数列数学题怎么总结

1. 高中数学要怎么总结解题方法

高中数学解题思路与技巧总结
（1）函数
函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
（2）方程或不等式
如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；
（3）初等函数
面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；
(4)选择与填空中的不等式
选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；
(5)参数的取值范围
求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；
(6)恒成立问题
恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；
(7)圆锥曲线问题
圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；
(8)曲线方程
求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；
(9)离心率
求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；
(10)三角函数
三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；
(11)数列问题
数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；
（12）立体几何问题
立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；
（13）导数
导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；
（14）概率
概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；
（15）换元法
遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；
（16）二项分布
注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；
（17）绝对值问题
绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；
（18）平移
与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；
（19）中心对称
关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
六种解题思路：
1.函数与方程思想
函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。
2.数形结合思想
数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。
解题类型
(1)“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
(2)“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
(3)“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
3.分类讨论思想
分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。
解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。
常见的类型
类型1：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；
类型2：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；
类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；
类型4：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。
类型5：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。
分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。分类的原则：分类不重不漏。
4.转化与化归思想
转化与化归是中学数学最基本的数学思想之一，是一切数学思想方法的核心。数形结合的思想体现了数与形的转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。
转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的；不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观的问题；将复杂的转为简单的问题；将一般的转为特殊的问题；将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。
常见的转化方法
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径；
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题；
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径。
5.特殊与一般思想
用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样有用。
6.极限思想
极限思想解决问题的一般步骤为：
一、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量
二、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量
三、构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。
掌握数学解题思想是解答数学题时不可缺少的一步，建议同学们在做题型训练之前先了解数学解题思想，掌握解题技巧，并将做过的题目加以归纳总结，以便在考试中游刃有余。

2. 谁帮我总结下高中数学中常用的数列求和裂项公式

裂项法裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例1]
【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂项）
则
Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝
1-1/(n+1)
＝
n/(n+1)

[例2]
【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1)
的前n项和.
解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）
则
Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）
＝
(n-1)n(n+1)/3
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意：
余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）
附：数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
1、分组法求数列的和：如an=2n+3n
2、错位相减法求和：如an=n·2^n
3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和：如an=
n
5、求数列的最大、最小项的方法：
①
an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3
②
(an>0)
如an=
③
an=f(n)
研究函数f(n)的增减性
如an=
an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差数列
中,有关Sn
的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当
a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.
(2)当
a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3. 关于高中数列的常见解题思路

1;有递推公式求通向公式，这个有点难度那得看递推公式了
一般有累加法
累乘法
有一种典型的递推公式要设未知数大题中考的比较频繁的是把给的递推公式经过等价的变形后的某种形式是等比数列或等差数列你应该做过这样的题吧？高三时貌似经常做这样的题，还有种是最难的了
貌似只有高考如果最后个大题是数列才会这样考，就是用数学归纳求。这种别乱用啊
只有在其他方法不管用是才用
至于用递推求通向就不用我讲了吧
令n=n-1代入原式出来一个新式用两个式子一起求
很简单
2；等比和等差不用我说了吧
还有一种叫错位相减求和，这种只适用于一个数列可以写成一个等差乘以一个等比数列形式的数列，在n个式子相加的形式
令n=n-1得到一个式子在令两式子相减可转化成等比数列的求和
还有列项相消
这种只适用于相除的数列形式一定要注意！！！！重点：注意观察裂开后拿项和那项可以消去
有的一个消一个
但有的是两个消两个
两个的容易错
3；啥叫差比数列啊？
4；在1；种有提及一般有两种形式第一种
是明着用数学归纳
这种简单
一般有三问
第一问求第二项第三项第四项或更多
第二问
有第一问求出来的
猜想通向
第三问用数学归纳证明
第二是暗着的
就是不明告诉你用数学归纳
一般在用所有方法都不行时在用这个方法
难点在于你一点要猜想对
才能证明对
5；这种最常考的是数列不等式用数学归纳证明不等式成立或用函数单调性证明不等式成立一般是比较喃的
6；应用题吗主要是理解题意
然后转化成数列模型
在用个以上数列地方法解决就行理解题意！！！2/3的时间用在理解题意上呢切记切记
7；利用不动点列出一个等式，这个等式几乎就是通向，在用通向解决吧
打这么多字挺累的
这事我高中时的总结
岁有很多忘记了
但想起来的
我都写上了
如果还有什么疑问
我尽量帮你解决
希望会对你有用！

4. 数列考试须注意的知识点（高一）总结

问题一：基本知识概念未吃透

全面复习基本知识和基本方法，并加强知识的条理性和整体性是第一轮复习急需解决的问题。

如面对代数中的4个“二次”：二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数时。以二次方程为基础，二次函数为主线，通过解析几何、三角函数、带参数的不等式等典型重要问题，建构知识，发展能力。

数学中的许多概念、公式都有共同的地方，很多方法、技能也有相似之处，但它们彼此之间还是有区别的。细微的区别无论老师怎样三令五申地强调，学生也许依然难以掌握。此时可以通过对比，清楚地看出它们的区别与联系。例如：

1、对于函数f(x)=lg(1+2x+4x·a)(1)f(x)在x∈(-∞,1)上有意义，则a的范围是____；

(2)f(x)的定义域为(-∞，1)，则a的范围是________。

2、在等差数列{an}中，当ar＝as(r≠s)时，{an}必定是常数数列。然而在等比数列{an}中，对某些正整数r,s(r≠s),当ar＝as时，非常数数列{an}的一个例子是______。

问题二：数学思想方法须梳理

应有意识地运用数学思想方法去分析问题解决问题，通过近几年的高考试题可以看出试卷主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查。常用的数学方法：配方法、消参法、换元法、待定系数法、坐标法等等；数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、归纳与演绎等；常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想等。数学思想方法是数学的精髓，它蕴涵在数学发生、发展和应用的全过程中，对它的灵活应用是数学能力的集中体现。

因为期中考试前主要是函数部分的内容，题目所用知识比较单一。期中考试后，数列、解几、复数、向量开始复习，题目所牵涉的知识点就比较多了，比如函数和数列、复数和向量、解几与数列等等，所以要加强知识交叉点问题的训练。这实际上就是训练分析问题解决问题的能力，下一阶段的复习，应对数学思想方法和数学基本方法进行梳理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序或操作程序。同学们只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新的看法、好的解法，形成能力，提高数学素质。

问题三：运算能力不到位

运算能力不到位也是期中考试反映出来的一个重要问题。运算能力是在掌握运算技能上发展起来的，主要表现在灵活运用运算的法则、性质、公式，善于观察、比较、推理等。学习数学反对死记硬背，但并不排除对所学知识的记忆。比如：三角函数中的诱导公式；两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角公式、万能公式等等。再如：立体几何中的一些公理和定理，很多同学不愿花时间去记忆，使得解题速度缓慢或用错公式、定理，从而导致运算准确率下降，时间来不及。如果你觉得自己数学学得还不错，但总也考不好，是否从这方面好好地找原因。因为有思路并不代表你能算对，不仅要会做，而且做法力求简洁、节约时间，强大的运算能力是拿高分的重要保证。

5. 高中数学数列总结

教学课题： 数列的求和
备课人：王德固
教学目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用公式法、分组结合法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法求解一些特殊的数列；
教学前的准备：
（1） 基本公式：
① 等差数列的前n项和公式
；
② 等比数列的前n项和公式

（2） 特殊数列求和---常用数列前n项和（记忆）

教学过程： 对于非等差数列、等比数列的特殊数列，求其前n项和的一般方法是：先求数列的通项公式，再分析数列通项公式结构的特征，然后转化为等差数列、等比数列求和或采用消项的方法求和。
知识点1：公式法（若问题可转化为等差、等比数列，则直接利用求和公式即可）

知识点2： 分组结合法（分组求和法、拆项法）
若数列 的通项公式为 ，其中 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。
知识点3：裂项相消法 （裂项法）
如果一个数列的每一项都能化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项相互抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法；
知识点4：错位相减法
若数列 的通项公式为 ，其中 ， 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
知识点5：倒序相加法
倒序相加法是推导等差数列前n项和公式的一种方法，在今后学习“排列、组合、二项式定理”一章中还会应用到，这里不加说明。
小结：特殊数列求和的几种常用方法的说明和应用；

6. 总结高中数学数列常用方法有哪几种

1：直接求合法

2：并项求和法

3：裂项求和法

4：拆项重组法

5：错位相减法

6：倒序相加法

7：归纳猜想法

7. 求高中数学数列求和方法总结

数列求和方法
1.
公式法：
等差数列求和公式:Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：Sn=na1(q=1)
Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)
2.错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式
{
an
}、{
bn
}分别是等差数列和等比数列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：
an=a1+(n-1)d
bn=a1•q(n-1)
Cn=anbn
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qTn=
a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn=
a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
=a1b1-an•b1•qn+d•b2[1-q(n-1)]/(1-q)
Tn=上述式子/(1-q)
3.倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
Sn
=a1+
a2+
a3+......
+an
Sn
=an+
a(n-1)+a(n-3)......
+a1
上下相加
得到2Sn
即
Sn=
（a1+an)n/2
4.分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如：an=2n+n-1
5.裂项法
适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n•n!=(n+1)!-n!
[例]
求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂项）
则
Sn
=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝
1-1/(n+1)
＝
n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意：
余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
例：
求证：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
n(n+1)(n+2)(n+3)
=
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
证明：
当n=1时，有：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
=
2×3×4×5×(1/5
+1)
=
2×3×4×5×6/5
假设命题在n=k时成立，于是：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
则当n=k+1时有：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
1×2×3×4
+
2×3×4*5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5
+1)
=
[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证
7.通项化归
先将通项公式进行化简，再进行求和。
如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
8.并项求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
方法一：（并项）
求出奇数项和偶数项的和，再相减。
方法二：
（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

8. 高中数学 总结数列

数列综合
数列作为特殊的函数，在很多问题上的解决方法都与函数相似。比如，在分析数列性质时，往往都要从数列中每一项的下标分析入手，这一点，与解决函数问题时要从对自变量的分析入手一样。函数与方程及不等式有着密切的联系，所以，数列问题又可与方程和不等式相结合。因此，在解决数列问题时，要注意重在方法上与函数、方程、不等式相类比，同时也充分关注到数列本身的一些特殊性质。
1．已知是关于的一次函数，是关于的二次函数，的图象是开口向下，对称轴为的抛物线，数列满足，而恰为数列的前项和。
（1）证明为等差数列，说明首项a1与公差d的符号；
（2）求出满足的最大正整数，判断此时与的大小，并说明理由；
（3）当a1=21时，求出与的解析式。
分析：本题考查等差数列的定义，通项公式，前项和公式的应用，综合考查数列与函数的综合。
解析：
（1）设，
∴，，
∴（常数）
∴是公差为k的等差数列。
∴
∴，
又的图象开口向下,且对称轴为
∴的公差d=k＜0且
∴
∴
（2）
令
∴，∴
∵n∈N*，∴满足的最大正整数n=6。
∴
∴
，∴
（3），∴k=－4，b=25，
∴，
反思：对于第（2）问，可以结合二次函数性质及等差数列性质，
法二：∵开口向下，对称轴且由等数列前n项和公式可知
∴图象与x轴交点横坐标为。
∴S11= 11a6＞0，S12=6(a6+a1)＜0
∴a6＞0，a7＜0
∴a1＞a2＞a3＞…＞a6＞0＞a7＞a8＞…

2．已知点是函数（a＞0且a≠1）的图象上的一点，等比数列的前n项和为，数列（）的首项为c，且前n项和满足。
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列前n项和为，问的最小正整数n是多少？
分析：本题考查数列知识的综合运用，与的关系，以及特殊数列求和及不等式的相关知识，解题过程中注重化归为基本问题。
解析：
（1）∵，∴
∴，，

∵是等比数列，∴
∴c=1且公比
∴，
∵
，，∴且b1=S1=1
∴是首项为1公差为1的等差数列
∴（），
∴当n≥2时
当n=1时b1=1=2×1－1
综上，（）
（2）
∴

由得
∴满足的最小正整数n=112。

3．等比数列的前n项和为，已知对任意的n∈N+，点均在函数（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图像上。
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记（n∈N+），求数列的前n项和。
分析：本题考查与的关系，即由求，以及特殊数列求和。
解析：
（1）由已知
∴a1=S1=b+r，a2=S2－S1=b2－b，a3=S3－S2=b3－b2
∵是等比数列，∴
∴(b2―b)2=(b+r)(b3―b2)，化简得(1+r)(b－1)·b2=0
∵b＞0且b≠1，∴1+r=0，r=－1
（2）由（1）知
∴a1=S1=1，
∴，
∴ ①
②
①－②：

∴
反思：错位相减求和时注意运算。

4．曲线C：y=(x+a)3（a≠0），以P0（0，a3）为切点，作曲线C的切线交x轴于Q1，过Q1作x轴的垂线交曲线C于P1（x1，y1）；以P1（x1，y1）为切点作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2（x2，y2）；如此继续下去，得到点列
（1）求与的关系（n≥2）；
（2）求，的通项公式。
分析：本题考查导数，数列的相关知识的综合运用。
解析：
（1）
∴过点的切线方程
其中
令y=0，∴
若存在n0使，则当n0=0时，与已知矛盾！
∴，
∴，∴
∴
（2）且，
∴是首项为，公比为的等比数列
∴，∴

反思：注意题目中出现了形如的递推关系，可利用如下待定系数法求通项公式。
令 ，∴
∴，
∴
∴在时数列即为公比是p的等比数列。

5．已知曲线（n=1，2，…）。从点P（－1，0）向曲线引斜率为的切线，切点为。
（1）求数列与的通项公式；
（2）证明：。
分析：本题综合考查圆、函数、数列相关知识，包括圆的切线，不等式放缩，函数单调性，求函数最值等，注意化归，同时关注几何图形及方法应用。

解析：
（1）圆，圆心，半径
∴，，
∴，即
由得
∴，即
（2），
∴
∴
∴
又，
令，∴
令得
对给定区间有，∴在单调递减
∴，即
而当n≥1时2n+1≥3，∴
∴即。
反思：本题（1）问充分关注了几何图形特征，利用平面几何知识求解，计算量小，第（2）问综合了数列单调性与函数单调性问题，注意方法的比较。

课后练习
1．已知函数，M（x1，y1），N（x2，y2）是图象上的两点，横坐标为的点P满足（O为坐标原点）。
（Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
（Ⅱ）若，其中n∈N*，且n≥2，求；
（Ⅲ）已知，其中n∈N*，为数列的前n项和，
若对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围。

2．已知数列的前n项和（n为正整数）。
（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，，试比较与的大小，并予以证明。

参考答案：
1．解析：
（Ⅰ）证：由已知可得，，
∴P是MN的中点，有x1+x2=1。
∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x1+x2=1时，
，
，
相加得

∴
（Ⅲ）当n≥2时，
。
又当n=1时，
∴。

。
由于对一切n∈N*都成立，

∵，当且仅当n=2时，取“=”，
∴。
因此。

2．解析：
（Ⅰ）在中，
令n=1，可得，即
当n≥2时，，∴，
∴，即。
∵，∴，
即当n≥2时，。
又b1= 2a1=1，∴数列是首项和公差均为1的等差数列。
于是，∴。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以

由①－②得

∴

于是确定与的大小关系等价于比较与2n+1的大小
由2＜2×1+1；22＜2×2+1；23＜2×3+1；24＜2×4+1；25＜2×5+1；……
可猜想当n≥3时，。
证明如下：
证法1：
（1）当n=3时，由上验算显示成立。
（2）假设当n=k（k≥3）时猜想也成立。
则当n=k+1时
所以当n=k+1时猜想也成立。
综合（1）（2）可知，对一切n≥3的正整数，都有。
证法2：当n≥3时

综上所述，当n=1，2时，，当n≥3时。

9. 数学：数列的解题方法

高中数列的解题技巧