兰琦的数学之旅是什么

❷ 1+1=2是为什么

下文曾于2019年11月28日发表于《返朴》。鉴于今时长假漫漫，许多朋友困居家中亟需精神食粮，《返朴》编辑部特择经典之作，旧文新品，以劳新老朋友。

创造?的来源是天真。你还记得自己在幼儿园时，将一个苹果和数字“1”联系起来，然后数着苹果计算“1+1=2”时遭遇的困惑吗？这种困惑或许并非偶然，我们接受的数学教育常常是抽象出概念而忽略具体差异的过程，但我们的思考方式却天?是范畴学的，它关注一个苹果和另一个苹果的不同，关注事物之间的相互关系。

80年前，物理学家为了研究量子系统中的对称性，把数学的群论引入了物理。今天物理学家为了研究复杂系统中的量子纠缠，又开始学习数学的范畴学。这类量子纠缠是用演生论的眼光来理解量子物态性质起源、基本粒子起源，甚至时空起源的关键。在还原论和演?论角逐的今天，范畴学正变得越来越重要。可以说，微积分对还原论的物理有多重要，范畴学对演?论的物理就有多重要。范畴学带来了超乎数学家想象的波澜壮阔，它在概念上统?了分析和代数，统?了离散和连续。今天我们就带着曾经对 1+1=2 抱有的好奇?，进入范畴学的奇妙世界吧！

撰文 | 孔良（深圳量子科学与工程研究院，南方科技大学）

引 言

这篇?章真的是讲你在幼?园学的1+1=2，不需要任何数学背景也可以读，只需要你有对1+1=2的好奇?。但是我们的动机却是要介绍数学??的范畴学的基本精神，所以有必要先简单提?下范畴学，不关?的读者可以直接跳过引?。

范畴学起源于代数拓扑，由Samuel Eilenberg（1913-1998）和Saunders Mac Lane（1909-2005）于上个世纪40年代提出。?从六?年代Alexander Grothendieck （1928-2014）?范畴学的语?重建了代数?何基础以来，数学中就出现了?范畴学替代集合论作为数学的新基础的潮流。这个潮流不但在数学??愈演愈烈，还在90年代被注?了新的强?动?：物理。?们发现描述二维有理共形量?场论和任意维拓扑序的数学语?也是范畴学。当然这也没有什么奇怪的，了解范畴学的?都不会惊讶。因为范畴学带来的变?是如此底层，它从根本上改变了我们看待数学（甚?是其他学科）的基本范式。?不了解范畴学的?可能会对这句话有很?的抵触。这个也是正常的，没有真正了解范畴学，会很难想象范畴学是可能的，也许看完此?，你的抵触会稍稍减少?些。我认为范畴学是继?顿的微积分?命之后，??次语?的?命，其实范畴学本身就是?个新的微积分。她的?量体现在许多??，?如：?个简单的范畴学的公式就可以完成?个复杂的量?场论的构造，或同时计算?穷多量?场论的融合 (fusion) ；很多复杂的物理和数学结构?然?然就是范畴学的；更重要的是，很多超越集合论的数学或物理事实只能在范畴学的意义下陈述和理解。仅仅是最后?条就告诉我们，有?个集合论之外的数学新?陆等我们去发现、去探索。现在还有更疯狂的猜测，那就是范畴学是多体量?纠缠和量?引?的基础。

范畴学的变?是如此底层，它会毫?疑问地在?乎所有科学领域发挥作?，包括逻辑学、数学、物理、计算机科学、语?学、社会学、经济学等等。所以让更多数学以外的?了解它是有意义的。本?就抛砖引?地讲讲，这个变?是如何的底层，底层到需要我们不断地回归，直到每?个?开始数学启蒙的那?刻。

一、1 + 1 = 2 ？

我相信我们每?个?的数学教育都是从1+1=2开始的，从那?刻开始，我们就开启了?场“去范畴化”的抽象数学之旅，?范畴学则是?场回归。

创造?的来源是天真。

－－ Alexander Grothendieck

我希望?家和我?起回到学龄前?童的状态。只有这样你才能看清问题的本质。

1+1=2 是很难理解的。我们真正理解了吗？也许你觉得没有什么困难，但是只有当你给?个从来没有听过 1+1=2 的学龄前?童解释的时候，你才能明?这个问题有多么困难。

第?个难点是：什么是“1”？

第?个难点是：什么是“＋”？

第三个难点是：什么是“＝”？

第四个难点是：什么是“2”？

什么是“1”？你确定自己知道什么是“1”吗？你?过1吗？?朋友不知道什么是“1” 。为了让小朋友理解数字，通常情况下，?师的教法是?实物，?如?带磁铁的?猪、?鸭、苹果、?蕉等等，把它们吸到带?属的?板上。真实可?的东?才是我们对存在的基本体验，其他都不太可靠。

让我?符号 O 来表示苹果，J 来表示?蕉。我们再把?个苹果放到?起，于是?板上出现了如下公式：

O+O=OO, （1）

好吧。我们?过苹果，所以O没什么问题。但什么是“＋”？什么是“＝”呢？

其实?朋友?般还可以接受（1），接受的办法就是忽略“＋”。（1）不就是 “OO=OO”吗？理解“＋”是很难的。我先跳过，先来谈谈“＝”，其实这个更难！

“＝”（等于）是?个很难理解的东?。在现实世界?我们基本没有?过两个完全?样的东?。“OO=OO” 两边的苹果其实是不?样的。真实情况往往是，也许它们的颜?有些区别，或者磁铁的吸?有些差别，等等。那么“＝” 就很难理解了。在?活?说中?时，我们不说等于，我们说“?样”。那么左边的“OO” 和右边的“OO”在什么意义下是“?样”的呢？

请让讲?个让我震惊的故事。我第?次在深圳中学做报告的时候，我说我不知道什么是“?样”，请中学?为我这样?个“学龄前?童”解释。然后有?位勇敢的同学上来，他分别从左边的OO和右边的OO ??各拿出?个苹果，然后把这两个苹果放在?起，再把剩下的两个苹果放在?起，他说这个就是“?样”。事实上他给出了左边OO和右边OO的?个??对应，可以??个图来代表他的这个??对应：

这图啥意思？啥意思不重要。重要的是，你发现没有，?个具有?穷?由度的复杂物理系统，边界和内部的关系竟然没有?1+1和1的关系更复杂！这是因为范畴学有能?把有限维的数学和?限维的数学统?在同?个框架下处理。值得?提的是，上?图表揭示的关系也同时刻画了弦论??开弦和闭弦的对偶！这些都是?穷维数学结构之间的对偶。如果真的把对偶两边的数学结构??成元和它们的关系写下来，会复杂得吓死?的。呵呵。

在演?论 PK 还原论的今天，范畴学越来越重要。这是因为范畴学就是为演?论准备的。你看看“1+1”难道不是从所有集合中演?的概念吗？同理，所有数学概念都是在包含?定意义下的“所有”对象的图表中演?的对象。甚?范畴学强调要放弃还原论的观点，不要问?个集合??的元素，?要去看映射，后者更加丰富。?如，?个集合X ??的?个元素其实就是1到X的?个映射！

这样的观点难道不就是加速器的原理吗？想知道粒???有什么东?，就拿其他东?，甚?是“它”??，去轰“它”。我想微积分对还原论的物理有多重要，范畴学对演?论的物理就有多重要。范畴学和物理学家理解??然的基本?法和原理是完全相合的，她们都强调：

没有?相互关系或相互作?更基本的存在，其他都是演?的。

范畴学和物理的关系当然值得?书特书，很多最前沿的论?都在不断地讲述这个关系。这?我们点到为?，虽意犹未尽，只盼能抛砖引?，诱发?家的兴趣。

如果说范畴学在数学?很基本，那么在物理或其他学科??是不是也应该很基本？现实是，在物理中?的上范畴学的可能只是很少的?个?常小众的课题。这是为什么呢？这是暂时的还是?久的？范畴学会带来描述物理学的新的微积分吗？范畴学对未来的计算机科学会有何影响？图灵计算用bit（0和1），量子计算用qubit（2维线性空间），而范畴化的道路是，从数字，到线性空间，到1阶范畴，到2阶范畴，到高阶范畴，那么我们是不是可以畅想未来会有1阶范畴计算、2阶范畴计算？希望将来我们有机会来解读这些问题。

你们喜欢范畴学吗？欢迎?家来到范畴学的奇妙世界。

附录

?章结尾我们来谈谈学习范畴学的过程中常?的困惑和误解。

很多?（包括部分数学家）都抱怨范畴学抽象。我希望前?的讨论能够帮助?家意识到，我们的思考天?就是范畴学的，?引?“1”和“2”这样的抽象概念反?是“去范畴化”了。我们的数学教育从?开始就是“去范畴化”，?通常的微积分可以看作是“去范畴化”的经典之作。最终的结果是，我们?多数?第?次学“范畴学”都会觉得好“抽象”，呵呵。有可能是因为 “去范畴化”的数学教育让我们变得失去童真了。我记得有?次在做数学报告，有听众抱怨范畴学太抽象了。我说，抽象是?个没有意义的概念，不过你所谓的不抽象的东?是啥？他回答说?如上同调。我的天，上同调不抽象？好吧，我耐?地问，为什么你觉得上同调不抽象？他说，因为可以算啊。我说，原来可以算就是不抽象啊，这样的话，范畴学也不抽象，因为它也可以算。但是这也不重要，因为这个说法本身很荒唐，如果上同调是可以算的话，总没有1+1=2更好算吧？那么请问什么是“1”？平时我们嘴上说的所谓“不抽象”或“抽象”，其实就是“熟悉”或“不熟悉”。范畴学之所以显得“抽象”，就是因为我们在“去范畴化”的路上?了很远了，想要回归也没有那么容易，放下包袱是很难的。

我记得有?次和物理学家Michael Levin吃午饭，他说他花不少时间看范畴学，但是总觉得范畴学空泛的好像什么都没有。他的感觉没错，当然也不只他?个?这样抱怨。事实上，范畴学是和集合论?样底层的东?。就象你去看集合论?样，除了?些形式的定义，仿佛什么都没有。对物理学家来讲，看集合论?乎没有任何?处，真正有?的是微积分和线性代数。所以也只有当你看到了范畴学??的“微积分”和“线性代数”的时候，你才能理解它的强?。我认为，Grothendieck的代数?何就可以粗略地看成是?个新的“微积分”，?张量范畴理论 (tensor category theory) 可以看成是?个新的“线性代数”。范畴学??的“微积分”（或“线性代数”）都不是唯?的，?是千变万化的。对物理学最有?的“微积分”和“线性代数”可能还没有诞?。与集合论不同的是，对物理学家来说，集合论可以完全地忽略，直接跳到微积分和线性代数上，因为集合论的语?和基础被函数论的语?覆盖了。但是对范畴学来讲，想要跳过她的基础语?：范畴、函?、?然变换、Yoneda引理，直接学习她的“微积分”和“线性代数”是不可能的。遗憾的是，到?前为?，还没有?个适合物理学家读的范畴学的书。

还有?种误解是，范畴学已经建?好了，学好了?本范畴学的数学书，在物理上的应?可能就够了。如果你抱着这样的?态，那你注定要失望了。?先，把任何（不论她有多么优美）数学套?到物理上的想法都是缘?求?的做法。只有从物理实验或物理图像出发?发现的数学才是对物理有意义的，如果碰巧这个数学已经被数学家发现，那也只是偶然情况?已。通向未知之??多是没有现成的钥匙的。物理学真正需要的范畴学绝?多数还不存在，需要我们去?边发展物理，?边发展数学。在这种情况??，新的物理和新的数学没有区别，它们都是??然的隐藏结构。现在的范畴学还在发展的初级阶段，微积分可以发展?百年的话，范畴学?概也需要?百年。?我这些年的实践告诉我，物理能给我们带来的新的、超越数学家想象?的范畴学才是真的波澜壮阔。

致谢

感谢德国哥廷根?学的朱晨畅?师、清华?学?等研究院的汪忠?师和丘成桐数学中?的?垠?师、南科?量?科学与?程研究院的吴咏时?师和郑浩?师、麻省理?学院的??刚?师、中科院物理所的曹则贤?师和斯坦福?学的祁晓亮?师提出的很多宝贵意?。

注释

[1] 这??我们还是?到了“唯?”这个概念，好像是循环定义“1”的意思。其实我们可以从技术上回避它，?如：我们可以说万有性质中的（让图表交换的）映射构成的集合存在到集合{O}的双射，或者如果h和h‘使得图表交换，则h=h’（感谢知乎网友王英洁和凝结的火苗）。我们这?并不是想探讨数学的基础，?是展现?种对1和1+1的全新解读。不过从万有性质??不断地?“存在”和“唯?”可以看出，在?然哲学的意义下，“唯?”有可能是和“存在”同等基本的概念。

❸ 兰琦老师写的《高考数学压轴题的分析与解》怎么样

《高考数学压轴题的分析与解》一改传统，利用互联网优势扩展学习，采用“互动阅读”，与我们的光子学习APP相互联动，每道题都有更加详细的进一步解析或动态图解，以wiki形式展现数学相关知识点，让你得到全方位的提升，学习变得生动有趣，效果倍增。线下线上结合学习，保证读者们一边刷题，一边“涨姿势”，轻轻松松实现“1+1＞2”的学习效果。
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❹ 《数学真美妙》读后感

最近，学校组织全校同学开展“读书节”活动。在学校老师的推荐下，我读到了一本让我在欢乐中学习的好书——《数学真好玩》。
“这是一本能让人十分钟爱上的数学书”字。书的扉页上写着这样一行字。书中以作者的弟弟菲洛和爷爷为主角，通过爷爷生动风趣的一个个故事，带领我们和菲洛一起探索数学王国的奥秘。
这本书看似其貌不扬，但读起来却让人爱不释手。平常被看得复杂和繁琐的数字，被书中幽默的对话、生动的例子，充满意大利风情的插图，欢快地展现在读者的面前。在作者的笔下，好奇的弟弟总是不断地向爷爷提出问题，而教龄40年的爷爷总是不厌其烦地向他讲解。
书中的爷爷慈祥和蔼，弟弟菲洛聪明淘气，所有抽象、枯燥的数学知识都在爷孙两人的对话中展现出来，变得亲切易懂，你会发现，数学并不仅仅是数字、公式、例题，它还是历史、趣味和生活道理，原来数学这么好玩、如此简单！
当然，书中最令我喜爱的，还是正文前面的那些标题。我不喜欢那些故弄玄虚的标题，一看到那样的标题，我阅读的兴趣就会大打折扣。而《数学真好玩》这本书，却给了我完全不一样的感受。
就比如“肚脐的位置恰倒好处”这个标题，一见到它，我的心里就产生了一个大大的悬念。恰到什么好处？为什么恰到好处？急切地催使我继续看下去。
可相反的，如果把这个标题改为“黄金比例”或“0.618的比例”，给人的感觉就完全不一样了。文章会显得呆板、无趣，就更加谈不上什么生动形象了，而这些也正是我从这本书的阅读中获取的最大收获。
同学们，这是一本让人10分钟就爱上数学的神奇之书，就在此书中，你会和菲洛一起体验到前所未有的趣味数学学习方法，认识数学的奇妙与乐趣，学会用数学知识解决实际问题，变为生活中的小小数学达人。让我们一同跟随爷爷和菲洛在数学世界中探险，体验一段快乐而充实的数学之旅

❺ 2019年八年级上册数学追梦之旅卷子答案。

第三章追梦综合演练卷

❻ 求语文老师赏析一篇我写的作文《我的快乐之旅》

呵呵，你这个很好，只不过·····
你这篇作文，是很好，但是只要有些语句再精辟一点就可以了
人才，我看你骨骼清奇，
器宇轩昂,且有慧根,
乃是万中无一的武林奇才.
潜心修习,将来必成大器，
鄙人有个小小的考验请点击在下答案旁的
"选为满意答案"

❼ 有趣的数学科普小知识有哪些

有趣的数学科普小知识有：莫比乌斯环、克莱因瓶、黄金分割、斐波纳契螺旋线、缪勒莱耶错觉。

莫比乌斯环是一种拓扑学结构，它只有一个面和一个边界。可以用一根纸条扭转成180度后，两头再粘接起来，就形成了莫比乌斯环。莫比乌斯环沿着中线剪开，第一次，可以得到一个更大的环；

第二次及以后，每次都会得到两个互相嵌套的环。中间永远不会断开，这也是莫比乌斯环的神奇之处。

科普知识涵盖了科学领域的各个方面，无论是物理、化学、生物各个学科，还是日常生活无不涉及到科普知识。由于其范围的广泛性，奠定了科普知识的重要意义和影响。

科普知识的重要意义必然要求我们的科普教育必须与时俱进的与我们所提倡的素质教育同行。同步发展。使科普知识，科普教育真正意义上走进人们的生活。科普知识的意义和影响必将是深远的、长久的。

❽ 求推荐 数学科普书

《数学糖果1》,作者胡顺鹏,本书以数学概念、数学思维和数学家为关联点，将与关联点相关的星星点点的数学知识联结成系统，尝试引导读者从发散性的思考中寻找乐趣，从系统性的总结中拓展认知。作者以数学为切入点，将趣味性的知识、八卦、故事串联起来，内容丰富，很适合学生、家长和老师阅读！

❾ 电视剧《天才基本法》首发海报，这部剧主要讲述的是什么故事

《天才基本法》是由沈严执导，雷佳音、张新成、张子枫等主演的电视剧。该剧改编自晋江人气作者长洱同名小说。聚焦数学竞技的超时空励志情感剧，主要讲述了一个“神秘”老师和两个天才学生展开的一场对于真理与热爱的追逐。

张子枫总是有一种害羞的感觉，和张新成同框，这身高差实在是太萌了，确实有一点点兄妹的既视感，不过最新的路透却“打脸”了。有网友晒出了最新路透，是张新成搂着张子枫，两人默默对视，有小情侣的氛围了，两人演技都不用担心，所以不必提前焦虑两人没有CP感，相信两人的演技，一定可以让大家满意的。