数学环是什么

A. 数学上的群，域，环等有什么区别和联系

（1）群：集合G上定义了二元运算记作“ * ”，满足以下四个条件:

1. 封闭性。2.结合律。3.含幺。4.有逆。

那么该集合和二元运算一起构成的代数结构（G，*）称作一个群。

（2）Abel群：二元运算还满足交换律的群。所以Abel群也叫做交换群，是一类特殊的群。二元运算记作“ + ”

（3）半群：集合上定义的二元运算，满足前两个条件：

1.封闭性。2.结合律。

(群一定是半群，但是半群不一定是群。)

有了以上的定义，我们来看一下什么是环和域。

（4）环：设集合R上定义了两个二元运算“ + ”，“ * ”且满足

1.（R，+）是Abel群。

2.（R，*）是半群。

3.两种运算满足分配率，a*（b+c）=a*b+a*c

则集合R和两个二元运算构成的代数结构叫做环。

（5）域：环中的半群结构，满足含幺和交换律，则称作域。可见域是一种特殊的环。

综上：最大的概念是半群，群是半群的子集，Abel群又是群的子集。环是在Abel群的基础上进行“修饰”，也就是再增加一种二元运算使得集合构成半群，且两种运算满足上面提到的分配率。最后域是环的子集，要求增加的这种二元运算还要满足含幺和交换律。

B. 数学中，群、环、域、集分别是什么它们的范围不同吗

群：在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。

环(Ring)：是一类包含两种运算(加法和乘法)的代数系统，是现代代数学十分重要的一类研究对象。其发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。

域：定义域，值域，数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。

集合：简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。

范围：

群、环、域都是满足一定条件的集合，可大可小，可可数 也可 不可数，一个元素可以是群‘0’，三个也可以‘0，1，-1’，可数的：以整数为系数的多项式（可以验证也是环），当然R也是；环不过是在群的基础上加上了交换律和另外一种运算，域的条件更强（除0元可逆），常见的一般是数域，也就是：整数，有理数，实数，复数。

群，环，域都是集合，在这个集合上定义有特定元素和一些运算，这些运算具有一些性质。群上定义一个运算，满足结合律，有单位元（元素和单位元进行运算不变），每个元素有逆元（元素和逆元运算得单位元） 例整数集，加法及结合律，单位元0,逆元是相反数， 正数集，乘法及结合律，单位元1，逆元是倒数 环是一种群，定义的群运算（记为＋）还要满足交换律。

另外环上还有一个运算（记为×），满足结合律，同时有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由于×不一定有交换律，所以分开写。 例整数集上加法和乘法。 域是一种环，上面的×要满足交换律，除了有＋的单位元还要有×的单位元（二者不等），除了＋的单位元外其他元素都有×的逆元。 例整数集上加法和乘法，单位元0,1。

(2)数学环是什么扩展阅读

群、环、域代数结构：

群、环、域、向量空间、有序集等等，用集合与关系的语言给出来的统一的形式。首先，由于数学对象的多样性，有不同的类型的集。

如群表示的集为G×G.实际上，群涉及的是二元运算；而向量空间表示的集为F×F→F，F×V→V，V×V→V，向量空间涉及域F中的运算，域F中的元对V中元的运算，V中元的运算.引入基本概念——“合成”(如，群的合成就是乘法运算；向量空间的“合成”有F中的元对V中元的作用乘法，V中元的加法运算)，并且，要求“合成”适合给定的公理体系，得到的就是一个数学结构。

事实上，代数结构中，所有概念均可用集合及关系来定义，即用集合及关系的语言来表述。

做为基本概念，若仅仅着眼于“合成”(即“运算”)，则这种数学结构称为代数结构，或代数系(统).换言之，代数结构(代数系)就是带有若干合成(运算)的集合。

C. 数学上的群、域、环等有什么区别和联系

1、群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(group axioms)，即：

①封闭性：a ∗ b is another element in the set

②结合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

③单位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a

④逆 元：加法的逆元为-a，乘法的逆元为倒数1/a，… (对于所有元素)

⑤如整数集合，二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的，加法满足结合律，单位元为0，逆元取相反数-a)。

2、环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·)，需要满足环公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。环公理如下：

①(R, +)是交换群

封闭性：a + b is another element in the set

结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

单位元：加法的单位元为0，a + 0 = a and 0 + a = a

逆 元：加法的逆元为-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (对于所有元素)

交换律：a + b = b + a

②(R, ·)是幺半群

结合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

单位元：乘法的单位元为1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a

③乘法对加法满足分配律Multiplication distributes over addition

3、域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。

由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合，不存在乘法逆元(1/3不是整数)，所以整数集合不是域。有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域。

D. 离散数学里，环是不是圈为什么

环是圈，是长度为1的圈

环：设G=<V,E>为无向图，ek=(vi,vj)∈E，若vi=vj,称ek为环。有向图几乎一样。

圈：设G为无向标定图，G中顶点与边的交替序列Γ=vi0 ej1 vi1 ej2...ejl vil称作vi0到vit的通路，若Γ所有顶点各异（除vi0和vil），所有边各异，且vi0=vil，则称Γ为初级回路或圈。

（说明：答案中v和e后的字母和数字都是下标）

参考自：离散数学第2版 [屈婉玲，耿素云，张立昂 编着] 2015年版

E. 数学:圆环是什么

数学中，环形（annulus）是一个环状的几何图形，或者更一般地，一个环状的对象。几何学中通常所说的环形就是圆环，一个大圆盘挖去一个小同心圆盘剩下的部分。圆环的对称性非常强，是一个以圆心为对称中心的中心对称图形，也是有无数条对称轴的轴对称图形。圆环的几何中心就是圆心。一个以圆心为中心，半径为内外半径的几何平均值的反演保持圆环整体不变，将内外边缘互换，内圆内部与外圆外部互换。

F. 请用通俗的语言解释一下数学中群，环，域的概念

群，环，域都是集合，在这个集合上定义有特定元素和一些运算，这些运算具有一些性质
群上定义一个运算，满足结合律，有单位元（元素和单位元进行运算不变），每个元素有逆元（元素和逆元运算得单位元）
例整数集，加法及结合律，单位元0,逆元是相反数，
正数集，乘法及结合律，单位元1，逆元是倒数
环是一种群，定义的群运算（记为＋）还要满足交换律。另外环上还有一个运算（记为×），满足结合律，同时有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由于×不一定有交换律，所以分开写
例整数集上加法和乘法
域是一种环，上面的×要满足交换律，除了有＋的单位元还要有×的单位元（二者不等），除了＋的单位元外其他元素都有×的逆元
例整数集上加法和乘法，单位元0,1

G. 环是什么意思

环
环 huán〈名〉

(形声。从玉,瞏 huán声。本义:圆形而中间有孔的玉器)
同本义 [jade bracelet]
环,璧也。——《说文》
肉好若一谓之不。——《尔雅·释器》。李注:“其孔及边肉大小适等。”
行步则有环佩之声。——《礼记·经解》
孔子佩象环五寸。——《礼记·玉藻》
闻水声,如鸣佩环。——唐· 柳宗元《至小丘西小石潭记》
腰白玉之环。——明· 宋濂《送东阳马生序》
又如:环佩(古人衣带上所系的佩玉);环玦(玉环和玉玦);环琨(环与琨,并为玉佩);环塡(两种玉制的耳饰。环,耳环。塡,冠冕上的塞耳之玉)
泛指圆圈形的物品 [ring]
布巾环幅。——《仪礼·士丧礼》
瓜祭上环。——《礼记·玉藻》。注:“上环,头忖也。”
又如:环中(圆环的中心;又比喻空虚而无是无非的境界);环利通索(连环铁索)
数学中,具有加法和乘法运算的集合 [ring]。其中任两个元素的并与对称差仍是该族中的元素
环论
化学中,环形的结构或多个原子的一种闭链 [ring]。如:苯环;甾环

H. <R,+,·>是什么类型的环，是整环还是除环，有什么区别吗这个代数系统表示实数范围内的加和乘。

<R,+,·>是各种各样类型的环的统称。<R,+,·>也可以记为<R,+,x>。在非空集合R中，若定义了两种代数运算+和x（不一定为加与乘），且满足：

整环：若环<R,+,·>是交换、含幺和无零因子的，则称R为整环。

除环：若环<R,+,·>至少含有2个元素且是含幺和无零因子的，并且∀a∈R（≠0），有a^(-1)∈R则称R为除环。