日本数学有哪些学派

㈠ 三大数学流派的三大数学流派简介

在介绍二十世纪中前期的数学三大流派之前，我想先提一下数学的“学派”，数学学派比数学流派要多的多。一个学派往往是很多知名的数学家在一个共同的地方，做出一系列的研究，并坚持一定的学派风格。在《基础教育网络全书·数学卷》(设计书)中，提到的数学学派有：伊奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、诡辩学派、智人学派、埃利亚学派、原子论学派、雅典学派、柏拉图学派、亚里士多德学派、亚历山大里亚学派、格丁根学派、柏林学派、彼得堡学派、意大利代数几何学派、法国函数论学派、直觉主义学派、逻辑主义学派、形式主义学派、普林斯顿学派、莫斯科学派、函数论学派、拓扑学派、剑桥分析学派、波兰学派、华沙学派、利沃夫学派、布尔巴基学派等。
可以看到，中世纪以前的数学学派和哲学学派几乎是重合的。通过学习《西方哲学史》可以了解到很多相关的东西。数学本身源于自然哲学。当数学科学逐渐从哲学中分离出来，但是数学基础仍然带有浓厚的哲学味。关于每个学派，都有一段很长的故事，其中的每个数学家都有很多激动人心的作品，和带有传奇色彩的故事。看M.克莱因的四卷本《古今数学思想》和E.T贝尔的《数学精英》，我们可以了解到很多数学家的故事。
直至近代，通过参阅《当代数学精英－菲尔茨奖获得者传》，和《当代数学大师:沃尔夫数学奖得主及其建树与见解》等书，可以对20世纪以来的数学有大概的了解。
莫斯科学派和哥廷根学派是我最喜欢的两个学派。两个地方都曾经云集过一大批着名的数学家，有长久的数学历史传统和深刻的数学文化。
关于哥廷根学派：
哥廷根学派是在世界数学科学的发展中长期占主导地位的学派，该学派坚持数学的统一性，思想反映了数学的本质，促进了数学的发展。
高斯开始了哥廷根数学学派的起始时代，他把现代数学提到一个新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比继承了高斯的工作，在代数、几何、数论和分析领域做出了贡献，克莱因和希尔伯特使德国哥廷根数学学派进入了全盛时期，哥廷根大学因而也成为数学研究和教育的国际中心。
哥廷根学派是世界数学家的摇篮和圣地，但希特勒的上台，使它受到致命的打击。大批犹太血统的科学家被迫亡命美国，哥廷根数学学派解体。【1】
关于莫斯科学派：
百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，其中如鲁金，亚历山德罗夫，柯尔莫戈罗夫，盖尔范德，沙法列维奇，阿洛尔德，诺维可夫，李雅普洛夫，菲赫金哥尔茨，科瓦列夫斯卡娅等都是响当当的数学大师。而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学。莫斯科大学所涌现的优秀数学家其数量之多，质量之高，恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学。在20世纪就再也没有哪个大学敢与之相比了，即使是赫赫有名的普林斯顿大学也没有出过这么多的优秀数学家，莫斯科大学是当之无愧的世界第一数学强校。
莫斯科学派我最欣赏里面的阿诺尔德。他写的书都深入浅出，把高深的数学理论用简单的数学语言写出来，并举出很多生活中的实例，与数学理论相联系。他是个对数学理解非常深刻的数学家。看他的作品非常的享受，如《常微分方程》、《动力系统》、《经典力学的数学方法》。
很遗憾的是中国还未尝有过什么如此着名的数学学派，更不谈流派了。中国的数学发展，还需要更多的年轻人的投入和奋斗。
在下面要谈到的三大流派中，涉及了很多当时世界上一流的数学家，逻辑学家，哲学家。他们为数学基础的完善做出了巨大的贡献，在这里我们向他们致以崇高的敬意。
-------
【1】‘注’这里只需列出一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避难的数学家和物理学家的部分名单，就可见人材转移之一斑了。爱因斯坦(1879～1955，伟大的物理学家)；弗兰克(J．Franck，1882～1964．1925年获诺贝尔物理学奖)；冯·诺依曼(1903～1957，杰出数学家之一)；柯朗(1888～1972，哥廷根数学研究所负责人)；哥德尔(1906～1976，数理逻辑学家)；诺特(1882～1935，抽象代数奠基人之一)；费勒(W．Feller，1906～1970，随机过程论的创始人之一)；阿廷(1896～1962，抽象代数奠基人之一)；费里德里希(K．Friedrichs，1901～1983，应用数学家)；外尔(1885～1955，杰出的数学家之一)；德恩(1878～1952，希尔伯特第3问题解决者)；此外还有波利亚、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺尔德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格纳(Wigner)等等。
二十世纪中前期的三大数学流派简介
集合论在19世纪末由康托建立后, 集合概念成为最基本、应用最广的一个概念，人们曾经相信，全部数学的基础理论可用集合概念统一起来。1900 年，在巴黎召开的国际数学家大会上，庞加莱曾满怀信心的说：“ 现在我们可以说，完全的严格化已经达到了。” 可是这话说出后还不到3 年，英国数学家罗素于1902年给德国数学家弗雷格的信中提出一个集合悖论，使数学基础发生动摇，用弗雷格的话说：“突然它的一块基石崩塌下来了。”
罗素的集合悖论：
集合可以分为两类：第一类集合的特征是：集合本身又是集合中的元素，例如当时人们经常说的“所有集合所成的集合”；第二类集合的特征是：集合本身不是集合的元素，例如直线上点的集合。显然，一个集合必须是并且只能是这两类集合中的一类。那么，R是哪一类的集合呢？ 罗素悖论一个通俗的说法是理发师悖论：
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
集合论中为什么会产生矛盾这个非常根本的问题，涉及数学逻辑推理的可信性和数学命题的真理性问题，属于数学哲学的范畴。
从1900年到1930年的30年间，许多数学家卷入了一场关于数学哲学基础的讨论，并逐渐形成不同的数学基础学派的争论，主要有逻辑主义、形式主义和直觉主义三个学派。
一、逻辑主义
1.逻辑主义的历史渊源
逻辑主义的形成究其本原可以追溯到莱布尼兹时代，他把逻辑学想象成一种普遍的科学，这种科学包括构成其它所有科学的基础的一些原则，这种逻辑学先于一切科学的观点，即是逻辑主义思想原则的萌芽。但他并未能开展这一方面的工作。到了19 世纪，戴德金、弗雷格和皮亚诺等人继承莱氏先志，逐步发挥，并且都取得了不小的成就。
2.逻辑主义的基本思想
逻辑主义的主要代表人物是英国着名的数学家、哲学家和逻辑学家罗素，他与怀特海于1913年完成了逻辑主义的经典代表作---《 数学原理》。作者企图在这3卷本的数学巨着中向人们说明：全部数学可以以一个逻辑公理系统严格推导出来，也就是说可以从逻辑概念出发用明显的定义得出数学概念；由逻辑命题开始用纯逻辑的演绎推得数学定理。从而，使全部数学都可以从基本的逻辑概念和逻辑规则而推导出来。这样，就可以把数学看成是逻辑学延伸或分支。所以，罗素说：“逻辑学是数学的青年时代，而数学是逻辑学的壮年时代。”、“数学即逻辑。”
罗素在他的《 数理哲学导论》一书中进一步的阐述了他的主张：“ 通过分析来达到越来越大的抽象性和逻辑简单性，要研究我们能否找到更为一般的思想原则，以这些思想和原则出发能使现在作为出发点的东西得以被定义和演绎出来” 。那么是什么样的思想原则呢？罗素接着说：“ 应当以一些已被普遍承认了的逻辑的前提出发，再经过演绎而达到那些明显的属于数学的结果。” 即把数学化归于逻辑，这是他的基本观点。
在《数学原理》中，罗素和怀特海曾通过纯逻辑的途径再加上集合论的选择公理和无穷公理把当时的数学严格的推导了出来，获得成功。故罗素宣称：“ 从逻辑中展开纯数学的工作，已由怀特海和我在《 数学原理》 中详细的做了出来。” 但是，事实并非如此，罗素从一个逻辑系统推导数学时使用了集合论的选择公理和无穷公理，这是不可缺的，否则不能完成。不用无穷公理则自然数系统就无法构造，更不要说全部数学了。所以，罗素并没有将数学化归为逻辑，而是化归为集合论。
要从逻辑推出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是自相矛盾的，没有相容性的，但是，在逻辑系统中是不允许有矛盾的，因此，必须排除悖论。可后来罗素与怀特海所做的工作并没有很好的解决这个问题，进而遭遇了不少困难。
数学基础学家一般都不接受“数学就是逻辑”的观点；同样也不能接受“一切数学思维都是逻辑思维”的说法。但是，尽管如此。罗素与怀特海合着的《数学原理》一书在20世纪的科学技术发展中影响很大。它以当时最严格的形式化的符号语言来陈述作者建立的逻辑体系、定义和定理，从而标志符号逻辑方法的成功。并显示了数学的逻辑基础研究的意义，因而进一步的显示了现代逻辑的科学意义。
《数学原理》一书成为名着。尽管逻辑主义的主张不能实现，逻辑主义的数学观不能为数学基础学者所广泛接受，但此书在方法论上的意义是不可忽视的。他们相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系，这在逻辑史上是一件大事，对数理逻辑后来的发展起了决定作用，是近代公理方法的一个重要起点。
二、形式主义
一般认为，形式主义的奠基人是希尔伯特 ，并把希尔伯特的数学观和数学基础称作为“形式主义”，罗素和布劳威尔都称希尔伯特为形式主义的代表人物，但他们是指希尔伯特奠定数学基础的形式化方法，不一定是指他的某种主张。而希尔伯特本人并不自命为形式主义者，他的学生贝尔奈斯也不认为希尔伯特是形式主义者。
1.形式主义的形成
形式主义理论体系是在非欧几何产生之后，在数学和数学哲学研究中弥漫的“重建数学基础”的气氛中形成的。
当非欧几何得到人们的承认，亦即当得出互相矛盾的定理的两种几何都证明了不自相矛盾的时候，人们便要问：数学的真理体现在那里？试想，一种几何说，过直线外一点只能作一条直线不与原有的直线相交；另一种几何说，过直线外一点至少可作两条直线不与原有的直线相交；还有一种几何说：过直线外一点不可以做任何直线于原有的直线不相交。这三种几何不是互相打架了吗？理应至少有两个是错误的，为什么三个几何都成立呢？
德国着名数学家希尔伯特主张，保卫经典数学和经典的数学方法，并且发展他们。他认为，经典数学，包括由于集合论的出现而发展起来的新的数学方向，都是人类最有价值的精神财富；为了在数学中避免出现悖论，就设法绝对的证明数学的无矛盾性，使数学奠定在严格的公理化的基础上，数学的公理和逻辑推理就像天文学家手中的望远镜那样重要，是不能丢弃的。为了实现这一目的，希尔伯特在1922 年提出了着名的希尔伯特计划 。
2.形式主义的基本思想
希尔伯特计划的主要思想就是：奠定一门数学的基础，应该严格的、数学的证明这门数学的协调性（即无矛盾性或一致性、相容性）；希尔伯特计划的数学内容就是数理逻辑中的证明论。
希尔伯特与贝尔奈斯合着的两卷《数学基础》是希尔伯特计划的代表作。
希尔伯特计划 ，将各门数学形式化，构成形式系统，然后用一种初等方法证明各个形式系统的相容性，即无矛盾性，从而导出全部数学的无矛盾性。
他区分了3 种数学理论：1. 直观的非形式化的数学理论；2. 将第一种数学理论形式化，构成一个形式系统，把直观数学理论中的基本概念转换为形式系统中的初始符号，命题转换为符号公式，推演规则转换为符号公式之间的变形关系，证明转换为符号公式的有穷序列；3. 是描述和研究第二种数学理论的，称为元数学、证明论或元理论。元数学是以形式系统为研究对象的一门新数学，它包括对形式系统的描述、定义，也包括对形式系统性质的研究。
形式主义的提出是数学发展史上最重要的转折点，它标志着元数学的建立。从此，数学的发展进入研究形式系统的新阶段。
这里我们要说明一点：形式主义和逻辑主义一样，都从公理系统出发，不同点是：逻辑主义者当追到逻辑公理系统时，不再持有原来的对公理体系的观点，而要求逻辑公理系统具有内容，而且想方设法探求逻辑规律的真理性究竟体现在什么地方，形式主义者则不然，他们认为数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中基本概念都是没有意义的，其公理也只是一行行的符号，无所谓真假，只要能够证明该公理系统是相容的，不互相矛盾的，该公理系统便得承认，它便代表某一方面的真理。连逻辑公理系统也认为是没有内容的，不能由内容方面保证其真理性，于是便只留下“相容性”即“不自相矛盾性”作为真理所在了。
希尔伯特原来设想，数学的相容性证明可以限于有穷的构造性方法范围之内。但是研究表现，这个范围应当加以扩充。哥德尔的不完备性定理说，“任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以在其中定义自然数的概念，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。” 、“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性”。 这个定理彻底粉碎了希尔伯特的形式主义理想。但是希尔伯特的数学基础思想却发展了元数学，这就把形式心理学向前推进了一步，促进了数学的发展。元数学（证明论）已发展为数理逻辑的四大分支之一。
形式主义的代表人物有美国数学家鲁滨逊和柯恩等人。他们认为：数学应该被看作一种纯粹的纸上符号游戏，对这种形式的唯一要求是不会导致矛盾。
但是，这种形式主义思想显然与希尔伯特的主张是不同的。
三、直觉主义
1.直觉主义的历史根源
直觉主义的思想可以追溯到亚里士多德时期，亚里士多德是历史上第一位反对实无穷，只承认潜无穷的哲学家。直觉主义的哲学观点则是直接渊源于康德和布劳威尔的自然数源于“原始直觉”，即是康德的“自然数是从时间的直觉推演出来”的主张。
19世纪的克罗内克强调能行性，说当时好些定理都只是符号的游戏，没有实际意义。他认为：“上帝创造了自然数，别的都是人造的。而整数在直观上是清楚的，故可以接受，其他则是可疑。” 其意是说，只有自然数是真实存在，其余都只是人为做出的一些文字符号罢了。他还主张在自然数的基础上来构造整个数学。
20 世纪初，庞加莱亦持自然数为最基本的直观及潜无穷的主张。其他如包瑞尔、勒贝格、鲁金等半直觉主义或法国经验主义亦强调能行性的观念。
他们公开否认选择公理，认为根据选择公理而作的集合，根本没有能行性，不能承认其存在。他们提出能行性的概念，没有能行性的便不承认其存在。他们都是直觉主义的先驱。所有这一切，都为布劳威尔的直觉主义提供了直接的前提，布劳威尔集其先驱们之大成，系统的提供了直觉主义的主张。
2.直觉主义的数学观思想
直觉主义的奠基人和代表人物是荷兰数学家布劳威尔, 从1907 年布劳威尔的博士论文《 数学的基础》 开始，直觉主义者逐步系统的阐述了他们的数学观和重建数学基础的主张。
他的数学观包括以下几个方面：
(1) 他对数学对象的观点。
他提出一个着名的口号：“存在即是被构造。”他认为，人们对数学的认识不依赖于逻辑和语言经验，而是“原始直觉”（即人皆有的一种能力），纯粹数学是“心智的数学构造自身”、是“反身的构造”，它“开始于自然数”，而不是集合论。这种数学构造之成为构造，与这种构造物的性质无关，与其本身是否独立于人们的知识无关，与人们所持的哲学观点也无关。构造物应该怎样就怎样，数学判断应该是永恒的真理。
因此，布劳威尔不承认有客观存在的、封闭的和已完成的实无穷体系。
实无穷论者认为“ 自然数全体” 就是指自然数集{0，1，2，3，……} ，这是一个确实存在了的完成了的集合，可以而且应该作为数学研究的对象。
潜无穷论者否认实无穷，认为无穷只是潜在的，并不是已完成了的封闭实体，只是就其发展来说是无穷的。在他们看来，自然,0，1，2，3，……只能是永远处于不断被构造和生成的过程，而不是完成了的、封闭实体。
所以，诸如“自然数全体”这样的概念是没有意义的。
(2)对数学所用的逻辑的观点。
布劳威尔对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻辑观点；认为“ 逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具” ，并认为，在真正的数学证明中不能使用排中律，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，因此不能无限制的使用到无穷集上去。同样不能使用反证法。
直觉主义对20世纪数学的发展产生很大的影响。本世纪30年代以后，由于哥德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以至全部数学，得出不少重要结果。
构造性数学已经成为数学科学中一个重要的数学学科群体，与计算机科学密切相关。1967年，美国数学家毕肖普完成并出版《构造性分析》一书，开始了直觉主义学派的构造主义时期。
历史证明，三大流派都有各自的优点和缺陷，但是他们弥补了数学基础的很多不足，为数学的严密性提供了更加精确的符号和语言。用G. H. Hardy的一句话来结束这篇文章吧：“Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.”

㈡ 数学有哪些分支哪些是属于难的数学中都有哪些有名的猜想和难题（已得出结果的和还待解决的）

希尔伯特的23个问题

希尔伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。

1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是着名的"希尔伯特23个问题"。

1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。

1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。

下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：

1． 连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是着名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。

2． 算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。

1988年出版的《中国大网络全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。

3． 两个等底等高四面体的体积相等问题

问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。

4． 两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。

《中国大网络全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。

5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。

6.物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。

7.某些数的无理性与超越性 1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。

8.素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。

9．在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。

10． 丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。

11． 系数为任意代数数的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。

12． 将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。

13． 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程 的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。

14． 证明某类完备函数系的有限性 这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。

15． 舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。

16． 代数曲线和代数曲线面的拓扑问题 这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。

17． 半正定形式的平方和表示 一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。

18． 用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。

19． 正则变分问题的解是否一定解析 对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。

20． 一般边值问题 这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。

21． 具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明 已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。

22． 由自守函数构成的解析函数的单值化 它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。

23． 变分法的进一步发展出 这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。

这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。

㈢ 世界数学史分为哪四个时期

学术界通常将数学发展划分为以下四个时期：数学形成时期、初等数学时期、变量数学时期、近现代数学时期。

一、数学形成时期；萌芽时期是最初的数学知识积累时期，是数学发展过程中的渐变阶段。这一时期的数学知识是零散的、初步的、非系统的，但是这是数学发展史的源头，为数学后续的发展奠定了基础。

这是人类建立最基本的数学概念的时期。人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。

中国历史悠久，发掘出来的大量石器、陶器、青铜器、龟甲以及兽骨上面的图形和铭文表明: 几何观念远在旧石器时代就已经在中国逐步形成。早在五六千年前，古中国就有了数学符号，到三千多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的数字已十分常见。

这时，自然数记数都采用了十进位制。甲骨文中就有从一到十再到百、千、万的十三个记数单位。这说明古中国也形成了数学的基本概念。

二、初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。

这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何(平面几何和立体几何)和平面三角等内容。

初等数学时期可以根据内容的不同分成两部分，几何发展的时期(到公元二世纪)和代数优先发展时期(从二世纪到十七进纪)。又可以按照历史条件的不同把它分成“希腊时期”、“东方时期”和“欧洲文艺复兴时期”。

希腊时期正好和希腊文化普遍繁荣的时代一致。希腊是一个文明古国，但是，和四大文明古国巴比伦、埃及、印度、中国相比，在文明史上，希腊文明要晚一段时间。

三、变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；变量数学产生于17世纪，经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分（Calculus），即高等数学中研究函数的微分。它是数学的一个基础学科。

内容主要包括极限、微分学、积分学、方程及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

四、近现代数学时期（19世纪20年代）；现代数学。现代数学时期，大致从19世纪初开始。数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础。代数、几何、分析中的深刻变化为特征。近代数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。

17世纪，数学的发展突飞猛进，实现了从常量数学到变量数学的转折。中国近代数学的研究是从1919年五四运动以后才真正开始的。

(3)日本数学有哪些学派扩展阅读：

历史介绍：

数学史研究的任务在于，弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究的基本方法与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。

史学家的职责就是根据史料来叙述历史，求实是史学的基本准则。从17世纪始，西方历史学便形成了考据学，在中国出现更早，尤鼎盛于清代乾嘉时期，时至今日仍为历史研究之主要方法，只不过随着时代的进步，考据方法在不断改进，应用范围在不断拓宽而已。

当然，应该认识到，史料存在真伪，考证过程中涉及到考证者的心理状态，这就必然影响到考证材料的取舍与考证的结果。就是说，历史考证结论的真实性是相对的。同时又应该认识到，考据也非史学研究的最终目的，数学史研究又不能为考证而考证。

㈣ 10大数学家的历史

欧几里德(eucild)生于雅典，接受了希腊古典数学及各种科学文化，30岁就成了有名的学者。应当时埃及国王的邀请，他客居亚历山大城，一边教学，一边从事研究。

古希腊的数学研究有着十分悠久的历史，曾经出过一些几何学着作，但都是讨论某一方面的问题，内容不够系统。欧几里德汇集了前人的成果，采用前所未有的独特编写方式，先提出定义、公理、公设，然后由简到繁地证明了一系列定理，讨论了平面图形和立体图形，还讨论了整数、分数、比例等等，终于完成了《几何原本》这部巨着。

《原本》问世后，它的手抄本流传了1800多年。1482年印刷发行以后，重版了大约一千版次，还被译为世界各主要语种。13世纪时曾传入中国，不久就失传了，1607年重新翻译了前六卷，1857年又翻译了后九卷。

欧几里德善于用简单的方法解决复杂的问题。他在人的身影与高正好相等的时刻，测量了金字塔影的长度，解决了当时无人能解的金字塔高度的大难题。他说：“此时塔影的长度就是金字塔的高度。”

欧几里德是位温良敦厚的教育家。欧几里得也是一位治学严谨的学者，他反对在做学问时投机取巧和追求名利，反对投机取巧、急功近利的作风。尽管欧几里德简化了他的几何学，国王（托勒密王）还是不理解，希望找一条学习几何的捷径。欧几里德说：“在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。一次，他的一个学生问他，学会几何学有什么好处?他幽默地对仆人说：“给他三个钱币，因为他想从学习中获取实利。”

欧氏还有《已知数》《图形的分割》等着作。

华罗庚

华罗庚,数学家，中国科学院院士。 1910年11月12日生于江苏金坛，1985年6月12日卒于日本东京。
1924年金坛中学初中毕业，后刻苦自学。1930年后在清华大学任教。1936年赴英国剑桥大学访问、学习。1938年回国后任西南联合大学教授。1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学和伊利诺斯大学教授，1950年回国。历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席。曾被授予法国南锡大学、香港中文大学和美国伊利诺斯大学荣誉博士学位。主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）；对G.H.哈代与J.E.李特尔伍德关于华林问题及E.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，至今仍是最佳纪录。
在代数方面，证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉当-布饶尔-华定理。其专着 《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论着作之一。其专着《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式。这项工作在调和分析、复分析、微分方程等研究中有着广泛深入的影响，曾获中国自然科学奖一等奖。倡导应用数学与计算机的研制，曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部着作并在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为“华-王方法”。在发展数学教育和科学普及方面做出了重要贡献。发表研究论文200多篇，并有专着和科普性着作数十种。

爱奥尼亚最繁盛的城市是米利都(Miletus,小亚细亚西南角海岸).地居东西方交通的要冲,也是古希腊第一个享誉世界声誉的学者泰勒斯(Thales 约公元前640-546年)的故乡.泰勒斯早年是一个商人,以后游历了巴比伦,埃及等地,很快学会了天文和几何知识.
自然科学发展的早期,还没有从哲学分离出来.所以每一个数学家都是哲学家,就像我国每一个数学家都是历法家一样.要了解人与自然的关系,以及人在宇宙中所处的位置,首先要研究数学,因为数学可以帮助人们在混沌中找出秩序,按照逻辑推理求得规律.
泰勒斯是公认的希腊哲学家的鼻祖.他创立了爱奥尼亚哲学学派,摆脱了宗教,从自然现象中寻找真理,否认神是世界的主宰.他认为处处有生命和运动,并以水为万物的根源.泰勒斯有崇高的声望,被尊为希腊七贤之首.
泰勒斯在数学方面的划时代的贡献是开始了命题的证明.他所得到的命题是很简单的.如圆被任一直径平分;等腰三角形两底角相等;两条直线相交,对顶角相等;相似三角形对应边成比例;半圆上的圆周角是直角;两三角形两角与一边对应相等,则三角形全等.并且证明了这些命题.
泰勒斯游历了许多地方,他在埃及的时候,应用相似三角形原理,测出了金字塔的高度,使埃及法老阿美西斯(Amasis 二十六王朝法老)大为惊讶.泰勒斯对于天文也很精通,据说在他的故乡附近曾经存在过两个国家:美地亚国(Media)和吕地亚国(Lydia).有一年发生了激烈的战争.连续五年未见胜负,横尸遍野,哀声载道.泰勒斯预先知道有日食要发生,便扬言上天反对战争,某月某日将大怒,太阳将被消逝.到了那一天,两军正在酣战不停,突然太阳失去了光辉,百鸟归巢,明星闪烁,白昼顿成黑夜.双方士兵将领大为恐惧,于是停战和好,后来两国还互通婚姻.据考证,这次日食发生在公元前585年5月28日.这大概是应用了迦勒底人发现的沙罗周期,根据公元前603年5月18日的日食推得的.
泰勒斯被誉为古希腊数学,天文,哲学之父,是当之无愧的.

斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170-约1250）
意大利数学家，12、13世纪欧洲数学界的代表人物。生于比萨，早年跟随经商的父亲到北非的布日伊（今阿尔及利亚东部的小港口贝贾亚），在那里受教育。以后到埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国等地游历，熟习了不同国度在商业上的算术体系。1200年左右回到比萨，潜心写作。

他的书保存下来的共有5种。最重要的是《算盘书》（1202年完成，1228年修订），算盘并不单指罗马算盘或沙盘，实际是指一般的计算。

其中最耐人寻味的是，这本书出现了中国《孙子算经》中的不定方程解法。题目是一个不超过105的数分别被 3、5、7除，余数是2、3、4，求这个数。解法和《孙子算经》一样。另一个“兔子问题”也引起了后人的极大兴趣 。题目假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生殖能力，问从一对大兔子开始， 一年后能繁殖成多少对兔子？这导致“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其规律是每一项（从第3项起）都是前两项的和。这数列与后来的“优选法”有密切关系。

拉格朗日〔Lagrange, Joseph Louis，1736-1813〕

法国数学家。
涉猎力学，着有分析力学。
百年以来数学界仍受其理论影响。

法国数学家、力学家及天文学家拉格朗日于1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析学产生兴趣。他亦常与欧拉有书信往来，于探讨数学难题“等周问题”的过程中，当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法， 奠定变分法之理论基础。后入都灵大学。 1755年，19岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会的工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论 、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些着作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。
到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题〔木星的四个卫星的运动问题〕而再度获奖。 同年，德国普鲁士王腓特烈邀请他到柏林科学院工作时说：“欧洲最大的王”的宫廷内应有“欧洲最大的数学家”，于是他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达20年。其间他写了继牛顿后又一重要经典力学着作《分析力学》〔1788〕。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支。
1786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎。其间出任法国米制委员会主任，并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工科学校任数学教授。最后于1813年4月10日在当地逝世。
拉格朗日不但于方程论方面贡献重大，而且还推动了代数学的发展。他在生前提交给柏林科学院的两篇着名论文：《关于解数值方程》〔1767〕及《关于方程的代数解法的研究》〔1771〕中，考察了 二、三及四次方程的一种普遍性解法，即把方程化作低一次的方程〔辅助方程或预解式〕以求解。 但这并不适用于五次方程。在他有关方程求解条件的研究中早已蕴含了群论思想的萌芽，这使他成为伽罗瓦建立群论之先导。
另外，他在数论方面亦是表现超卓。费马所提出的许多问题都被他一一解答，如：一正整数是不多于四个平方数之和的问题；求方程x2 - A y 2 = 1〔A为一非平方数〕的全部整数解的问题等。他还证明了π的无理性。这些研究成果都丰富了数论之内容。
此外，他还写了两部分析巨着《解析函数论》〔1797〕及《函数计算讲义》〔1801〕，总结了那一时期自己一系列的研究工作。 于《解析函数论》及他收入此书的一篇论文〔1772〕中企图把微分运算归结为代数运算，从而拼弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，为微积分奠定理论基础方面作出独特之尝试。他又把函数f(x) 的导数定义成f(x + h)的泰勒展开式中的h项的系数，并由此为出发点建立全部分析学。可是他并未考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，实只回避了极限概念，因此并未达到使微积分代数化、严密化的想法。不过，他采用新的微分符号，以幂级数表示函数的处理手法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。 而且，他还在微分方程理论中作出奇解为积分曲线族的包络的几何解释，提出线性变换的特征值概念等。
数学界近百多年来的许多成就都可直接或简接地追溯于拉格朗日的工作。为此他于数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。

拉格朗日〔Lagrange, Joseph Louis，1736-1813〕

法国数学家。
涉猎力学，着有分析力学。
百年以来数学界仍受其理论影响。

法国数学家、力学家及天文学家拉格朗日于1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析学产生兴趣。他亦常与欧拉有书信往来，于探讨数学难题“等周问题”的过程中，当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法， 奠定变分法之理论基础。后入都灵大学。 1755年，19岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会的工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论 、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些着作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。
到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题〔木星的四个卫星的运动问题〕而再度获奖。 同年，德国普鲁士王腓特烈邀请他到柏林科学院工作时说：“欧洲最大的王”的宫廷内应有“欧洲最大的数学家”，于是他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达20年。其间他写了继牛顿后又一重要经典力学着作《分析力学》〔1788〕。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支。
1786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎。其间出任法国米制委员会主任，并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工科学校任数学教授。最后于1813年4月10日在当地逝世。
拉格朗日不但于方程论方面贡献重大，而且还推动了代数学的发展。他在生前提交给柏林科学院的两篇着名论文：《关于解数值方程》〔1767〕及《关于方程的代数解法的研究》〔1771〕中，考察了 二、三及四次方程的一种普遍性解法，即把方程化作低一次的方程〔辅助方程或预解式〕以求解。 但这并不适用于五次方程。在他有关方程求解条件的研究中早已蕴含了群论思想的萌芽，这使他成为伽罗瓦建立群论之先导。
另外，他在数论方面亦是表现超卓。费马所提出的许多问题都被他一一解答，如：一正整数是不多于四个平方数之和的问题；求方程x2 - A y 2 = 1〔A为一非平方数〕的全部整数解的问题等。他还证明了π的无理性。这些研究成果都丰富了数论之内容。
此外，他还写了两部分析巨着《解析函数论》〔1797〕及《函数计算讲义》〔1801〕，总结了那一时期自己一系列的研究工作。 于《解析函数论》及他收入此书的一篇论文〔1772〕中企图把微分运算归结为代数运算，从而拼弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，为微积分奠定理论基础方面作出独特之尝试。他又把函数f(x) 的导数定义成f(x + h)的泰勒展开式中的h项的系数，并由此为出发点建立全部分析学。可是他并未考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，实只回避了极限概念，因此并未达到使微积分代数化、严密化的想法。不过，他采用新的微分符号，以幂级数表示函数的处理手法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。 而且，他还在微分方程理论中作出奇解为积分曲线族的包络的几何解释，提出线性变换的特征值概念等。
数学界近百多年来的许多成就都可直接或简接地追溯于拉格朗日的工作。为此他于数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。