．
这里，u和v互素，奇偶性不同，并且u＞v，例如，u=2，v=1则得素毕氏三数a=4，b=3，c=5．
假定我们用普林顿322号数学泥板上给出的斜边c和直角边b来确定那个边为正整数的直角三角形的另一边a，则得如图1－4的毕氏三数．我们还注意到，图1－4中的毕氏三数，除了第11行和第15行外，都是素毕氏三数．为了便于研究和讨论，我们也列出了这些毕氏三数的参数值u和v．(图1－4)对数学泥板的解释工作现在还在继续进行，今后也许还会有新的发现．
B. 为什么古埃及人在天文学数学几何学地理学等方面取得了很高的成就
古埃及是农业文明，需要丈量土地和对收成的测算，都需要几何和算术的知识，所以有很大发展；历法源于对太阳、星辰等天文观测，而历法有对农业发展有重大意义，所以埃及人的天文学也很了不起，体现在他们的太阳历十分精确。
C. 古巴比伦和古埃及数学的优劣
作为两大文明古国，古巴比伦和古埃及在数学方面都让蛮夷之地有了数学之灵光的闪烁。从他们的历史中可以看出，数学起初只是一种工具，或者是为计算历法，以便掌握更为精确的时间来拜祭神灵；或者是为计算赋税，以便更为准确地收取土地赋税。古巴比伦和古埃及的数学始终是重算法而轻推理，或许他们根本就没去考虑严密的推理，而仅是注重计算的技巧和实用性。 古巴比伦和古埃及都做了一些数的表示的尝试，虽然不如现代的简洁明了，但古巴比伦人的数制也像今日所用一样，是由许多历史条件和地区习惯形成的混合数制，不过他们在数学和天文上更加亲睐于60进制，楔形文字记录了这些；古埃及的计数是以10为基底的。他们都对数的加减运算有了一些认识，对乘法也有一些计算技巧，却未成体系，他们没有除法的概念，例如1/2在他们的理解中是一个数字，他们用巧妙却繁琐的连分数弥补了没有除法的这一空缺。 古巴比伦和古埃及的代数也有一些发展，他们可以解一些二次方程，古巴比伦人甚至给出了一些五次方程的非常精确的近似解，但他们的解法依然带有很强的技巧性，而且从未讨论方程解的存在性。这些类似于今天的代数方程机械解法，只论算法而不计算理。 古巴比伦和古埃及对几何也有一些探索，这在于其政府官员需征收土地的赋税，需要精确计算各种形状土地的面积。他们也能够计算一些三角形，四边形，甚至是圆的面积，其中圆面积用的是近似解，但逼近程度已经很高。同样，在这些过程中他们依然是非常讲究技巧，但没有严格的推理。 因此，可以看的出来，数学的最初发展并不像现代数学一样抽象，而是非常具体的实际问题的需求下应运而生的。最初的数学也仅仅是一种解决问题的工具，其自身并非是一门学科，最多也只是一种非常有效的计算工具而已，这一时期所谓的数学家也只是技术娴熟的计算师，他们从不探索其中的严格推理，直到希腊数学学派的出现这一现象才有所改观。 古巴比伦人和古埃及人，从巧妙的算法中打开了人类对数学的探索之门，他们的符号计数则为后人的数学乃至整个生活都带来了巨大的变化和方便。