什么是数学抽象

‘壹’ 什么是抽象数学

为了发挥标准数字、加号、括号及其他符号的优势，人们经常把文字叙述写成用一系列符号表示的形式体系。但是，那时这些符号并不是数学的一个必要特征。虽然文字叙述同样被用来表示李子、香蕉、苹果和橘子，然而那时候，数学叙述(由任意符号构成)越来越明显地成为数学的一种单纯的精确的结构模式。很快，少数几个有远见的人物开始懂得了数学叙述的特点，哥德尔即是他们中的佼佼者，这种看待事物的方式打开了数学的一个新的分支学科——抽象数学。常用的数学分析方法是与抽象数学的模仿一萌芽阶段相联系的，这一阶段形成了形式体系的本质——数学本身被假设为抽象数学的原始样本。这样数学就像一条自食的蛇一样又扭过头来盘住了自己。哥德尔表明，怪异的结论恰恰来自用数学透镜观看数学本身时的聚焦过程。理解这一结论的方法之一就是想象在一颗遥远的行星上(比如说火星)，所有用于写传奇作品的符号碰巧是我们平时用的0～9的阿拉伯数字。这样，火星人将会在他们教科书中讨论一个着名的发现，他们会发现地球上的我们与欧几里德有关，而同时我们会说：“他们的作，”他们写的东西则像这样：“。”对我们来说它像一个46位的数字。而对火星人来说，它根本不是数字，而是一句陈述语。的确，对他们来说，他们写的这些素数代表着34个字母，6个单词和几行话，就像我和你应用英文字母一样。现在让我们来想象着讨论一下所有的数学定理之间存在的普遍属性。

‘贰’ 数学抽象的基本形式有哪些

数学抽象的四种形式：
1、实物层面的抽象
这个层面的抽象，实际上是立足于已有的生活经验和社会现实，进行第一步抽象，即以实物为对象进行抽象，到刚刚超越实物而尚未完全脱离实物即结束。例如：在七年级上册《有理数的乘方》这一节中，用文字和图片一起呈现出细胞分裂的过程，细胞每过30min便由1个分裂成2个，经过5h，这种细胞由1个能分裂成多少个？从这样一个有趣的过程中抽象出数学问题，能够很快的激发学生的学习兴趣。在七年级上册《丰富的图形世界》这一节中，教科书提供了几幅图片，引导学生感受图形世界的多姿多彩，并且通过给出各种实物模型，让学生认识圆柱、圆锥、正方体、长方体和球这五种几何体。在八年级下册《图形的旋转》中，呈现出一幅旋转的摩天轮，瞬间把学生带入旋转的情境中去感受旋转，继而思考什么样的图形运动可以称之为图形的旋转。这些都是典型的借助“实物”的直接抽象。在这些过程中，通过设计好的情境，加上教师的有意引导，学生在仔细观察图片中物体的基础上，思考有理数的乘方、几何体、图形的内在本质属性，形成自己对这些知识的初步认识。
2、半符号层面的抽象
这个阶段实际上是简约阶段的一种，是建立在实物抽象的基础之上的进一步发展。此时，有关的属性已经从实物中提取出来、抽象出来，但是并没有完全脱离实物，或者更确切的说，是部分属性脱离了实物，而其中的关键属性已经初见端倪。例如：在七年级下册《单项式乘多项式》这一节中，教科书要求在一幅长x米宽mx米的画左右两边各留1/8x米的空白，求画的面积是多少？接着展示了两种算法，通过对同一面积的不同表达，可以得到: x(mx-1/4x)=mx2-1/4x2 此时单项式乘多项式的有关属性已经呈现出来。在《图形的全等》这一节中，在学生已经了解了什么是全等图形之后，教科书呈现出多个形态各异的图形，要求学生从中找出全等图形，这也是实物直观层面的第二次抽象。在这个过程中，全等图形是能够完全重合的图形这一关键属性已经凸显出来，学生要做的便是依据全等图形的概念来找出能够完全重合的图形。

3、符号层面的抽象
这个层面的抽象属于数学抽象的符号阶段，具有典型的阶段性、层次性。准确的说，符号层面的抽象已经去掉了具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物。例如：在七年级上册《合并同类项》这一节中，观察四组代数式，找出它们的共同特点，然后总结出同类项的概念，并进而得到合并同类项法则。在这个过程中，学生在观察代数式和探索合并同类项及其合并同类项法则的同时，尝试着用文字去表述自己的发现，这就是在进行符号层面的抽象。在八年级上册《勾股定理》的教学上，首先通过探索活动让学生们初步感受直角三角形三边长之间的特殊关系，接着引导学生用语言准确表述这样一种特殊关系，最后赋予直角三角形三边以符号表示，并用符号语言来描述出勾股定理。这样一种礼仪概念、图形、符号表述一类事物的方式就是典型的符号层面的抽象。在这个过程中，学生首先要通过观察“邮票”这一实物对研究勾股定理的这个基本图形形成一个直观认识，在经历分析、猜想、尝试等过程探求两个小直角三角形面积与大直角三角形面积之间的数量关系的方法，最后通过分析、推理得到直角三角形三条边长之间的特殊关系。这样一个过程能够让学生在经历勾股定理的探索过程后，更深刻的认识、理解这个定理。在九年级上册《相似多边形》这一节总，在学生已对相似图形有了最初的直观感受后，通过观察、分析五组形态各异的图形的内在共同特征，总结归纳出相似图形的定义，学生从初步认识相似图形，到深入了解相似图形，这整个过程都参与其中，十分有利于学生对相似图形的全面理解。
4、形式化层面的抽象
这个层面的抽象属于数学抽象的普适阶段，即通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物。这个阶段的抽象在中小学也是时常存在的。例如：在七年级下册《二元一次方程组》这一节中，基于上一节《二元一次方程》已经完成了从“一元”到“二元”、新的数学模型的建立，该节内容的学习主要集中在类似于“鸡兔同笼”问题的解决上。建立模型后，将模型运用到一般问题的解决上，这一过程是典型的形式化抽象。再比如说，在九年级下册圆周角定理的呈现上，通过猜想、推理得到圆周角与圆心角之间的半倍关系，继而引导学生运用这一关系去解决一些具体的问题。在这一过程中，学生首先要形成对圆周角概念的认识，再在测量同一圆的圆心角和圆周角度数的基础上，大胆猜想圆心角与圆周角的数量关系，接着在教师的引导下逐步形成证明这一关系的思想和方法，最后能够将这一定理熟练地运用到解决实际问题当中。在九年级上册《相似三角形的性质》这一节中，通过深入分析探索得到证明相似三角形、相似多边形的周长比的方法，继而引导学生运用所得方法去尝试解决相似三角形、相似多边形的面积比、高比等，在这个过程中，学生不仅学到解决问题的方法，还知道了将习得的方法用在其他问题的解决上，符合新课标提出的重视“过程与方法”的目标。
总体来看，现行初中教材中情境中采用最多的是实物层面的抽象，正文中采用最多的是符号层面的抽象，练习中采用最多的是实物半符号层面的抽象，数学活动中最多采用的是形式化层面的抽象。

‘叁’ 怎样理解数学抽象性

抽象性可以归纳为以下三点:
（1）不仅数学概念是抽象的,而且数学方法也是抽象的,并且大量使用抽象的符号。
（2）数学的抽象是逐级抽象的,下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景。
（3）高度的抽象必然有高度的概括。

‘肆’ 六大数学核心素养分别是什么意思该如何培养

数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。

数学抽象

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。

在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。

逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。

逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。

在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。

数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。

数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。

在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。

直观想象

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。

在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。

数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。

数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段。数学运算是计算机解决问题的基础。

在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

数据分析

数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程。主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论。

数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面。

在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的能力，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。

‘伍’ 什么是数学中的抽象

抽象是和具体相对的，比如1，2，3……是具体的数，当用字母表示数的时候，比如a，b，c等表示数，那么a，b，c就是抽象的。

‘陆’ 小学数学的抽象特点

小学数学教学中的抽象性  抽象性可以归纳为以下三点:  
（1）不仅数学概念是抽象的,而且数学方法也是抽象的,并且大量使用抽象符号。  （2）数学的抽象是
逐级抽象的,下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景。 
（3）高度的抽象必然有高度的概括。
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抽象在小学数学教学中的应用 
新课程的总体目标指出：学生要能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其它学科学习中的问题。特别从知识与技能，数学思考、解决问题、情感与态度四个方面对抽象性所要达到的要都作了明确的规定。因而教师在教学中要关注学生抽象思维的形成过程，抽象能力的培养，用数学知识解决相关问题能力的提高。 
现阶段教学中抽象性教学存在的问题  （1）教学目标不明确，忽视抽象性的培养或抽象性的定位不准确。如基本数量关系的教学方面，从低年级一直延续到高年级。而在实际的教学过程中，低年级比较重视，到中、高年级基本上不提。教材给的许多基本题，特别是有关计算时的例题，是教学数量关系的最好例子。但教师往往重视计算教学的过程，而忽视抽象的数量、思维方法的训练。学生只掌握计算的方法，而造成解决问题方法的缺失。  （2）概念知识讲解不清，概念的意义讲解不透。由于对抽象性教学的淡化，学生对概念只具有形象性的知识，对于概念的名称及所包含的不清不透，甚至出现当用文字表述时不知所描述的是什么概念。如同一平面内两条直线的位置关系，如果呈现图，学生能正确区分平行与相交，而问两条直线位置关系时，许多学生就不能正确回答出平行与相交。再比如，平行四边形这一概念。什么是平行四边形，教材中并没有给出明确的表述，而是通过观察图形，形成平行四边形的概念。至于什么是平行四边形，平行四边形的特点并没有完整的认识，学到梯形时，学生对这两个概念就容易混淆。  （3）知识系统的缺失。知识点要形成一个系统必须通过抽象的手段。杂而繁多的知识点分部于各册教材中，就每一个知识点而言都是具体的知识。就具体讲只是个别的知识。，只有通过抽象将具体的知识点转化为抽象的知识并与其它的抽象知识相联系，才能形成系统的知识，也更便于学生的掌握。如整数乘法计算的教学，从表内乘法到两位数乘一位数、两位数乘多位数、多位数乘多位数，计算
    方法是统一的，也是抽象的，但更主要的还是乘法意义的理解。乘法的意义是乘法计算的一根主线，去掉主线就很难形成系统性的知识。特别是乘法分配律的应用，以及相关的应用题教学时就会遇到较大的困难。  （4）形而上的现象比较突出。为了突出数学学习的生活性、趣味性、教师在教学过程中往往注重设计生活化与趣味化的情境，以提高学生的学习兴趣。但忽视了现代儿童的心理特点与社会经验，造成了形而上的现象。如低年级教学中常用些小动物创设情境，但现代儿童已不满足于小动物的表演，他们接触多的并不是小动物，对此类的情景并没有过多的兴趣。再比如平面图形的计算中经常通过设计房间的情境，但现代的孩子又有多少关心过家庭的房间呢？ 
2、教学抽象性缺失的解决策略。  （1）提高教师的教学能力。教师要有对系统知识把握的能力，有足够的知识储备，有广汲并蓄的能力。教师只有对所教知识有整体的把握，才能知道各知识点的前后联系，有针对性地设计富有生活性、趣味性、挑战性的情境，让学生在解决问题中得到发展。接受学习并不过时，上位学习影响下位学习，下位学习要综合成上位学习，这样才能形成知识的系统性。同时教师的教学能力强，才能用易于学生接受的方式表述各知识点，从而提高课堂教学的效率。

‘柒’ 数学的本质是什么抽象思维是什么

什么是抽象思维
抽象思维，简单说就是建立在概念上 逻辑 推理 归纳 分析 一种思考方法。
概念是抽象思维的核心。抽象思维本身又是一种概念，可以理解为对思维方式的抽象。
关于抽象思维概念
广义的抽象思维，泛指逻辑思维，尤其是形式逻辑思维。这里包括对思维形式(概念、判断、推理)，思维基本规律(同一、矛盾、排中和充足理由律)和思维方法(分析、综合、抽象、概括、比较、分类、归纳、演绎等等)的研究。
狭义的抽象思维，则是指从复杂事物中，抽取本质属性，舍弃其他非本质属性的思维过程。与概括相互联系、密不可分。
以上内容处处存在概念，也就是处处存在抽象，我们每个人都能看懂，首先可以肯定我们都具备抽象思维。
来看下人类大脑随着年龄发展的阶段
0-2岁:感知运动
2-4岁:感知符号，形成具象思维
4-7岁:形成概念，开始由具象思维到抽象思维转变
所以孩童时代所接受的教育，其实大多帮助我们完成这个过程，训练我们的思维能力，我们能接受到这些教育，是因为我们有文字，语言，而文字，本身又是一种抽象。
人们为了描述这个世界，发明了语言。
你为了抽象出一个事物，也必须用特定语言去描述它。
文字的出现，使信息交流与传播可不受时空限制，也有可能开成人类群体共同的知识库。为人类抽象思维提供了物质基础。
所以，有了文字才有抽象思维可能。人类拥有文字，具有抽象思维能力。抽象思维能力是人类与动物的根本区别。
抽象思维为我们带来了什么
来看现代社会的科技成果
笛卡尔的解析几何，牛顿三大定理，几何，分析，微积分，代数，电磁学，相对论，量子力学，天体物理，黑洞，宇宙大爆炸，DNA，生物进化等等。细胞，分子，原子，电子，质子，中子；成功登月，飞出太阳系，探索火星。发明了蒸汽机，汽车，飞机，火车，电灯，电话，电视，电冰箱,手机，半导体，晶体管，电子管，LCD，人造卫星，航天飞机，计算机，处理器，软件，互联网；还发明了枪炮，炸药，导弹，原子弹，氢弹。冰箱,空调,洗衣机,电视,电话,电脑,手机,塑料制品,供电,燃具，化学工业,冶金工业,做房子的钢筋水泥,建筑工业,机械制造,交通运输,汽车,火车,飞机,通信业
令人惊讶的是,这些科技成果,都是在西方文艺复兴,启蒙运动之后发明的,基本上是近300年内发明的. 之前，是封建禁锢的社会。
思想解放之后，人类从具备抽象思维到擅长抽象思维，这是一个本质变化，才使得我们现代美好的生活成为可能。
举个例子
22*28=616;
27*23=621;
33*37=1221;
……
请问：73*77=?
这是一种找规律的题目，答案能立刻回答:5621。
规律是十位数相同，个位数为相加为10的两个数的乘积的快速算法。
到了初中，引入了X 对数字进行抽象
(10x+a)*(10x+b)=100*x*x + 10x(a+b) + ab =100x(x+1)+ab 如果a+b=10的话。
所以，22*28=100*2*（2+1）+2*8 = 616
很多复杂的规律，因为一个x的代入和抽象，变的简单。数学使上述成果变为可能。
同理，哲学，自然科学，社会科学等等都是抽象思维的结晶。
世界上的物质纷繁复杂，眼花缭乱。人最大的特点是容易被眼睛看到的物像所吸引，如果每个人都止步不前，不去深入思考内部深层次的原理，社会不会进步。
从地球是方的到地球是圆的，从托勒密的地心说再到哥白尼的日心说，从牛顿的万有引力再到爱因斯坦的相对论。
由此可见，人类文明的进步，靠的是一群擅长抽象思维的群体。

‘捌’ 在数学中，什么是抽象抽象的东西是否可以客观存在

抽象
指的是极限思想，假设思想，类比思想，和逻辑推理吧。就比如说
微积分，就是极限思想的具体表现。
既然是抽象的，就不是客观存在的，但在某种程度上，却可以当作事实。

‘玖’ 高中数学“抽象”是什么意思

抽象是通过分析与综合的途径，运用概念在人脑中再现对象的质和本质的方法，分为质的抽象和本质的抽象。分析形成质的抽象，综合形成本质的抽象（也叫具体的抽象）。

‘拾’ 什么是数学抽象

所谓的抽象数学，一般来说是批量处理一些具象的数据。