Ⅰ 初中数学函数知识讲解
一、关于函数教材的地位
函数关系是量与量之间关系的抽象，凡涉及到量的关系就少不了要用函数概念去描述、去刻画，并通过它去研究客观实际中的数量关系，所以无论就业或升学都要学点函数概念．
高中代数教材是以函数为中心，函数又比较抽象、难学，所以在初中讲点函数为高中作点准备也是必要的．
就以初中代数本身而言，像解三角形、二次不等式等也都离不开函数的有关概念．在物理、化学中像匀速运动、波义耳定律、抛射运动、自由落体也都要有相应的函数作基础．
因此，初中学习函数初步是相当必要的．
二、初中函数教学的特点
首先，从整个中学阶段来看，函数教学大致可划分为下面三个阶段：
第一，感性认识阶段
这一阶段以积累材料为其主要特征．在正式引入函数概念之前，基本上都属于这一阶段．
这一阶段教学的基本内容，大致有以下几个方面：
(1)通过各种关型的算术运算，让学生观察运算的结果与组成这一运算的各项之间的相互关系．如：和数与被加数、加数之间的相互关系，商数与被除数、除数之间的相互关系等．
(2)通过代数式和方程的学习，让学生进一步认识到如何用文字来表示一般的数量关系；如何用代数式来表示量与量之间的关系等．
(3)通过数的概念的发展，来积累学生关于“集合”这一概念的初步思想．例如在讲被开方数的容许值时，可以引导学生注意非负数集合．课本有意识地渗透了一些集合思想，这对以后讲函数概念是极其有帮助的．
(4)通过数轴和坐标的教学积累关于“对应”这一概念的初步思想．
第二，理性认识阶段
这一阶段是函数教学的主要阶段．它分为二个小循环．第一个循环是初中的“函数及其图像”；第二个循环是高中从集合开始一直讲到三角函数及其图像．这一阶段的教学任务是正确地形成函数的一般概念，较深刻地理解函数关系，掌握绘制简单的函数图像和讨论它们的性质的方法，学会应用函数的性质来解决某些比较简单的实际问题，把学生的认识水平和思维水平向前推进一步．
第三，深化和发展阶段
这一阶段的主要任务是了解函数的变化趋势，并通过它，初步掌握极限的方法——无限精确化的方法；利用微积分这一工具，对函数的增减、极值再作深一步的研究，并指出利用初等方法研究函数的局限性．
这三个阶段是彼此衔接的，由此可见，初中的函数教学具有承上启下的作用，对它学习的好坏，会直接影响后面的学习．
其次，初中的函数教学，无论对函数概念还是函数性质的教学，都是一种描述性的．这样，准确性和通俗性是其教学特点．尽管是描述性的，但交待要准确，不要给学生以错觉，并且交待又要遇俗易懂，让学生易于接受．为此需要多举实例，多运用图形、表格等直观手段．
三、关于函数概念
关于函数定义，常常有要素说的提法，如函数是由三个要素组成：定义域、对应法则、值域．这种提法不太科学，最好不要提要素，而应该重点放在函数概念的本质特征上．因为要素并未完全反映本质特征．
函数概念，它的本质特征是两条：一条是“随处定义”，一条是“单值对应”(名词可不必向学生提)．
“随处定义”是指：在一个 R：X→Y的关系中，如果定义域和X相等，则R便是一个随处定义的关系．也就是说，X中的任一个元x都有Y中的元y和它对应．所以随处定义的条件是
在图39所表示的关系中，(1)是随处定义的，而(2)不是．
单值对应是指：若R为由集X到集Y的关系，而对任何一个x∈X都只有一个y∈Y和它对应，则说R是单值的，即
图40的(1)、(2)是单值对应，(3)不是单值对应．
在初中代数的函数定义中，本质就是这两条：“对于x在某一个确定的范围内的每一个确定的值(随处定义)，y都有唯一确定
的值与它对应(单值对应)．”这两条缺一条就不成为其函数了，所以强调本质特征比强调要素明确得多了．
此外，还要防止学生把函数都看成式，不然，就缩小了函数概念的外延．为此，在讲授函数概念时，还要举出不能用式子表示的函数的例子．
四、关于函数定义域的教学
中学课本对定义域有两个方面要求：如果用式子给出，不指明定义域，那是指自然定义域，即使式子有意义的自变量x的取值范围．课本还指出“遇到实际问题时，确定函数的自变量取值范围，必须使实际问题也有意义”．所以教学时要有所反映．
求函数定义域要涉及到诸如解方程、不等式、分式、根式等知识，所以是以新带旧很好的材料，这在教学中应作适当要求，但是题目应该是最基本的，不要故意去搞一些很做作的题，因为这种训练是没有多大意义的．
五、关于函数图像的教学
由于函数往往涉及无穷集，因而一般来说图像应无限延伸，但这在画图像方面有局限，只能用有限来表示无限．这样，一方面要求有限图像能反映出无限图像的主要特征(如与轴的交点、峰点等要表现出来)；另一方面，要反映出无限的趋势(如与x轴无限接近等)．这两点也是画函数图像总的要求．
要让学生掌握描绘函数图像的下述技能：设数、计算(或查表)、设坐标单位、标点、补点、用光滑曲线连接．
这里要分两种情况：
一种情况是事先并不知所画图像是什么样子，也不知其什么性质．这时候设点应该密一些，并正、负都有，如果自变量及对应值数值较大，那么坐标单位可设小一些；如果弯曲处点还不够，则应适当补点，总之不要让图像走样．
另一种情况是事先已知图像是什么样子，那么设点可以根据图像特点来设．如正比例函数，只需设一个点，再与原点连结即可．一次函数可任意设两点．反比例函数若k＞0，只需设第一象限的点，第三象限的点可用原点对称的点得到．k＜0，只需设第二象限的点，第四象限的点可用与原点对称的点得到．对于二次函数可设顶点、与x轴的两个交点等．
以上这些技能都应让学生掌握．
教学中要注意函数图像在解方程、不等式中的作用．
六、关于反比例函数的教学
反比例函数无论从定义、图像、性质来说，都是教学的难点．这反映在的叙述方式与正比例函数极其相似，就容易给人以误解．
(2)反比例函数图像是曲线而不是直线(第一次出现曲线)，画曲线图像技能的培养，如曲线是两支、曲线不与任何轴相交，且与x轴、y轴无限接近等都是难点．
(3)在讲授单调性时，对于“负值绝对值越大就越小”，就常常被图像的表面现象迷惑而错误理解，从而对单调性得出错误结论．
这些都是应该予以重视的．
七、关于二次函数的教学
二次函数是初中字习函数的高潮和重点．它一方面与二次方程、二次不等式等密切相关，即把二次方程、二次不等式统一在函数观点下，可把两者有机地联系起来；另一方面，在讲授二次函数时，又要学习如“沿横、纵轴平移”、“配方”、“极值”等重要的数学思想、概念和方法，因此二次函数教材具有重要的培养性．
“参数a的意义”、“对称轴方程”、“沿轴平移”、“极值的意义”等，都是教学的难点．教学中克服这些难点，要从学生实际出发，采用具体的、形象的方法来讲授．
有关二次函数的题目难度要适当控制，题型要适当归类，重点应放在培养分析问题的能力上．