为什么要用线性系统数学模型

1. 线性系统和非线性系统的区别是什么

线性系统：状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统.一个由线性元部件所组成的系统必是线性系统.但是,相反的命题在某些情况下可能不成立.线性系统的状态变量(或输出变量)与输入变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述,这种方程称为系统的数学模型.
非线性系统：一个系统,如果其输出不与其输入成正比,则它是非线性的.从数学上看,非线性系统的特征是叠加原理不再成立.叠加原理是指描述系统的方程的两个解之和仍为其解.叠加原理可以通过两种方式失效.其一,方程本身是非线性的.其二,方程本身虽然是线性的,但边界是未知的或运动的.

2. 自动控制问题。什么是线性系统

线性系统是一数学模型，指用线性运算子组成的系统。相较于非线性系统，线性系统的特性比较简单。线性系统需满足线性的特性，若线性系统还满足非时变性（即系统的输入信号若延迟τ秒，那么得到的输出除了这τ秒延时以外是完全相同的），则称为线性时不变系统。

对于线性系统，通常还可进一步分为线性时不变系统和线性时变系统。

(2)为什么要用线性系统数学模型扩展阅读

1、线性系统指同时满足叠加性与均匀性（又称为其次性）的系统。所谓叠加性为当几个输入信号共同作用于系统时，总的输出等于每个输入单独作用时产生的输出之和；均匀性是指当输入信号增大若干倍时，输出也相应增大同样的倍数。

时变系统(time-varying system)其中一或一个以上的参数值随时间而变化，从而整个特性也随时间而变化的系统。时变系统的特点是，其输出响应的波形不仅同输入波形有关，而且也同输入信号加入的时刻有关。

线性时变系统即同时满足线性系统和时变系统特征的系统，它满足系统叠加性与均匀性的特点，同时，当系统中某个参数值随时间而变化时，整个特性也随时间而变化。

2、线性时不变系统也称为线性定常系统或线性常系数系数，其特点是，描述系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，每个系数都不随时间变化的常数。从实际的观点而言，线性时不变系统也是实际系统的一种理想化模型，实质上是对实际系统经过近似化和工程化处理后所导出的一类理想化系统。

3. 什么是线性系统

①线性系统的稳定性和输出特性只决定于系统本身的结构和参数。而非线性系统的稳定性和输出动态过程，不仅与系统的结构和参数有关，而且还与系统的初始条件和输入信号大小有关。例如，在幅值大的初始条件下系统的运动是收敛的（稳定的），而在幅值小的初始条件下系统的运动却是发散的（不稳定的），或者情况相反。
②非线性系统的平衡运动状态，除平衡点外还可能有周期解。周期解有稳定和不稳定两类，前者观察不到，后者是实际可观察到的。因此在某些非线性系统中，即使没有外部输入作用也会产生有一定振幅和频率的振荡,称为自激振荡,相应的相轨线为极限环。改变系统的参数可以改变自激振荡的振幅和频率。这个特性可应用于实际工程问题，以达到某种技术目的。例如，根据所测温度来影响自激振荡的条件，使之振荡或消振，可以构成双位式温度调节器。③线性系统的输入为正弦函数时，其输出的稳态过程也是同频率的正弦函数，两者仅在相位和幅值上不同。但非线性系统的输入为正弦函数时，其输出则是包含有高次谐波的非正弦周期函数，即输出会产生倍频、分频、频率侵占等现象。
④复杂的非线性系统在一定条件下还会产生突变、分岔、混沌等现象。

4. 线性规划模型的优点和缺点有哪些

优点：有统一算法，任何线性规划问题都能求解，解决多变量最优决策的方法。

缺点：对于数据的准确性要求高，只能对线性的问题进行规划约束，而且计算量大，有由线性规划演变的非线性规划法等等后续的方法弥补，但是计算量增加许多。

线性规划是决策系统的静态最优化数学规划方法之一.它作为经营管理决策中的数学手段,在现代决策中的应用是非常广泛的,它可以用来解决科学研究、工程设计、生产安排、军事指挥、经济规划。

(4)为什么要用线性系统数学模型扩展阅读：

1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。

2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。

3、约束条件也是决策变量的线性函数。当得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

5. 线性系统理论在实践中怎么应用

很多实际系统（工程系统、生物系统、经济系统、社会系统等）都可用线性系统模型近似地描述，而线性系统理论和方法又比较成熟，因此它的应用范围十分广泛。在航空、航天、化工、机械、电机等技术领域中，线性系统理论都有应用实例。在科学领域中，线性系统理论的研究不但为控制理论的其他分支提供了理论基础，而且对数学研究也提出了一些有实际意义的新问题。

线性系统理论
20世纪50年代以后，随着航天等技术的发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显,它既不能满足实际需要,也不能解决理论本身提出的一些新问题。这种状况推动线性系统的研究，在1960年以后从经典阶段发展到现代阶段。美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于对多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性这两个基本概念，并提出相应的判别准则。1963年他又和E.G.吉尔伯特一起得出揭示线性系统结构分解的重要结果，为现代线性系统理论的形成和发展作了开创性的工作。1965年以后，现代线性系统理论又有新发展。出现了线性系统几何理论、线性系统代数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新方法。随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算机辅助设计问题也受到普遍重视。
主要特点 与经典线性控制理论相比，现代线性系统理论的主要特点是：
①研究对象一般是多变量线性系统，而经典理论主要以单输入单输出系统为研究对象。因此，现代线性系统理论具有大得多的适用范围。
②除输入变量和输出变量外，还着重考虑描述系统内部状态的状态变量，而经典理论只考虑系统的外部性能（输入与输出的关系）。因此，现代线性系统理论所考虑的问题更为全面和更为深刻。
③在分析和综合方法方面以时域方法为主，兼而采用频域方法。而经典理论主要采用频域方法。因此，现代线性系统理论能充分利用这两种方法。而时域方法对动态描述要更为直观。
④使用更多的数学工具，除经典理论中使用的拉普拉斯变换外，现代线性系统理论大量使用线性代数、矩阵理论和微分方程理论，对某些问题还使用泛函分析、群论、环论、范畴论和复变函数论等较高深的数学工具。因此，现代线性系统理论能探讨更一般更复杂的问题。
数学模型 在线性系统理论中，输入变量、状态变量和输出变量三者之间的数学关系被看作是线性的。系统数学模型具有标准形式。对于连续情况，线性系统由下列方程组描述：

第一个方程称为状态方程，用以描述状态向量x＝(x1，x2,…,xn)T 与输入向量u＝(u1,…,ur)T间的动态关系；第二个方程称为输出方程或量测方程,描述输出向量y＝(y1，y2…,ym)T与状态向量和输入向量之间的线性组合关系。这里T表示矩阵转置。A，B，C和D都是常系数矩阵。x的维数（即系统的状态变量的个数）n称为系统的维数。
对于离散情况，线性系统的模型具有差分方程形式：
x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)
y(k)＝Cx(k)＋Du(k)(k＝0,1,2,…)
为简便起见,常可把线性系统简记为(A，B，C，D)。其中Du或Du(k)表示从输入端直接传送到输出端的前馈作用,它与系统状态的动态行为无关。在理论研究中常可假设D＝0，这时系统可记为(A，B，C)。
学科内容 线性系统理论的主要内容包括：①与系统结构有关的各种问题，例如系统的结构分解问题和解耦问题等。系统结构的规范分解（见能观测性）是其中的着名结果。②关于控制系统中反馈作用的各种问题，包括输出反馈和状态反馈对控制系统性能的影响和反馈控制系统的综合设计等问题。极点配置是这方面的主要研究课题。③状态观测器问题，研究用来重构系统状态的状态观测器的原理和设计问题。④实现问题，研究如何构造具有给定的外部特性的线性系统的问题，主要研究课题是最小实现问题。⑤几何理论，即用几何观点研究线性系统的全局性问题(见线性系统几何理论)。⑥代数理论，用抽象代数方法研究线性系统，把线性系统理论抽象化和符号化。其中最有名的是模论方法（见线性系统代数理论）。⑦多变量频域方法，是在状态空间法基础上发展起来的频域方法，可以用来处理多变量线性系统的许多分析和综合问题，也称现代频域方法。⑧时变线性系统理论，研究时变线性系统的分析、综合和各种特性。数值方法和近似方法的研究占有重要地位（见时变系统）。

6. 静态工作点分析为什么可以视为线性系统

因为静态工作点满足线性特性。
静态工作点用于小信号分析，用于推算传输函数。常见半导体器件的小信号模型的各参数都是和其工作状态相关，比如不同的端电压，电流会有不同的小信号模型。所以在推算传函之前，需要确定各器件的端电压电流，对应的就是整个电路的静态工作点，这里的静态是相对于小信号来说的。还有一种是推算冲击响应，也要先计算0时刻的电路状态，也可以把0时刻叫做静态工作点。
线性系统是一数学模型，是指用线性运算子组成的系统。相较于非线性系统，线性系统的特性比较简单。例如以下的系统即为一线性系统：由于线性系统较容易处理，许多时候会将系统理想化或简化为线性系统。线性系统常应用在自动控制理论、信号处理及电信上。像无线通讯讯号在介质中的传播就可以用线性系统来模拟。

7. 什么是系统的数学模型，试举例说明线性定常确定性动态系统的数学模型

又称数学建模。数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法．简称为MM方法。数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。如经调查统计．现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80米左右、体重70公斤左右，100米成绩10秒左右或更好等。用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系的模型。它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。静态和动态模型静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的（见拉普拉斯变换）。分布参数和集中参数模型分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的动态特性，而集中参数模型是用线性或非线性常微分方程来描述系统的动态特性。在许多情况下，分布参数模型借助于空间离散化的方法，可简化为复杂程度较低的集中参数模型。连续时间和离散时间模型模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，上述各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。随机性和确定性模型随机性模型中变量之间关系是以统计值或概率分布的形式给出的，而在确定性模型中变量间的关系是确定的。参数与非参数模型用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。通过理论分析总是得出参数模型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型。运用各种系统辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验前可以决定系统的结构，则通过实验辨识可以直接得到参数模型。线性和非线性模型线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输入量同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的响应之和。线性模型简单，应用广泛。非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理。在允许的情况下，非线性模型往往可以线性化为线性模型，方法是把非线性模型在工作点邻域内展成泰勒级数，保留一阶项，略去高阶项，就可得到近似的线性模型。

8. 线性系统的数学模型

描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间表达式等。系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。解析法是依据系统各变量之间所遵循的基本定律，列写出变量间的数学表达式，从而建立系统的数学模型。

9. ★线性系统是什么非线性系统又是什么区别何在

线性系统：状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统.一个由线性元部件所组成的系统必是线性系统.但是,相反的命题在某些情况下可能不成立.线性系统的状态变量(或输出变量)与输入变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述,这种方程称为系统的数学模型.
非线性系统：一个系统,如果其输出不与其输入成正比,则它是非线性的.从数学上看,非线性系统的特征是叠加原理不再成立.叠加原理是指描述系统的方程的两个解之和仍为其解.叠加原理可以通过两种方式失效.其一,方程本身是非线性的.其二,方程本身虽然是线性的,但边界是未知的或运动的.
线性,指量与量之间按比例、成直线的关系,在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系,代表不规则的运动和突变.如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍?很容易想到的是两倍,可实际是 6－10倍!这就是非线性：1＋1不等于2.
线性关系是互不相干的独立关系,而非线性则是相互作用,而正是这种相互作用,使得整体不再是简单地等于部分之和,而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损.
线性关系中的量是成比例的：十枚橘子的价钱是一枚的十倍.非线性意味着批发价格是不成比例的：一大箱橘子的价钱比一枚的价钱乘以橘子的个数要少.这里重要的观念是“反馈”——折扣的大小反过来又影响顾客购买的数量.
激光的生成就是非线性的!当外加电压较小时,激光器犹如普通电灯,光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时,会突然出现一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命令,发射出相位和方向都一致的单色光,就是激光.
迄今为止,对非线性的概念、非线性的性质,并没有清晰的、完整的认识,对其哲学意义也没有充分地开掘.
线性：从相互关联的两个角度来界定,其一：叠加原理成立；其二：物理变量间的函数关系是直线,变量间的变化率是恒量.
在明确了线性的含义后,相应地非线性概念就易于界定：
其—,“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”,即叠加原理不成立,这意味着φ与ψ间存在着耦合,对（aφ+bψ）的*作,等于分别对φ和ψ*作外,再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的*作,或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的.
其二,作为等价的另—种表述,我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中,一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的,换言之,变量间的变化率不是恒量,函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方,概括地说,就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的.可以说,这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现,也是非线性系统复杂性的根源.
对非线性概念的这两种表述实际上是等价的,其—叠加原理不成立必将导致其二物理变量关系不对称；反之,如果物理变量关系不对称,那么叠加原理将不成立.之所以采用了两种表述,是因为在不同的场合,对于不同的对象,两种表述有各自的方便之处,如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的,后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的.
非线性的特点是：横断各个专业,渗透各个领域,几乎可以说是：“无处不在时时有.”
线性系统对初值不敏感,而非线性系统对初值较敏感.线性系统的状态可以通过线性方程解出,比较容易；而非线性系统就较难.由于线性系统较容易处理,许多时候会将系统理想化或简化为线性系统.严格地说,实际的物理系统都不可能是线性系统.但是,通过近似处理和合理简化,大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析.
例如一个电子放大器,在小信号下就可以看作是一个线性放大器,只是在大范围时才需要考虑其饱和特性即非线性特性.
线性系统的理论比较完整,也便于应用,所以有时对非线性系统也近似地用线性系统来处理.
例如在处理输出轴上的摩擦力矩时,常将静摩擦当作与速度成比例的粘性摩擦来处理,以便于得出一些可用来指导设计的结论.
线性意味着系统的简单性,但自然现象就其本质来说,都是复杂的,非线性的.所幸的是,自然界中的许多现象都可以在一定程度上近似为线性.传统的物理学和自然科学就是为各种现象建立线性模型,并取得了巨大的成功.但随着人类对自然界中各种复杂现象的深入研究,越来越多的非线性现象开始进入人类的视野.
目前非线性物理学中研究得最为广泛的领域主要有：混沌理论、分形、模式形成、孤立子、细胞自动机,耗散结构、自组织、复杂系统.
特别是混沌理论的创立,被研究者誉为继相对论和量子力学之后的20世纪第三次科学革命.相对论证实了物质运动速度的极限,量子力学指出测量能力的极限,而混沌理论则揭示了计算能力的极限；即任何物体的运动速度不能超过光速,任何测量不能同时确定一对共轭变量,任何计算机不能计算混沌轨道的长期演化.

10. 线性系统是什么

答：一、线性系统含义
线性系统是一数学模型，是指用线性运算子组成的系统。相较于非线性系统，线性系统的特性比较简单。线性系统需满足线性的特性，若线性系统还满足非时变性（即系统的输入信号若延迟τ秒，那么得到的输出除了这τ秒延时以外是完全相同的），则称为线性时不变系统。
二、分类
对于线性系统，通常还可进一步分为线性时不变系统和线性时变系统。
1、线性时不变系统
线性时不变系统也称为线性定常系统或线性常系数系数，其特点是，描述系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，每个系数都不随时间变化的常数。
2、线性时变系统
线性时变系统也称为线性变系数系统。其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，至少包含一个参数为随时间变化的函数。