‘壹’ 什么样的数学问题是好的数学问题
数学是一门工具性学科，问题不存在好坏之分。他本身的问题就是角决问题。只不过现在的数学作为一门学科，来选拔出有一定数学思维的人。就这而言，好的数学问题是能够较好的符合考纲精神的题。
其实，老师说的所谓的好题只不过是在套用那些专家的话而矣，实质就是假大空。
你要是数学考满分，哪怕是不做题，老师也会说你是个能发现好的数学问题的人
‘贰’ 学好数学靠的到底是什么逻辑思维吗
学好数学需要的并不仅仅是逻辑思维
我们老师曾经说过，学好英语靠勤奋，学好数学靠思考
对与于一些数学没学好的人来说
我认为只有两种：一是基础差，二是方法差
对于基础差的人来说，学数学是最困难的，因为他要学好数学一定会比基础好的人难
基础源于小学，小学的数学可以说是读中学的基石，很多人到了中学由于基础差加上没认真学，最后就什么都听不懂-不过数学的补习一定比英语快，英语差就要花时间，而数学差，只要掌握技巧，就可以将难题都迎嫩而解———
而有的人方法差-考虑数学问题不能仅仅用脑-除非单纯的口算题-有的题目看似简单-而往往只是用脑子思考，时间长了，习以为常，渐渐就会忘了原来我们还有手，我做题目的时候，不管是否困难，只要是数学题目，都会放一长纸在桌上，手上抓只笔，随时在纸上龙飞凤舞，写明自己的思路，这样既可以将问题看的透彻，又可以起到检验的效果-
一个初中数学科代表的述说
‘叁’ 什么是好的数学
什么是“好的数学”X
一、“好的数学”不仅是“数学”，更是“人学”
我们的数学教育，不仅是让学生掌握必须的基本知识，基本技能，还要让学生感悟更重要的基本思想、基本生活经验：同时，还要让学生学会运用数学的思维方式进行思考、了解数学的内在价值、养成良好的学习习惯、具有初步的创新意识和实事求是的科学态度等等。简言之，我们的数学教育，不仅是知识的训练，还是智慧的累积，更是生命的成长、人生价值与意义的体现。
人学是以人性(人的本质)、人生意义及人的行为准则为思考对象，是以人性论为核心，兼含人生观(人生价值论和行为准则论)、人治论(自治的修养论和他治的政治论)、人的社会理想 论而构成的一个有机思想体系，把数学不仅看作“数学”．更当作“入学”，是数学工具性与人文性的辩证统一。“好的数学”是以人为核心的数学，是真真正正的“人学”。
二、“好的数学”不只是教知识与方法，还教思想
教学有三个层次：教知识，教方法，教思想。
数学思想方法的优秀品质在于，她支撑着整座数学大厦，无处不在，无时不有，应用广泛，容易保留在人的长时间记忆之中。任何学科都要用到数学思想方法，只不过应用的方式、程度有所差别而已。
教师的教与学生的学是一个统一体。“好的数学”首先要追问四个问题：第一，教与学的内容是什么(分别审思究竟，应该、能够教学什么)；第二，为什么要教与学这些内容；第三，师生应该怎么做；第四，为什么要这样做+在此基础上，教师对文本进行还原性、探源性的深读与细读，对学生学习的逻辑起点进行调研与分析，便会明白一节课学生应该掌握哪些知识与技能，更应该感悟与提升哪些方法与思想。掌握数学思想方法，认识客观世界的数量变化规律，并用于认识世界和改造世界，才是数学科学的真谛。
三、“好的数学”不仅关注昨天和今天，更指向明天
数学总是挑战与危机并存着，随着科学技术的迅猛发展，人类的知识总量在不断增加，知识更新的速度也日益加快，不断涌现的新技术，新学科又与数学密切相关，特别是由于计算机技术的发展，数学的应用范围更广泛。我们必须与时俱进，还要带有前瞻的目光。好的数学是运动着的，她不会停留在过去，也不会在今天原地踏步。
昨天，意味着基点与重复；今天，意味着起点与出发；明天则是希望与方向。昨天的“旧船票”难以登上明天的“新客船”，没有未来的数学学习活动的确是非常可怕的。“好的数学”不会让学生做一个机械的、复制粘贴的搬运工，而要让学生扬起奋进的风帆，激发起思维探究的欲望，走向充满不确定的、创造的未来。
四。“好的数学”不仅是记忆与模仿，更是发展与创造
美国学者斯蒂恩在给郑毓信教授的信中，曾诚恳地指出：“中国与美国学生的一个重要差异在于：中国学生比较适应适用于特定问题的特定解法的‘算法’学习，而美国学生则较善于解决那种开放性的、含糊的、具有‘现实’意义的、并需要更多创造性的非常规的问题。”
‘肆’ 学好数学的关键是什么
学好数学是能力的培养：
一、数学运算
运算是学好数学的基本功。初中阶段是培养数学运算能力的黄金时期，初中代数的主要内容都和运算有关，如有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算和解方程。初中运算能力不过关，会直接影响高中数学的学习。在面对复杂运算的时候，常常要注意以下两点：①情绪稳定，算理明确，过程合理，速度均匀，结果准确；②要自信，争取一次做对；慢一点，想清楚再写；少心算，少跳步，草稿纸上也要写清楚。
二、数学基础知识
理解和记忆数学基础知识是学好数学的前提。理解就是用自己的话去解释事物的意义，同一个数学概念，在不同学生的头脑中存在的形态是不一样的。所以理解是个体对外部或内部信息进行主动的再加工过程，是一种创造性的“劳动”。理解的标准是“准确”、“简单”和“全面”。“准确”就是要抓住事物的本质；“简单”就是深入浅出、言简意赅；“全面”则是“既见树木，又见森林”，不重不漏。对数学基础知识的理解可以分为两个层面：一是知识的形成过程和表述；二是知识的引申及其蕴涵的数学思想方法和数学思维方法。
记忆是个体对其经验的识记、保持和再现，是信息的输入、编码、储存和提取。借助关键词或提示语尝试回忆的方法是一种比较有效的记忆方法，比如，看到“抛物线”三个字，你就会想到：抛物线的定义是什么？标准方程是什么？抛物线有几个方面的性质？关于抛物线有哪些典型的数学问题？不妨先写下所想到的内容，再去查找、对照，这样印象就会更加深刻。另外，在数学学习中，要把记忆和推理紧密结合起来，比如在三角函数一章中，所有的公式都是以三角函数定义和加法定理为基础的，如果能在记忆公式的同时，掌握推导公式的方法，就能有效地防止遗忘。
三、数学解题
学数学没有捷径可走，保证做题的数量和质量是学好数学的必由之路。保证数量就是①选准一本与教材同步的辅导书或练习册。②做完一节的全部练习后，对照答案进行批改。千万别做一道对一道的答案，因为这样会造成思维中断和对答案的依赖心理；先易后难，遇到不会的题一定要先跳过去，以平稳的速度过一遍所有题目，先彻底解决会做的题；不会的题过多时，千万别急躁、泄气，其实你认为困难的题，对其他人来讲也是如此，只不过需要点时间和耐心；对于例题，有两种处理方式：“先做后看”与“先看后测”。③选择有思考价值的题，与同学、老师交流，并把心得记在自习本上。④每天保证1小时左右的练习时间。
保证质量就是①题不在多，而在于精，学会“解剖麻雀”。充分理解题意，注意对整个问题的转译，深化对题中某个条件的认识；看看与哪些数学基础知识相联系，有没有出现一些新的功能或用途？再现思维活动经过，分析想法的产生及错因的由来，要求用口语化的语言真实地叙述自己的做题经过和感想，想到什么就写什么，以便挖掘出一般的数学思想方法和数学思维方法；一题多解，一题多变，多元归一。②落实：不仅要落实思维过程，而且要落实解答过程。③复习：“温故而知新”，把一些比较“经典”的题重做几遍，把做错的题当作一面“镜子”进行自我反思，也是一种高效率的、针对性较强的学习方法。
四、数学思维
数学思维与哲学思想的融合是学好数学的高层次要求。比如，数学思维方法都不是单独存在的，都有其对立面，并且两者能够在解决问题的过程中相互转换、相互补充，如直觉与逻辑，发散与定向、宏观与微观、顺向与逆向等等，如果我们能够在一种方法受阻的情况下自觉地转向与其对立的另一种方法，或许就会有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。比如，在一些数列问题中，求通项公式和前n项和公式的方法，除了演绎推理外，还可用归纳推理。应该说，领悟数学思维中的哲学思想和在哲学思想的指导下进行数学思维，是提高学生数学素养、培养学生数学能力的重要方法。
只要我们重视运算能力的培养，扎扎实实地掌握数学基础知识，学会聪明地做题，并且能够站到哲学的高度去反思自己的数学思维活动，就一定能把数学学好。
‘伍’ 什么才是数学好
在中国这种应试教育的大背景下，大家都可能认为考试成绩好，就代表这个人有能力，其实这是非常错误的一个观点，比如说数学，考得好，就不一定数学能力好，数学能力指的是一个人的逻辑思维能力，所以，数学学得好就是你的逻辑思维能力要好，而不是你数学考得好不好所能体现的，不好数学考好可以对你的数学学好有很大的帮助，因为考得都是基础的，前人所知道的，你只有在前人的基础上才有自己的创新，我的意思你懂了嘛？希望你的数学能够真正的学好，不要太看重成绩，但要重视成绩。。。。希望采纳
‘陆’ 与陶哲轩谈谈什么是好数学
后来查了一下，原来文章就是数学家陶哲轩写的，也真是大家所见略同了啊！下面我就对陶哲轩的好数学补充一下实例，而且尽量都选用与自己有关的例子，毕竟Strongart教授的很多数学思想正是属于这样的好数学啊！ 好的数学题解(比如在一个重要数学问题上的重大突破) 答：这一点我还没有明确的结果，只不过偶尔能回答一些网友的问题。 好的数学技巧(比如对现有方法的精湛运用， 或发展新的工具) 答：这一点我也没有明确结果，对技巧之类的并不在行。 好的数学理论(比如系统性地统一或推广一系列现有结果的概念框架或符号选择) 答：Strongart教授独立提出Noether算子与Artin算子的概念，它与Fredholm一样可以作为I-T紧算子的推广，假若你没有学过标准的泛函分析理论，很可能以为这两个概念在泛函分析中本来就有的呢！ 好的数学洞察(比如一个重要的概念简化， 或对一个统一的原理、 启示、 类比或主题的实现) 答：比如Fredholm算子中闭值域的条件可以省略，这个尽管不是我先发现的，但我立刻就领会到它的意义，并且把它解释为忽略了有限维空间的同构，引入到自己的泛函分析视频当中。 好的数学发现(比如对一个出人意料、 引人入胜的新的数学现象、 关联或反例的揭示) 答：大约十年前我找到一个很初等的反例，就是三维欧式空间中异面直线的距离不满足度量空间的公理，这是因为度量空间是对点之间距离的抽象，并不是适合集合之间的距离。 好的数学应用(比如应用于物理、 工程、 计算机科学、 统计等领域的重要问题， 或将一个数学领域的结果应用于另一个数学领域) 答：对物理工程的应用我不太关心，但Strongart教授提出S-divisor，把代数几何中的除子推广了集合上，并且给出了模糊数学的解释。 好的数学展示(比如对新近数学课题的详尽而广博的概览， 或一个清晰而动机合理的论证) 答：我的数学视频A Story of Limit就是典型，它小结了微积分中极限概念是如何一部部发展到范畴理论的。 好的数学教学(比如能让他人更有效地学习及研究数学的讲义或写作风格， 或对数学教育的贡献） 答：我的数学视频完全符合此标准，在讲解内射模时引入半单模，把外可裂与内可裂做比较；在讲解谱理论时，特别定义的不完备情形的乌索普等等，这些都是非常个性也非常有启发的内容。我的很多数学笔记都属于此类，比如总结了交换环是怎么推广到非交换环的，单复变函数是怎么推广到多复变函数的，整理了极分解定理在泛函分析算子代数与李群代数群理论中的表现等等。Strongart教授能够像讲故事一样讲代数与泛函之类的研究生水准的数学，在数学教育方面的贡献是无可匹及的！
好的数学远见(比如富有成效的长远计划或猜想) 答：Strongart提出了流体数学的思想，可能就符合这个标准。 好的数学品味(比如自身有趣且对重要课题、 主题或问题有影响的研究目标) 答：我更加关注高贵的代数学，认为代数就是哲学与组合相结合的结果。 好的数学公关(比如向非数学家或另一个领域的数学家有效地展示数学成就)； 答：我讲解纤维丛的视频Visible Fibre Bundle就是一个典型例子。 好的元数学(比如数学基础、 哲学、 历史、 学识或实践方面的进展) 答：Strongart既是数学家，又是哲学家，在这方面自然是卓有成就，提出了模型数学的概念，方法论上MLMA步骤，还有对数学公理化思想的揭示，乃至于最后把数学的本质解释为德里达的differance等等。 严密的数学(所有细节都正确、 细致而完整地给出) 答：这个不是我擅长的。 美丽的数学(比如Ramanujan 的令人惊奇的恒等式； 陈述简单漂亮， 证明却很困难的结果) 答：美丽未必一定要证明困难，像Euler公式e^(iπ）+1=0就是美丽而简单的，Strongart教授关于S-divisor也有一个美丽的公式：div �6�1={θ}. 优美的数学(比如Paul Erdos 的“来自天书的证明” 观念； 通过最少的努力得到困难的结果) 答：在教学介绍了e-ab与e-ba可逆性等价的证明就非常优美，当然这不是我第一个发现的。 创造性的数学(比如本质上新颖的原创技巧、 观点或各类结果) 答：我有各种不同的小创造，散见与文章与视频之中，这个与上面几条似乎有所重复。 有用的数学(比如会在某个领域的未来工作中被反复用到的引理或方法) 答：我曾经把泛函分析中Hahn-Banach定理与抽象代数中Baer判据做了比较，抽象出一个关于扩张问题的引理，只可惜后来发现类似的引理已经被提出过了。 强有力的数学(比如与一个已知反例相匹配的敏锐的结果， 或从一个看起来很弱的假设推出一个强得出乎意料的结论) 答：直线可以表为第一纲集与零测集的并，这个并不是我发现的，但我第一眼就看中了它，并且演绎出了一段直线上的童话故事。 深刻的数学(比如一个明显非平凡的结果， 比如理解一个无法用更初等的方法接近的微妙现象) 答：比如可数维Banach空间的不存在性，它本质上要涉及到纲推理，这是我以前做过的一道习题，后来引入到自己的泛函分析视频里。 直观的数学(比如一个自然的、 容易形象化的论证) 答：这个我还没有自己的结果，只是自己讲课一般都不看讲稿，因此就只能去寻找或者制作最简单最容易记住的证明方式。 明确的数学(比如对某一类型的所有客体的分类， 对一个数学课题的结论) 答：我整理过球面上切丛的可平凡化问题，尽管这个不是我发现的，但可以对明确数学也有所意识。 以前就是数学家陶哲轩提出的种种好数学，这里我再补充一个好数学，那就是能够已经被写入或者可能被写入教科书里的数学，而且还不能是那种生硬的引用，要能够与教科书中原有的内容无缝衔接，就像从基础知识中自然流淌出来一般。遗憾的是，国内很多数学系就是急功近利盲目赶时髦，结果只能是从论文中来，到论文中去，永远不能被书本乃至于数学史所接纳，那些靠时间堆积出来的东西，终究是会被时间给淹没掉的！
‘柒’ Fields 奖得主：什么是好数学
国际上最着名的、最有影响的数学奖是菲尔兹奖和沃尔夫奖，各国还另外设有自己的奖项。下面是这些奖项的设立以及获奖情况、获奖条件等等。 【菲尔兹奖】 菲尔兹奖是由已故加拿大数学家菲尔兹提议设立的，得奖者须在该年元旦前未满四十岁。一9二四年他在多伦多市召开的国际数学家大会上，倡议将学术会议剩余经费作为基金，并自己捐赠了部分资金。这个倡议得到了与会的各国数学家的一致拥护。一9三二年菲尔兹不幸病故，但是同年在苏黎世召开的国际数学家大会通过了菲尔兹奖的成立并决定从一9三陆年起开始评定，在每届国际数学家大会上颁发，菲尔兹奖的奖品为奖金一500美元和一枚金质奖章。 【沃尔夫奖】 沃尔夫奖也是国际数学界的一个大奖。不过，与菲尔兹奖不同的是，它是在一9漆陆年一月一日，由沃尔夫及其家族捐献而成立的。沃尔夫出生于德国，在第一次世界大战前移民古巴，他用了将近二0年的时间成功地发现了如何从熔炉废渣中回收铁，从而致富。沃尔夫家族总共捐款一千万美金，宗旨是希望“促进科学和艺术的发展以造福人类”。沃尔夫奖每年颁发一次，奖给在化学、农业、医学、物理、数学和艺术领域的杰出成就者，每个领域奖金一0万，可由几个人联合获得，它没有年龄的限制，而且获奖者都是世界上作出卓越贡献的科学家.这些科学家的巨大声誉使得该奖广为人知，也可以说沃尔夫奖就是数学界的“诺贝尔奖”。 除了这两个国际性的大奖外，世界各国都设有了自己的数学奖。 比如，在美国，美国数学会设立了两个奖：一个是伯克霍夫应用数学奖，它是由一9陆漆年由美国数学会和工业及应用数学会共同发起设立的；另一个是维纳应用数学奖，是一9陆漆年为了向N·维纳教授表示敬意而设立，奖金由美国麻省理工学院的数学系捐赠，总数为二000美元。 在加拿大设立的皇家学会托里奖章，创立于一9四三年，目的是表彰在物理、化学、数学、天文学或有关学科中某个分支作出杰出研究成果的人，不限国籍. 法国设有科学院纪念一9四0年—一9四5年被德国人杀害的法国学者基金奖、法国科学院孔泰奖、法国科学院彭赛列奖等。 意大利有费尔特里内里基金会安托尼奥·费尔特里内里奖等。 比利时有知识青年联盟恩佩科学奖。 奥地利有红衣主教因尼策尔基金奖等。 以色列有魏茨曼科学研究院利迪纪念奖等。 中国有陈省身数学奖、钟家庆数学奖等。 *其他数学奖 【阿贝尔奖】 为了纪念挪威着名数学家阿贝尔诞辰二00周年，挪威政府于二00三年设立了一项数学奖——阿贝尔奖。这项每年颁发一次的奖项的奖金高达吧0万美元，相当于诺贝尔奖的奖金，是世界上奖金最高的数学奖。 【华罗庚数学奖】 一99二年一一月四日，中国首届“华罗庚数学奖”在北京颁奖。为了纪念世界着名数学家华罗庚对中国数学事业的杰出贡献，促进中国数学的发展，由湖南教育出版社捐资，与中国数学会共同主办的“华罗庚数学奖”，以奖励和鼓励对中国数学事业的发展作出突出贡献的中国数学家，每两年评奖一次。 遵照华罗庚数学奖奖励条例，该奖主要奖励长期以来对发展中国的数学事业作出杰出贡献的中国数学家。获奖人年龄在50岁至漆0岁之间。获得这一奖励的数学家都具备较高的学术水平，引起了国内外数学界的瞩目，对促进中国数学研究起到了积极作用。 【陈省身数学奖】 华裔美籍数学家、中国科学院外籍院士陈省身教授是一位国际数学大师，他对发展数学做出了卓越贡献。陈省身先生非常关心祖国数学事业的发展，几十年来为发展中国的数学事业、培养数学人才等方面做了大量工作。为了肯定陈省身教授的功绩，激励中国中青年数学工作者对发展中国的数学事业做出贡献，中国数学会常务理事会决定设立“陈省身数学奖”。奖励范围为在数学领域做出突出成果的中国中青年数学家。 参考资料： 数学奖_网络 中国ke.中国/link?url=二vi四5XPXsez5吧gcd陆PW陆WNHtOAxVuXJ三nAqmrnjY吧MaztLXTSLaQ吧5odfBuQWBCjTqXnlnNpsswztGSM吧uj漆E
‘捌’ 学好数学的方法是什么
学数学要在理解的基础上去做题，学会数学关键在于个人的悟性，除了上课认真听讲、课后做匹配练习外，还需要练就独立解题能力与总结反思能力，学会以不变应万变。
学数学最重要的就是解题能力。要想会做数学题目，就要有大量的练习积累，知道各类型题目的解题步骤与方法，题目做多了就有手感了，再拿出类似的题目才会有解题思路。
其次是学会预习。解题思路不是直接就有的，也并非通过做几道简单的题目就能轻易获得，而是在预习过程中不断积累出来的。因此，预习在数学学习过程中起到了非常重要的作用。预习一方面能够让大家提前对数学知识有所了解，另一方面能够培养数学独立学习能力。
学数学必须多做题。理解了数学基本定义和知识点以后，就需要通过做对应习题去巩固知识，多做多练才能更好地掌握所学知识，学数学也是看花容易绣花难的，只有真正动手去做题、经历了实操过程能学会。
做完题要学会总结。对于做过的题型及做错的题目要善于进行分类总结，再遇到类似的题目要会分析，知道哪里容易出现问题，然后尽量去避免。同时在做题和总结过程中，要学会举一反三，抓住考点去复习。
学数学要会看书和查缺补漏。数学基础考点都来源于课本，大家之所以觉得书没什么可看，是因为对教材掌握程度不够。书上的每个定义都要理解后倒背如流，深究每个词语的含义，做懂每个例题，会推导数学公式及变形公式。
做数学题目方法不唯一，只要是逻辑合理、能一步步推导出结论的方法都可以，不必拘泥于老师讲授的方法。做数学小题也可以采用画图、试值法、代入法等去做，只要沉下心去研究，功夫不负有心人，数学总能够学好。
‘玖’ 什么是好数学
1. 数学品质的诸多方面 我们都认为数学家应该努力创造好数学。 但 “好数学” 该如何定义？ 甚至是否该斗胆试图加以定义呢？ 让我们先考虑前一个问题。 我们几乎立刻能够意识到有许多不同种类的数学都可以被称为是 “好” 的。 比方说， “好数学” 可以指 (不分先后顺序)： 好的数学题解 (比如在一个重要数学问题上的重大突破)； 好的数学技巧 (比如对现有方法的精湛运用， 或发展新的工具)； 好的数学理论 (比如系统性地统一或推广一系列现有结果的概念框架或符号选择)； 好的数学洞察 (比如一个重要的概念简化， 或对一个统一的原理、 启示、 类比或主题的实现)； 好的数学发现 (比如对一个出人意料、 引人入胜的新的数学现象、 关联或反例的揭示)； 好的数学应用 (比如应用于物理、 工程、 计算机科学、 统计等领域的重要问题， 或将一个数学领域的结果应用于另一个数学领域)； 好的数学展示 (比如对新近数学课题的详尽而广博的概览， 或一个清晰而动机合理的论证)； 好的数学教学 (比如能让他人更有效地学习及研究数学的讲义或写作风格， 或对数学教育的贡献)； 好的数学远见 (比如富有成效的长远计划或猜想)； 好的数学品味 (比如自身有趣且对重要课题、 主题或问题有影响的研究目标)； 好的数学公关 (比如向非数学家或另一个领域的数学家有效地展示数学成就)； 好的元数学 (比如数学基础、 哲学、 历史、 学识或实践方面的进展)； [译者注： 此处 “元数学” 译自 “meta-mathematics”， 不过这里所举的有些内容， 如历史、 实践等， 通常并不属于元数学的范畴。] 严密的数学 (所有细节都正确、 细致而完整地给出)； 美丽的数学 (比如 Ramanujan 的令人惊奇的恒等式； 陈述简单漂亮， 证明却很困难的结果)； 优美的数学 (比如 Paul Erdős 的 “来自天书的证明” 观念； 通过最少的努力得到困难的结果)； [译者注： “来自天书的证明” 译自 “proofs from the Book”。 Paul Erdős 喜欢将最优美的数学证明说成是来自 “The Book” (我将之译为 “天书”)， 他有这样一句名言： 你不一定要相信上帝， 但应该相信 “The Book”。 Erdős 去世后的第三年， 即 1998 年， Martin Aigner 和 Günter M. Ziegler 以《来自天书的证明》为书名出版了一本书， 收录了几十个优美的数学证明， 以纪念 Erdős。] 创造性的数学 (比如本质上新颖的原创技巧、 观点或各类结果)； 有用的数学 (比如会在某个领域的未来工作中被反复用到的引理或方法)； 强有力的数学 (比如与一个已知反例相匹配的敏锐的结果， 或从一个看起来很弱的假设推出一个强得出乎意料的结论)； 深刻的数学 (比如一个明显非平凡的结果， 比如理解一个无法用更初等的方法接近的微妙现象)； 直观的数学 (比如一个自然的、 容易形象化的论证)； 明确的数学 (比如对某一类型的所有客体的分类； 对一个数学课题的结论)； 其它[注一]。 如上所述， 数学品质这一概念是一个高维的 (high-dimensional) 概念， 并且不存在显而易见的标准排序[注二]。 我相信这是由于数学本身就是复杂和高维的， 并且会以一种自我调整及难以预料的方式而演化； 上述每种品质都代表了我们作为一个群体增进对数学的理解及运用的不同方式。 至于上述品质的相对重要性或权重， 看来并无普遍的共识。 这部分地是由于技术上的考虑： 一个特定时期的某个数学领域的发展也许更易于接纳一种特殊的方法； 部分地也是由于文化上的考虑： 任何一个特定的数学领域或学派都倾向于吸引具有相似思维、 喜爱相似方法的数学家。 它同时也反映了数学能力的多样性： 不同的数学家往往擅长不同的风格， 因而适应不同类型的数学挑战。 我相信 “好数学” 的这种多样性和差异性对于整个数学来说是非常健康的， 因为它允许我们在追求更多的数学进展及更好的理解数学这一共同目标上采取许多不同的方法， 并开发许多不同的数学天赋。 虽然上述每种品质都被普遍接受为是数学所需要的品质， 但牺牲其它所有品质为代价来单独追求其中一两种却有可能变成对一个领域的危害。 考虑下列假想的 (有点夸张的) 情形： 一个领域变得越来越华丽怪异， 在其中各种单独的结果为推广而推广， 为精致而精致， 而整个领域却在毫无明确目标和前进感地随意漂流。 一个领域变得被令人惊骇的猜想所充斥， 却毫无希望在其中任何一个猜想上取得严格进展。 一个领域变得主要通过特殊方法来解决一群互不关联的问题， 却没有统一的主题、 联系或目的。 一个领域变得过于枯燥和理论化， 不断用技术上越来越形式化的框架来重铸和统一以前的结果， 后果却是不产生任何令人激动的新突破。 一个领域崇尚经典结果， 不断给出这些结果的更短、 更简单及更优美的证明， 但却不产生任何经典着作以外的真正原创的新结果。 在上述每种情形下， 有关领域会在短期内出现大量的工作和进展， 但从长远看却有边缘化和无法吸引更年轻的数学家的危险。 幸运的是， 当一个领域不断接受挑战， 并因其与其它数学领域 (或相关学科) 的关联而获得新生， 或受到并尊重多种 “好数学” 的文化熏陶时， 它不太可能会以这种方式而衰落。 这些自我纠错机制有助于使数学保持平衡、 统一、 多产和活跃。 现在让我们转而考虑前面提出的另一个问题， 即我们到底该不该试图对 “好数学” 下定义。 下定义有让我们变得傲慢自大的危险， 特别是， 我们有可能因为一个真正数学进展的奇异个例不满足主流定义[注三]而忽视它。 另一方面， 相反的观点 - 即在任何数学研究领域中所有方法都同样适用并该得到同样资源[注四]， 或所有数学贡献都同样重要 - 也是有风险的。 那样的观点就其理想主义而言也许是令人钦佩的， 但它侵蚀了数学的方向感和目的感， 并且还可能导致数学资源的不合理分配[注五]。 真实的情形处于两者之间， 对于每个数学领域， 现存的结果、 传统、 直觉和经验 (或它们的缺失) 预示着哪种方法可能会富有成效， 从而应当得到大多数的资源； 那种方法更具试探性， 从而或许只要少数有独立头脑的数学家去进行探究以避免遗漏。 比方说， 在已经发展成熟的领域， 比较合理的做法也许是追求系统方案， 以严格的方式发展普遍理论， 稳妥地延用卓有成效的方法及业已确立的直觉； 而在较新的、 不太稳定的领域， 更应该强调的也许是提出和解决猜想， 尝试不同的方法， 以及在一定程度上依赖不严格的启示和类比。 因此， 从策略上讲比较合理的做法是， 在每个领域内就数学进展中什么品质最应该受到鼓励做一个起码是部分的 (但与时俱进的) 调查， 以便在该领域的每个发展阶段都能最有效地发展和推进该领域。 比方说， 某个领域也许急需解决一些紧迫的问题； 另一个领域也许在翘首以待一个可以理顺大量已有成果的理论框架， 或一个宏大的方案或一系列猜想来激发新的结果； 其它领域则也许会从对关键定理的新的、 更简单及更概念化的证明中获益匪浅； 而更多的领域也许需要更大的公开性， 以及关于其课题的透彻介绍， 以吸引更多的兴趣和参与。 因此， 对什么是好数学的确定会并且也应当高度依赖一个领域自身的状况。 这种确定还应当不断地更新与争论， 无论是在领域内还是从通过旁观者。 如前所述， 有关一个领域应当如何发展的调查， 若不及时检验和更正， 很有可能会导致该领域内的不平衡。 上面的讨论似乎表明评价数学品质虽然重要， 却是一件复杂得毫无希望的事情， 特别是由于许多好的数学成就在上述某些品质上或许得分很高， 在其它品质上却不然； 同时， 这些品质中有许多是主观而难以精确度量的 (除非是事后诸葛)。 然而， 一个令人瞩目的现象是[注六]： 上述一种意义上的好数学往往倾向于引致许多其它意义上的好数学， 由此产生了一个试探性的猜测， 即有关高品质数学的普遍观念也许毕竟还是存在的， 上述所有特定衡量标准都代表了发现新数学的不同途径， 或一个数学故事发展过程中的不同阶段或方面。