A. 数学中“群”的概念和应用
在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。要具有成为群的资格，这个集合和运算必须满足一些被称为“群公理”的条件，也就是结合律、单位元和逆元。尽管这些对于很多数学结构比如数系统都是很熟悉的，例如整数配备上加法运算就形成一个群，但将群公理的公式从具体的群和其运算中抽象出来，就使得人们可以用灵活的方式来处理有着非常不同的数学起源的实体，而同时在抽象代数之上保留很多对象的本质结构体貌。群在数学内外各个领域中是无处不在的，使得它们成为当代数学的中心组织原理。[1][2]
群与对称概念共有基础根源。对称群把几何物体的对称特征定为：它由保持物体不变的变换的集合，和通过把两个这种变换先后进行来组合它们的运算构成。这种对称群，特别是连续李群，在很多学术学科中扮演重要角色。例如，矩阵群可以用来理解在狭义相对论底层的基本物理定律和在分子化学中的对称现象。
群的概念引发自多项式方程的研究，由埃瓦里斯特•伽罗瓦在 1830 年代开创。在得到来自其他领域如数论和几何的贡献之后，群概念在 1870 年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科，它以自己的方式研究群。 为了探索群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和单群。除了它们的抽象性质，群理论家还从理论和计算两种角度来研究具体表示群的各种方式(群表示)。对有限群已经发展出了特别丰富的理论，这在1983年完成的有限简单群分类中达到顶峰。
B. 什么是数学上的群
这是抽象代数的内容:
集合是基本概念,相当于一类/一堆/全体/...你该理解，不说了。
群是特殊的集，在它上面可以定义一种运算（通常叫做“乘法”，但跟数的乘法无必然联系），要封闭/可结合/有单位元（类似乘1/加0）/有逆元（类似乘倒数/加相反数）...
例如，正有理数是乘法群，非零有理数也是乘法群，整数集在加法下成群。
注意，群不要求交换律，如果满足交换律，叫阿贝尔群（或加法群）。
环和域的要求就更高了，不必给你讲抽象的，只在数的范围内讨论：
在加/减/乘下封闭的数集是数环，如果数环在除法下也封闭，就叫数域。
某数的倍数全体（包括负的）成一数环，有理数集是最小的数域，实数集/复数集也是数域。
更深的内容参见大学课本，抽象代数/近世代数之类......
C. 请问数学高手单群是什么
1. 有限单群 我们知道，数学的发展中有一个基本观念—群。群也是数学之中各方面的最基本的观念。怎样研究群的结构呢？最简单的方法是讨论它的子群，再由小的群的结构慢慢构造大一些的群。群中最重要的一种群是有限群，而有限群是一个难极了的题目，需要有特别的方法，特别的观念去研究。 命G为群，g∈G为一子群，如对任何g∈G，gH-1g ∈H，则称H为正规的(nomal)。正规子群存在，可使G的研究变为子群H及商群G/H的研究。这样就有一个很自然的问题，有哪些有限的单群(simple group)。单群除了它自己和单位元(identity)之外，没有其他的非平凡的正规子群(normal subgroup)。数学上称其为简单群，其实一点也不简单。有限群论的一个深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交换单群的阶(数)(即群中元素的个数)是偶数。更不寻常的是除了某些大类(素数阶循环群Zp,交错群An(n>=5)，Lie型单群)外，后来发现了26个零零碎碎的有限单群(散在单群，离散单群)，现在知道，最大的散在单群的阶是
41 20 9 6 2 3 54 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 47 59 71 =808,017..=1054
这是很大的单群，由B.Fisher和R.L.Griess两位数学家所发现，数学家称它为魔群(怪物，Monster)。单群的权威数学家D.Gorenstein相信有限单群都在这里了，这当然是数学上一个很好的结果。把单群都确定了，就像化学家把元素都确定了，物理学家把核子的结构都确定了一样。可这里有个缺点，Gorenstein并未将证明写出来。他讲若将证明写出来至少有1000页，而1000页的证明无论如何很容易有错误。可是Gorenstein又说，不要紧，若有错误，这个错误一定可以补救。你相信不相信？数学界有些人怀疑这样的证明是否必要。现在计算机的出现，许多问题可以验证到很大的数，是否还需要严格的证明，已变成数学上一个有争论的问题。这个争论看来一时无法解决。段学复先生是我的老朋友，是有限群论的专家，也许我们可以问一下他的意见。我个人觉得这个问题很难回答。不过数学家有个自由，当你不能做或不喜欢做一个问题时，你完全不必投入，你只需做一些你能做或喜欢做的问题。
D. 群应该满足哪些定律（数学文化）
以加群G为例，应满足：
1)任a,b∈G,则a+b∈G;
2)任a,b,c∈G,则(a+b)+c=a+(b+c);
3)存在0，对任a∈G,都有a+0=0+a=a;
4）对任a∈G,存在-a,使得a+(-a)=(-a)+a=0.
E. 数学问题中群的概念
多项式的对称假设 是未知数， 是 的二次方程， ,它的两个根 有如下关系： ， 和 都有这样的性质：把 和 对换，结果仍然不变，因为 ， 凡是有这样性质的 和 的多项式叫做对称多项式。例如， , 也是对称多项式，但是 就不是对称多项式。并且我们习惯上把 和 叫做初等对称多项式。我们来看一般情况，设n∈Z+, a0，a1，……an∈C,a0≠0设现在有一元n次多项式方程： 着名的代数基本定理告诉我们，这样的方程有n个根，假设为 ，那么： 和二次的情形相仿，韦达定理给出： 像如上左边各式： 等这样的多项式，不论我们对 ，作怎样的排列，都是不会变的。也就是说我们把 ， 是一个n排列,那么以上的式子是不会变的。这样的式子我们称为 的对称多项式，并且以上的几个对称多项式为初等对称多项式。定义6：设 是C上的一个n元多项式，如果对这n个文字 的指数集{1，2，…n}施行任一个置换后， 都不改变，那么就称 是C上一个n元对称多项式。例如: 是对称多项式，而 就不是，如果把：1→2，2→3，3→1 那么 初等对称多项式的重要性在于定理（对称多项式基本定理）：每一个n元对称多项式都可以唯一地表示成初等对称多项式的多项式。现在我们用群的语言去描述n元多项式的对称性。令 ,Sn是M的变换群，即前面提到的n次对称群。如果我们略去字母 而只记下标，这时Sn中的元素可以记为： 是一个n排列。令F 记数域F上n元多项式的全体。对 ,利用 可以定义F 到F 的一个映射， 那么 是集合F 的一个一一变换。为什么？ 令 Tn中 那么（Tn，o）满足 ，称之为F 的置换群。如果把n元多项式和平面图形类比，把F 和平面类比，则F 的置换群相当于平面的运动群，（平面的所有保距变换）。 即所有不变 的那些 ，那么我们 满足性质 ,称之为n 元多项式 的对称群。例1： ，那么 ，即四次对称群是 的对称群。例2： 例3： ——Klein 4元群例4： 单位元群例5： 是3阶循环解。定义 ： 的一个多项式 称为对称多项式，如果 。即对称群是整个置换群。就这样我们用群来刻划了多项式的对称。如何去构造对称多项式，可见《近世代数》P55。四、数域的对称数域的概念在大学一年级高等代数中就讲过了。一个非空数集F，至少含有一个非零的数，如果F对＋，－，×，÷封闭，那么F称为一个数域。 Q，R，C都是数域，最小的数域是Q， 也是一个数域。平面图形是一个几何结构，即是把一个点集M（图形由点组成）连同此点集M中任意两点间的距离作为一个整体来考虑，而其对称群就是M的保持其任两点间的距离不变的变换的全体，这些保持M的几何结构（即距离）的变换的全体，就刻画了几何结构的对称。完全类似地，数域F是一个代数结构，也就是把一个数集F连同此数集F中加、减、乘、除的运算作为一个整体一起来考虑。所以数域F的对称也同样地可以用F的保持代数结构（即运算）的变换的全体来刻画。定义7数域F的自同构 是指：（1） 是F的一个一一变换（2） 定理1若 是F的自同构，那么 有以下系列的性质：（1） （2） ；（3） （4） . 和我们前面讨论平面有限图形K的对称一样两个对称变换的乘积仍是K的一个对称变换，类似地我们有：性质1设 和 是数域F的两个自同构，那么 和 也是F的一个自同构. 性质2令Aut（F）表示F的所有自同构的全体，令o表示变换的乘法，则（Aut(F),o）满足G1)—G4)。定义8 称（Aut(F),o）为数域F的自同构群。我们可以这样来类比：数域F的自同构群相当于图形K的对称群，后者刻画了图形K的对称，前者则刻画了数域的“对称”，——它是图形对称在数域上的一个类比概念。定理2有理数域 的自同构群只有一个元素——恒等自同构I。由此可知，若任意数域F，F ，且 ，那么 。即 ， 限制在 上是恒等变换。例1令 是一个数域，是把 添加到 做成的代数扩域。考察F的自同构群。设 ，由定理1知， ，故 ，变换的结果取决于 令 最多只有2个数值 和 ，故F的自同构群只有 可以验证I、 确为F上的自同构。 o I φ I I φ φ φ I 这是一个2元循环群， ，同构于 ，即 的对称群。例2令 这也是一个数域。设 ，同上例， 的作用决定于 和 ，知 和 只有4种组合方式。故Aut(E)只有4个元素 o I φ1 φ2 φ12 I I φ1 φ2 φ12 φ1 φ1 I φ12 φ2 φ2 φ2 φ12 I φ1 φ12 φ12 φ2 φ1 I o (1) (12) (34) (12)(34) (1) (1) (12) (34) (12)(34) (12) (12) (1) (12)(34) (34) (34) (34) (12)(34) (1) (12) (12)(34) (12)(34) (34) (12) (1) Aut(E)与Klein 4元群同构 : ，即 的对称群。我们把上面说的推广到一般情况，定义9给定两个数域F和E，如果F E，则称F是E的子域，而称E为F的扩域。令 即 是使得F中元素不动的E的自同构，Aut(E:F)就是由所有这样的 组成。 F就相当于平面图形的对称中的对称轴或是旋转中心。命题（Aut(E:F)，o）满足 ，称为数域E在F上的对称群。例3 和 都不能使到a+b 保持不变。设 ， 为n次多项式，n个根为 ， 在F上的分裂域为E， ，那么称（Aut(E:F)，o）为F上多项式 的根的对称群，也称为F上一元多项式 的Galois群。这个群在解决五次以上多项式方程不可能有根式解的问题上起了关键作用。五、关于“对称与群”的教学（1） 认识运算的广泛性，不只是数可以运算，其他的一些数学对象也可以运算，并且满足一些数的运算所具有的性质。（2） 乘法不一定是可以交换的。（3） 代数结构的概念：一个集合，加上这个集合中的运算，构成一个代数系统，其结构体现在运算关系上。（4） 群的概念：对称群是一个具体的群。满足G1)—G4)，就称为群。（5） 数学语言是刻画自然现象的一个极好工具，数学是模式的研究。数学来源于实际问题。参考资料：这是我们当时学的课件内容，希望对你有帮助
F. 关于群的定义和定义证明（数学问题）
群是一种特殊的代数系统，其二元运算可结合，有幺元，每个元素都有逆元，或者说，群上一个每个元素都有逆元的独异点。掌握判断一个代数系统是否为群的方法。领会群的几种性质：幺元是唯一的，每个元素有逆元，每个元素都可逆，如果群中元素多于一个，则一定没有零元，关于方程的可解性。熟记群的运算性质，领会群中元素负指数幂的概念，掌握指数幂的运算法则。理解元素的阶的概念，有限群中每个元素的阶都是有限的且不会超过群的阶。掌握利用群的运算表判断群的幺元、每个元素的逆元的方法。
G. 数学专业请进：线性代数中群阶的定义
群的定义: 有限或无限个元素（数学对象）或操作的集合{A, B, C, D …}，其中有一个与次序有关的运算方法（群乘），具备下 列条件, 则构成群（G）。集合中的元素（A, B, C, D …）称为 群元 。
群阶: 群元的数目（g） 离散的无限群 （可数的无穷多） 连续群 （不可数的无穷多） 无限群 ∞ 有限群 h（g 为有限）
H. 数学《群论》的群概念：谁能用通俗的语言解释：1、什么是群2、有何用
有可逆运算的元素集合，集合与运算一起称为群。群论是数论的一种，衍生学科有拓扑学，可以用于分析抽象的图形，数形结合，多维矩阵等问题。经典的案例就是伽罗瓦分析出五次及以上代数方程没有公式解的故事。
I. 数学群的相关概念
取 b=e, 则 ax=e 有解 a_1, ya=e 有解 a_2
这样 a_1 = e a_1 = (a_2 a) a_1 = a_2 (a a_1) = a_2 e = a_2
故对任意 a ∈ G, 有 a_1 满足 aa_1=a_1a=e, 故 G 为群.