㈠ 数学是什么意思数学是什么意思啊
数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”
自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系（恩格斯）”的认识（恩格斯），又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的劳动创造。
从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。“数学的根源在于普通的常识，最显着的例子是非负整数。"欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识，”另一个例子是几何中的相似性，“在个体发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识，”相似性知识被发现得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切，随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《数学与善》中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔（K，G0de1，1978）不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，着名数学家冯·诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。
对于上述关于数学本质特征的看法，我们应当以历史的眼光来分析，实际上，对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的。由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践，因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的，人们能够很容易地找到数学概念的现实原型，这样，人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入，非欧几何、抽象代数和集合论等的产生，特别是现代数学向抽象、多元、高维发展，人们的注意力集中在这些抽象对象上，数学与现实之间的距离越来越远，而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位，因此，出现了认为数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问，等等观点。这些认识，既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。正如有人所说的，“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代数学的水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。”而关于数学是研究模式的学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释，另外，从思想根源上来看，人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念，是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现，因此人们认为，发展数学理论的这套方法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理，是绝对可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演绎出来的结论也一定是真的，通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的。
事实上，上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的，并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的。显然，结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，而且从总体上来说，数学是一个动态的过程，是一个“思维的实验过程”，是数学真理的抽象概括过程。逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果。在数学研究的过程中，数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示。波利亚（G. Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动，这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。”他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态，”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成一种工具，他们不能没有数学是因为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的（应用数学的）活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。菲茨拜因（Efraim Fischbein）说，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的，”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成。库朗和罗宾逊（Courani Robbins）也说，“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们的综合所作的奋斗，才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。”
另外，对数学还有一些更加广义的理解。如，有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的，例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆造的。数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧。就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样，不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家，这些品质是最基本的，它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质，其中最主要的一条在两种情况下都是想象力。”“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯（Mogens Niss）等在《社会中的数学》一文中认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的，数学就扮演着纯粹科学的角色。在这种情况下，数学以内在的自我发展和自我理解为目标，独立于外部世界，另一方面，如果所考虑的领域存在于数学之外，数学就起着用科学的作用，数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们所关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统，它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动，数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验，作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。数学的学习不会同时而自动地进行，需要靠人来传授，所以，数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”
从上所述可以看出，人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）。数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。它们都从一个侧面反映了数学的本质特征，为我们全面认识数学的性质提供了一个视角。
基于对数学本质特征的上述认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。比较普遍的观点是，数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。A，。亚历山大洛夫说，“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它的应用的极端广泛性”王梓坤说，“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点，是数学特点的一个方面。另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”的特点。对数学特点的认识也是有时代特征的，例如，关于数学的严谨性，在各个数学历史发展时期有不同的标准，从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系，关于严谨性的评价标准有很大差异，尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后，人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。因此，数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的，具有相对性。关于数学的似真性，波利亚在他的《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”正是从这个角度，我们说数学的确定性是相对的，有条件的，对数学的形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”特点的强调，实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析。比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
㈡ 数学是什么
数学是什么？
“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；有时甚至可能以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。”“实际上，在现代经验科学中，能否接受数学方法已越来越成为该学科成功与否的主要判别标准。”
在《中国大网络全书·数学卷》中对数学的定义是：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。”（吴文俊）这一权威的论断，脱胎于马克思和恩格斯关于数学的概括。恩格斯指出：“数学是数量的科学”，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。根据恩格斯的观点，较确切的说法就是：数学——研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。
数学，是一个多元化综合的产物。如果要用几句话给“数学是什么”作一个恰当的回答，决非是一件易事，关键是看问题的角度。对“数学”的认识，我们应当从一元论走向多元论。美国数学家柯朗在他的《数学是什么》的书中说道：“…对于学者，对于普通人来说，更多的是依靠自身的数学经验，而不是哲学，才能回答这个问题：数学是什么？”
希望对您有帮助。
㈢ 数学和艺术的关系论文
摘 要：数学本身就是一门艺术，艺术的美是与数学分不开的。研究数学的艺术价值有利于促进数学的认识与传播，有利于提升艺术的创造力和想象力，有利于培养科学的审美观和价值观。
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关键词：数学 艺术 价值
古代哲学家、数学家普洛克拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美。”开普勒也说：“数学是这个世界之美的原型”。对数学的艺术追求已成为数学得以发展的重要原动力。数学与艺术之间似乎找不到它们之间的必然联系，然而，数学与艺术都是美丽的，并有内在联系。因为几乎人类的一切学科领域都或多或少用到数学，艺术也不例外。其实数学既是一门科学，其本身也是一门艺术，而数学所展现的和谐美与简洁美影响了很多艺术流派。
一、数学与绘画
在欧洲艺术创作领域公认有两次最大的创新，一次是文艺复兴，另一次是本世纪初兴起的现代艺术。两次大的变革都与几何学的变革有关。前者与三维透视几何有关，后者与N维几何和非欧几何有关。
每一时代的主流绘画艺术背后都隐藏着一种深层数学结构――几何学，在达芬奇那里是讲求透视关系的射影几何学；在毕加索那里是非欧几何学；在后现代主义、纯粹主义那里也许是现在说的分形几何学。其实，对于数学关系在艺术品中的重要性，向来就被一些美学家和艺术家所肯定。古希腊着名数学家毕达哥拉斯就提出“美在和谐”的观点，这其中“和谐”里很重要的一种数学关系，被毕达哥拉斯学派称为“最美妙的东西”，从而他们认为只要恰到好处地调整好数量比例关系，建筑、雕塑、书法甚至音乐、舞蹈等就能产生最美最和谐的艺术效果。通过我们的视觉就能感受到一种完美。如作品米洛斯的阿芙洛底德、雅典卫城等无不蕴含丰富而又协调的数学比例关系。
最让人感到美与和谐的比例就是黄金分割比――0.618。很多让人们感到很美的东西，比如海螺，其中都有不少奥妙，它的螺纹是遵循黄金分割的！还有一些艺术作品，几个简单的几何体，可是却让我们为之着迷，这是因为它也运用了黄金分割等数学上的手法。
把黄金分割比应用于绘画中的例子很多，其中最有名且最先开始的可能就是着名的艺术家达�9�9芬奇了。他之所以成为一位伟大的艺术家，是因为他首先就是一位了不起的数学家。他潜心研究人体结构，他发现了隐藏在人体中的数字与比例，并将这些应用于他的艺术作品中，使得他画笔下的人物都栩栩如生，百看不腻。如果你仔细去研究他的最有名的几幅画，《最后的晚餐》《蒙娜丽莎》等，你肯定会惊喜的发现里面蕴藏了太多的黄金分割了！
二、数学与音乐
音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学是客观事物高度抽象和逻辑思维的产物。那么，“多情”的音乐与“冷酷”的数学也有关系吗？我的回答是肯定的。数学与音乐之间有着某些相似之处，在一个音乐家的表演水平得到评判以前，首先要确认一个起码的前提：他的音是准的，仅仅是音准并不能使他成为一个音乐家。就象是对一位历史学家的着作只能评判说他没有说瞎话，也是不得要领的。
数学和音乐是人类精神两种最伟大的产品。它们全然是人造的两个金碧辉煌、自己自足的世界，前者仅用了十个阿拉伯数字和若干符号就造出了一个无限的真的世界，后者仅用了五条线和一些蝌蚪状的音符就造出一个无限的美的世界。
《春江花月夜》和肖邦小月曲的旋律也是不存在与自然界中的，在大自然中，你绝不会听到类似于人造的、另人着迷的音乐，因为它是你的心声，在数学里，n维空间、无限空间等人造的世界，甚至是“2”、“直线”、“平面”也都是人类精神最抽象的产物。并且，肖邦很注意乐谱的数学规则、形式和结构，有位研究肖邦的专家称肖邦的乐谱“具有乐谱语言的数学特征”。
我国伟大的思想家孔子曾提过六艺“礼、乐、射、御、书、数”，其中“乐”就是指音乐，“数”就是指数学，这样，孔子就已经把音乐和数学并列在一起了。
1952年12月在武汉召开的全国聂耳、冼星海作品研讨会上，武汉音乐学院院长曾宣读了一篇引人注目的论文《论义勇军进行曲的数列结构》，该文整个建立在数学基础上，从而提出了一种突破传统式结构理论的观点，论文的新颖不仅引起了轰动，而且引起了音乐工作者的思考，都认为数学和音乐之间可能有一种深奥的内在联系。
三、数学与文学
文学和数学看似风马牛不相及的两条道上跑的车，但是其实数学和文学有着奇妙的同一性。文学是以感觉经验的形式传达人类理性思维的成果，而数学则是以理性思维的形式描述人类的感觉经验，文学是“以美启真”，而数学则是“以真启美”，虽然方向不同，实质则为统一，主要表现在符号上的统一。
数学入诗，使人情趣盎然。如“一去二三里，烟村四五家，楼台六七座，八九十枝花。”宋人邵康的这首诗生动地描写了自然朴实的乡村景象，宛如一幅淡雅的水墨画，然而它却有一半是用数字写出的，诗意的美隐含在数的和谐之中。下面分别是一至十起头的唐诗名家诗句，颇有韵味：
一片冰心在玉壶（王昌龄），两臣开济老臣心（杜甫），
三军大呼阴山动（岑参），四座无言星欲稀（李顺），
五湖烟水独忘机（温庭筠），六年西顾空吟哦（韩愈），
七月七日长生殿（白居易），八骏日行八万里（李商隐），
九重谁省谏书函（李商隐），十鼓只载数骆驼（韩愈）。
中国文化源远流长，积淀十分深厚。古圣和先贤给我们留下了丰富的文化遗产。诗、词、曲、赋、传奇、小说、散文中，名句佳作如林。值得注意的是，他们中间往往嵌着数。诗文中的数字又似点睛之笔，犹如夜空的星辰熠熠闪光。
四、结束语
张继平教授说：美，是人性的追求，是人类进步的一大动力。艺术是美的表达方式，数学是美的语言，数学追求美，也创造美。数学与艺术的结合使美更加简明。在我们的生活中，处处充满艺术的气息，同时也着弥漫数学的魅力。也许，曾经我们认为数学是枯燥无味的。但是现在，我们要改变我们过去的观点。数学是一门艺术，是生活中不可缺少的艺术。