❶ 到底什么才是真正的数学探索活动
到底什么才是真正的数学探索活动?
活动中该探索些什么？
活动后又该反馈些什么？
一个真正的数学探索活动首先不应该是肤浅的、仅仅停留在物体表面的，必须是有一定深度的、值得操作的探究活动，究竟该挖掘多深，要视具体情况而定。在这节课中，数学探索活动的真正价值应该体现在一个让学生亲身经历的、有序的、有效的、深层的动手探究算法多样化的数学学习过程中。集结师、生的彼此智慧共同去揭开减法算式的第二种意义的奥秘，向学生渗透“转化”、“一一对应”的数学思想，让学生体会学具操作的巧妙之处。
什么是探索？我认为探索就是让学生通过自己动脑、动手用自己想到的策略（可借助某些工具）去验证自己的猜测和设想，通过生生互助、师生互助去克服困难，获得真实的情感体验，从而总结、归纳出具体的措施、方法、技巧。学生的独立探索”不是“机械的去验证老师强加的方法”。
什么是反馈？我认为反馈就是在学生在小组内动手操作、合作交流、心存困惑或有收获的基础上展开的全班范围内生生、师生之间的一种心灵对话，所呈现于众的不仅仅应是结果、方法，我认为更重要的应是学生在探索的过程所经历的挫折、困难、困惑、、已解决或未解决的问题，以及解决的方法、形成的技巧、失败的因素、形成的情感、对今后的影响等，关键是老师怎样引领学生在生生间，点拨学生在生生间、师生间互动、交流，在原有的基础上，在探索的前提下有不同的发展，有更大的提高。
数学其实也很简单，就是研究要做什么，怎么去做，为什么这么做。另外要把学生当作学习的主体，抓住学生的兴趣点去设计教学。
❷ 怎样开展初中数学探究性学习
关于初中数学探究性学习的反思
[摘要] 探究性学习是近一两年来教育理论与实践领域提出的一个崭新的研究课题。探究性学习增强了学生与社会发展的联系,将从根本上改变学生的学习方式,并为学生的全面发展、为培养创造性人才提供了时空上的保证。随着理论研究和教育政策的推进,探究性学习在教育实践中日益受到关注和重视。由于探究性学习刚提出来不久,其理论研究与实践探索还远远不够,因而在具体操作中往往存在着许多困惑:探究性学习是什么?要达到什么目标?如何实施?本文就初中数学探究性学习中的一些问题作出反思和总结.
［关键词］初中数学、 探究性学习、反思总结
[正文] 探究性学习是近几年来教育理论与实践领域提出的一个崭新的研究课题。探究性学习增强了学生与社会发展的联系,将从根本上改变学生的学习方式,并为学生的全面发展、为培养创造性人才提供了时空上的保证。探究性学习是指学生在教师指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定探究专题，主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。探究性学习已作为必修课被列入《国家九年义务教育课程计划》中,目的在于培养学生的科学素养,创新精神和和实践能力. 本文就初中数学探究性学习中的一些问题作一些探讨和反思.
1. 探究性学习的课程理念
初中数学探究性学习，主要是指初中数学课堂教学中，学生在教师指导下，用类似科学研究的方式去获取知识、应用知识、解决问题的学习方式。这里，学生的探究学 习是在老师的指导下，班级集体教学的环境中进行的，它有别于个人在自学过程中自发的、个体的探究活动。而教师的主要角色则是数学学习的组织者、引导者与合作者。“用类似科学研究的方式”，即让学生通过“进行观察比较，发现、提出问题，作出解决问题的猜想，尝试解答并进行验证”的过程去揭示知识规律，求得问题的解决。其实质是让学生学习科学研究的思维方式和研究方法，利用已有的数学知识、数学思想方法去解决问题，从而培养学生主动探究、获取知识、解决问题的能力，培养学生的创新思维和实践能力，培养学生思维的广阔性。
1.1 重视学生的自主活动，实现学习方式的转变
探究性学习适应初中学生渴望独立，希望在自主的活动中体验成功、获得认可的需求，提供并创造了学生主动探究、独立操作、自由表达的"土壤"以及良好的氛围，学生在其中创新和实践，建立一种主动发现、独立思考并重视实际问题解决的积极的学习方式。学生在体验与创造中学习，在潜移默化中实现认识、情感、态度与观念的变化和发展。
1.2 从学生的兴趣出发，进入对问题的探究过程
兴趣是学生探究活动的起点，兴趣的满足需要在探究的过程中实现。关注学生的兴趣，将兴趣转化为可探究的问题，能有效地引导学生主动投入到探究性学习活动中，满足学生的发展需要，这样的学习活动，点燃了学生思维火花，也有利于培养学生对问题的质疑态度和批判精神，获得学习自由以及快乐的感悟和体验，对自我价值的认识和承认。如,师生准备一日游, 请学生根据统计的数据设计一份较为合理的租车方案;足球运动员在何处射门最好(不考虑其它因素)等这类问题都能很好地激发学生的兴趣.
1.3 提供开放的学习空间，发现和开发学生多方面的智慧潜能
每一个学生都具有多方面的智慧潜能，也存在着明显的个别差异。探究性学习的开放性使得学生可以依据自己的兴趣和爱好，在与他人合作学习、分享经验的过程中，通过各类探究方式，认识社会生活，认识世界，发现自我，形成健全的人格和积极的人生态度，同时也为学生提供了在开放的情境中展示个性，开发自己多方面才智的机会。如教学1公顷、1平方千米时，让学生测一测，亲自体验它们的大小。带领学生走上操场，目测、步量一个边长为100米的正方形，感受1公顷的大小；走上大街，步测1000米的长度，试估计以这一边为正方形的其它两个顶点分别在什么位置，体验1平方千米的大小。进而估计城区面积的大小，结合《社会》课学到的知识，让学生算出城区人口的密度，为居民娱乐、健身场所等提出规划建议。学生通过自主实践，在最大空间内体验到1公顷、1平方千米的大小，感受到数学与自己离得很近，就在自己的身边。
1.4 师生共同探求新知，课程成为教与学交互推进的过程
探究性学习的实施，是一个教与学交互推进的过程，要在教师和学生之间建立一种新的关系，教师要实现从单纯的知识传授者向学生探究性学习的组织者、指导者、促进者和参与者转变。在这种新的关系中，教师与学生共同探求新知，获得思维、能力、情感、价值观、行为等方面的发展。
2. 探究性学习的目标
探究性学习着眼于转变学生的学习方式，培养创新精神和实践能力，目标指向主要是学生学习兴趣的满足和能力品性的提高，强调学生对所学知识技能的实际运用、能力的形成和经验的获得，强调学生通过亲身体验加深对学习价值的认识，在思想意识、情感意志、精神境界等方面得到升华。具体来说，根据初中学生的年龄的特点，初中探究性学习的目标强调以下几点：
2.1 获得亲身参与探究活动的体验
探究性学习强调学生通过自主参与探究性学习活动，亲历问题探究的实践过程，获得科学探究的初步体验，加深对于自然、社会和人生问题的思考与感悟，激发起探索、创新的兴趣和欲望，并且逐步形成喜爱质疑、勤于思考、乐于在探究中获取新知的心理素质。
2.2 提高发现问题和解决问题的能力
探究性学习特别重视提高学生从对生活的观察与思考中发现问题并通过实践积极探究的能力。包括：发现并且确定探究的题目（项目）；提出探究设想并且自主开展探究活动；获得探究的结论，对事物（问题）的发展作出初步预测或提出适当的对策；展示或交流探究过程、成果、心得等。
2.3 培养收集、分析和利用信息的能力
探究性学习是一个开放的学习过程。通过探究性学习，学生要学会利用多学会整理与归纳，学会判断和识别信息的价值，并恰当地利用信息；学会运用获得的信息描述或说明事物（问题），并作出恰当的解释。
2.4 学会合作与分享
探究性学习提供了一个有利于人际沟通与合作的良好空间。学生要在学习过程中学会合作，培养团队精神。包括：在合作集体中既独立思考、积极主动，又乐于与伙伴互相帮助、彼此协作：自觉遵守合作规范，正确对待个人与集体关系：在合作中能够协调人际关系，主动与同伴交流、分享信息、创意和成果等。如“住校生月生活费与家庭收入关系问题”、“住校生住校周数与回家次数的问题”等等，每个问题的提出、分析、建模、解答、总结,无不应是同学们主动求知，团结合作的结晶。
3. 探究性学习的内容
根据学生认知形成和发展的规律，初中数学探究性活动可以分为：
3.1形成性探究是指针对教材内容，把一些知识形成过程的典型材料，设计为探究性问题：这些材料可以是数学概念、公式、定理、法则的提出过程；结论的推导分析和论证过程；知识的发生、发展和形成的过程；解题思路的探索过程；解题方法和规律的概括过程等。例如方程的概念教学，传统的方法是给出方程的定义，然后给出若干式子让学生判别哪些是方程。探究性学习的做法是，先给出若干式子，然后让学生观察，找出其中的一些共同特点，如一部分式子是等式，一部分式子是代数式，在等式中又有一部分是含有未知数的，这样我们就把这一种含有未知数的等式叫做方程。
3.2 建构性探究是指要立足于引导学生在理解数学知识的基础上，建立知识系统和网络，形成良好的认知结构，这个过程应让学生自主完成，它有利于加深学生对所学知识体系的认识，为培养创新思维打下良好的基础。例如，在学习“三角形内角和”这个内容时，教学中最常见的学生动手操作方式就是学生在教师的提示或要求下，用量角器先量出三角形的每个内角，然后相加，从而得出“三角形内角和是180°”过样的结论，用现代直观性教学的认识观，我们不禁要提出这样的问题：学生除了获得这个结论外，还获得了什么？如果让学生认识其他诸如四边形、五边形……边形的内角和，学生只能用动手量这一方法吗？实际上，教师完全可以不作要求或提示，只提供材料（大小不等的三角形和不同种类的三角形），由学生主动去解决所面临的问题。这样，学生不但会用量角的方法（一种最简单的一般性方法），可能也会用剪拼的方法（一种数学中特殊的化归方法）。这样，学生不仅仅获得了所要的结论，也掌握了一种数学认识中最常用的思想方法----化归法。以后学四边形内角和知识，完全可以化归为两个三角形，五边形内角和的认识，完全可以化归为三个三角形……等等。
3.3 应用性研究的目的在于增强学生的应用意识，并在知识的发展中培养创新意识，提高研究能力；教师要积极引导学生接触实际，了解社会，使他们在更加开放的环境中学习，切实提高分析和解决实际问题的能力。 如“中学生近视率的调查”、“上网吧费用问题” 等
开展探究性活动要从教材内容、教学设施；学生能力等实际情况出发，因材施教，因地制宜。探究性活动要由浅入深，结合学生心理特点和认知水平有计划地进行；教师的指导也要由多到少，逐渐过渡到学生的自主探究。
4. 初中探究性学习的实施
4.1实施的组织形式
探究性学习有多种组织形式，包括小组合作探究、个人独立探究以及在班级、年级或更大范围中展开的合作探究。
在综合实践活动课进行的探究性学习，应该较多地采取组成课题组，以小组合作形式展开探究活动。课题组可以由同班同学自由组合而成，也可以由跨班级、跨年级的兴趣相近的同学组合而成。课题组一般由3-6人组成，学生自己推选组长，聘请有一定专长的成人（如本校教师等）为导师。探究过程中，课题组成员有分有合，各展所长，协作互补。
个人独立探究时，一般先由教师向全班学生提出一个综合性的探究专题，然后由每个学生自定具体题目，并各自相对独立地开展探究活动，用一段时间完成。
采用全班集体探究的形式，全班同学需要围绕同一个探究课题，通过分工合作搜集资料、开展探究活动。通过几次全班集体讨论，分享信息和各人的创意，进行思维碰撞，由此推动同学们在原有基础上深化探究。
采取小组合作探究和全班集体探究的形式，要以个人的独立思考和认真钻探为基础，要强调集体中每个人的积极参与，避免出现一部分人忙、其他人闲，少数人做、多数人看的现象。采取个人独立探究的形式，则要引导学生经常主动地与他人交流探讨，学会信息和资源共享。
4.2实施的一般流程
初中探究性学习展开一般分为三个阶段：进入问题情境阶段、实践体验阶段和总结表达交流阶段。在学习进行的过程中这三个阶段是相互交叉和交互推进的。
（1）进入问题情境阶段
本阶段首先要采取多种形式，创设问题情境，明确探究任务。一般可以讲故事、开设讲座、组织参观访问等，目的在于做好背景知识的铺垫，激活学生原有的知识储备，提供探究范围，诱发探究动机。与此同时，学生要在教师指导下，学习从多个角度去发现问题和分析思考问题，建立探究性学习小组，邀请校内外指导教师提供帮助并共同参与探究活动；要积极探索，搜寻相关的资料，进入探究问题的状态，并归纳出准备探究的具体题目，形成最基本的目标和思路。
（2）实践体验、解决问题阶段
在确定需要探究解决的问题以后，学生要进入具体的解决问题过程，通过实践体验，形成一定的观念、态度，掌握一定的方法。
本阶段中，学生实践、体验的内容包括：在开放情境中主动搜集和加工处理信息，小组合作与各种形式的人际交往、沟通，以科学态度解决实际问题，从一定角度认识环境、发现自我等。在解决实际问题的过程中，学生往往会碰到各种困难，初中生兴趣激发快、变化也快的特点容易使他们的探究活动不能持久，需要得到教师的及时关心、指导和督促。
（3）总结、表达和交流阶段
学生要有始有终地完成探究性学习项目的任务，争取达到预期的目标。但是，经过努力仍不能获得满意的结果也是正常的，并不意味着学习的失败。在这一阶段，学生要将自己或小组经过实践、体验所取得的收获进行整理、加工，形成书面材料和口头报告材料。学生通过交流、探讨与同学们分享成果，这是探究性学习不可缺少的一个环节，在交流、探讨中，学生要学会理解和宽容，学会客观地分析和辩证地思考，也要敢于和善于申辩。
4.3 实施中的教师指导
在探究性学习中，学生是积极主动的学习者，并不意味着可以忽视教师的作用。教师能否运用促进性的指导技能，对于探究性学习的展开并取得效果，具有决定性意义。
（1）针对初中生文化、科学知识基础比较薄弱和解决实际问题的方法、经验的实际状况，在探究性学习开始阶段，可以结合实例对学生进行一定的基础训练，帮助学生掌握利用工具书（如索引、文摘、网络全书等）、使用视听媒体、做笔记、进行访谈，对资料做整理和分类等方面的技能，以便于学生比较顺利地进入探究过程。（2）在探究性学习实施过程中，教师要及时了解学生开展探究活动的情况，有针对性地进行指导、点拨与督促：要组织灵活多样的交流、探讨活动，促进学生自我教育，帮助他们保持和进一步提高学习积极性：对有特殊困难的小组要进行个别辅导，或创设必要条件，或帮助调整探究计划。教师要在探究性学习的实施过程中实现从知识传授者到学生学习的组织、指导、参与者的角色转换。（3）实施探究性学习时，教师要注意争取家长和社会有关方面的关心、理解和参与，开发对实施探究性学习有价值的校内外教育资源，为学生开展探究性学习提供良好的条件。（4）在探究性学习实施过程中，要指导学生写好探究日记，及时记载探究情况，真实记录个人体验，为以后进行总结和评价提供依据。
5. 探究性学习的设计举例
数学中的每一个定理结论都是前人经过艰苦的探索发现的。即使是一个一般的命题，一个猜想，其提出的过程也凝聚了数学家的智慧。传统的做法往往是给出现成的结论，然后照搬现成的证明。这样做使学生始终处于一种被动接受的地位，学生总是心存疑虑：这个定理是怎么来的？这个证法是如何想到的？初中数学探究性学习就是要改变这种学习的被动局面，消除学生心理上的疑虑，让学生主动积极地去参与探究，尝试发现，成为学习的主人。
如在初三数学兴趣班中进行圆幂定理的教学：
问题：过一定点P任意作一直线与已知半径为r的圆O交于两点A、B，已知PO = d，那么如何求PA·PB的值？
（1）按照要求画出图形（见图1、图2、图3）（培养发散性思维）
（2）不妨先研究点P在圆外的情况，似乎不易着手，可从特例入手。（这一过程培养学生的探究能力）
先看点P在圆外，过点P的直线过圆心O，如图4，已知PO = d，AO = BO = r，则可得PA·PB = (d- r)(d+ r) = d2- r2 .
再看过点P的直线与圆O相切于点A，如图5，这时A、B两点重合，PA·PB = PA2，由勾股定理得PA·PB = PA2 = d2- r2 .
现在你能猜出PA·PB的值吗？试证明你的猜想。
如图7，作OM⊥AB垂足为M，根据垂径定理得点M是AB的中点，
不妨设AM = BM = x，则PA·PB =（PM- x）(PM+ x) = PM2- x2，
显然AM2+ OM2 = r2，PM2+ OM2 = PO2，从而有x2 = r2- OM2.
所以，PA·PB = PM2- (r2- OM2) = PM2 + OM2- r2 = d2- r2.证实
自己的猜想正确。
对点P在圆内的情况可以类似解决；至于点P在圆上此时，PO = r = d，易知结论仍然正确。
（3）学生归纳得到圆幂定理（培养归纳思维能力）
（4）你们还能有其它方法证明圆幂定理吗？（培养学生创新能力和灵活运用数学思想方法的能力）
经过小组讨论，有同学提出可用三角方法来证明。
先研究点P在圆外的情况，如图8，
设∠APO =α，PA = x1,PB = x2.
在△PAO中，有x12+ d2- 2dx1cosα= r2,即x12 - 2dx1cosα+ d2-r2 = 0.
在△PBO中，有x22+ d2- 2dx2cosα= r2,即x22 - 2dx2cosα+ d2-r2 = 0.
所以，x1、x2是方程x2 - 2dxcosα+ d2-r2 = 0的两个根。由韦达定理得，x1x2 = d2- r2.即PA·PB = d2- r2（定值）.
点P在圆内的情况，如图9，设∠BPO =α，PA = x1,PB = x2.
在△PAO中，有x12+ d2- 2dx1cos（л-α）= r2,即x12 - 2dx1cosα+ d2-r2 = 0；
在△PBO中，有x22+ d2- 2dx2cosα= r2,即x22 - 2dx2cosα+ d2-r2 = 0。
所以，- x1、x2是方程x2 - 2dxcosα+ d2-r2 = 0的两个根。由韦达定理得，（- x1）x2=d2- r2.即PA·PB = r2 - d2（定值）.
若点P在圆上，此时，PO = r = d，仍有PA·PB = d2- r2 = 0(定值)
所以，无论点P的位置如何，都有PA·PB = |d2- r2|（定值）。
（5）你能推广这个命题吗？（培养创新能力）
经过学生小组探索，可得：相交弦定理、割线定理、切割线定理。至此，学生的创造性得到了充分的发挥。
（6）归纳小结，由各组自己归纳出应该注意的问题或数学思想方法等，找一个代表发言。教师予以鼓励或加以完善。
整个过程以小组活动为主，教师适当指导，在关键之处给予点拨,使学生切身体验了科学探究探索的全过程。在最终得到圆满结论获得成就感的同时极大地调动起自主学习探究的积极性。我们有理由相信这一体验千倍于解答若干习题的功效.
6.为“探究性学习”把脉
6.1明显的优点
（1）学校的显性课程变成了隐性课程，课堂由室内延伸到了校外。崭新的学习方式将使越来越多的学生越来越主动地学习，为他们的健康成长，创造一个良好的人文环境。（2）教育结果的评估将远离循规蹈矩式的纸上谈兵，不再以分数论“英雄”，不追求学生一定要在探究中有新发展，只希望他们每一步都有追求、有思考，在参与、发现、体验中学习、成长。（3）“探究性学习”将全面培养学生开拓性思维、体验式自信，充分挖掘学生可持续发展的潜力。
6.2潜在的危机
（1）将“探究性学习”课程定格为非应试教育的范畴，终身享受“副科”级待遇，从而使其因束之高阁而蒙尘。（2）过分依赖“探究性学习”，将它视为培养学生的灵丹妙药，忽视“基础知识、基本技能”的有素训练，否定“接受性学习”的作用，淡化对学生的个性、意志、品质等心理塑造。
总之，如何开展“探究性学习”的问题是摆在我们每个教育工作者面前的实践任务，我们要不断地通过尝试、交流、探讨、总结，使之逐渐完善，从而为教育事业的发展做出我们应有的贡献。
参考文献
1.胡兴宏. “关于学校实施探究性学习的构想”，《上海教育科探》2000年第1期。
2.张 华 .论"探究性学习"课程的本质 教育发展探究2001.5
3.赵满军.高中生研究性学习指导手册.辽宁师范大学出版社.
4.单文海.研究性学习从问题开始.数学通报.2003.4
5.蒋佩锦.关于开展“研究性学习”活动的一些思考. 数学通报.2003.5
6.王光明.有关研究性学习的几个问题. 数学通报.2003.5