如何用数学推导解释弹性

Ⅰ 高等数学，边际与弹性基础问题

简单点说边际是线性模型当中,自变量(X)与应变量(Y)也呈线性关系的模型里面的自变量前系数(参数),解释起来是X每增加(减少)一个单位,Y平均增加(减少)系数值个单位.

弹性则是线性模型当中,对数模型里面自变量ln(X)前系数(参数),解释起来是X每增加(减少)1%,Y平均增加(减少)系数值%.

具体边际与弹性的公式就不给你写了,上述回答是边际与弹性在计量经济学中的简单解释

Ⅱ 弹性公式是什么

弹性系数的计算公式：ε= （△Q/Q)/（△P/P)= -（P×dQ）/（Q×dP）。

价格弹性指价格变动引起的市场需求量的变化程度。它是企业决定产品提价或降价的主要依据。价格弹性表明了供求对价格变动的依存关系，反映了价格变动所引起的供求的相应的变动率，是衡量价格变动和市场需求量关系的一个指标。

特点：

价格弹性的范围（0，+∞）不等，价格弹性可分为需求价格弹性、供给的价格弹性、交叉价格弹性、预期价格弹性等类型。需求价格弹性系数的大小对销售者的收入有影响，具体表现为：

1、如果需求价格弹性系数小于1，价格上升会使销售收入增加。

2、如果需求价格弹性系数大于1时，那么价格上升会使销售收入减少，价格下降会使销售收入增加。

3、如果需求价格弹性系数等于1，那么价格变动不会引起销售收入变动。

以上即大家所说的薄利多销策略。其实除去价格弹性，品牌的忠诚度、品牌的健康形象、类别的动态等也影响产品的销售和利润，商家要参考多方面因素来制定销售方案。

Ⅲ 西方经济学点弹性怎么求关键是数学差，求详解步骤。

首先跟你说一下数学上的弹性，这个比较简单，因为简化成了x和y的关系。
我们把y=f（x）的弹性函数记为Ey/Ex=（△y/y)/(△x/x)
当△x无限趋近于0时要求极限来求弹性
它能表示任意一点x的弹性，此处就是点弹性的意思
如果不用求极限直接△其实就是求差值这个是求弧弹性的，但是不用管那么多，你只需要记住公式化简到最后的结果，直接用就可以。化简后，Ey/Ex=x·f'(x)/y。用中文说一下，就是y分之x再乘以y的导数。
弹性就是这么回事。
然后应用到经济学上。例如需求的价格弹性，其自变量是P，即数学公式上的x，因变量是Q，即数学公式上的y。注意经济学上有时会加上负号来凸显升降之类的，所以求需求的价格点弹性，
即ed=-Q‘(P)·P/Q

Ⅳ 微观经济学 价格弹性理论数学推导过程

q等于A×p的e次方（那个数学符号我打不出来，暂时用e代替）
弹性为1的商品e为-1，所以q与p的乘积A即收入不变.

Ⅳ 弹性力学的常用的数学方法

弹性力学中常用的数学方法可分分成两类：
①精确解法 包括分离变量法和弹性力学的复变函数方法。弹性力学中的许多精确解是用分离变量法求得的。其步骤大致如下：根据物体的形状，选择一种合适的曲线坐标系，并写出相应于该坐标系的弹性力学微分方程和边界条件，如果微分方程中的变量能够分离，通常便可求得问题的解。能用分离变量法求得精确解的问题有：无限和半无限体的问题，球体和球壳的问题，椭球腔的问题，圆柱和圆盘的问题等。
对于能化为平面调和函数或平面双调和函数的问题，复变函数方法是一个有效的求解工具《柱体的扭转和弯曲问题、平面应变和平面应力问题以及薄板弯曲问题中的许多重要精确解都是用复变函数法求得的。
②近似解法 为求解一些复杂的问题，在弹性力学中还发展了许多近似解法，能量法就是其中用得最多的一类方法，它把弹性力学问题化为数学中的变分问题（泛函的极值和驻值问题），然后再用瑞利-里兹法求近似解。能量法的内容很丰富，适应性很强。工程界当前广泛使用的有限元法是能量法的一种新发展。差分法也是一种常用的近似解法，其要点是用差商近似地代替微商，从而把原有的微分方程近似地化为代数方程。此外，边界积分方程、边界元法和加权残数法对解决某些问题也是有效的手段。
数学弹性力学的典型问题 有以下几类：
①一般性理论 它探讨解的共性和一般性的求解方法。一般性理论中，最核心的部分是能量原理（定理），包括虚功原理（虚位移原理、虚应力原理）、功的互等定理、最小势能原理、最小余能原理、赫林格-瑞斯纳二类变量广义变分原理和胡海昌-鹫津久一郎三类变量广义变分原理等。解的存在性、唯一性、解析性、平均值定理以及近似解的收敛性等，也都和能量原理有密切联系。这些一般性理论，是建立各种近似解法和建立工程结构实用理论的依据。
一般性理论的另一重要方面是未知函数的归并理论，其主要内容是将弹性力学问题归为求解少数几个函数，这些函数常称为应力函数和位移函数。
②柱体扭转和弯曲 一个侧面不受外力的细长柱体，在两端面上的外力作用下会产生扭转和弯曲。根据圣维南原理，柱体中间部分的应力状态只与作用在端面上载荷的合力和合力矩有关，而与载荷的具体分布无关。因此，柱体中间部分的应力有以下的表达式：
这里的x、y轴为横截面的两个主轴；z轴平行于柱体的母线；为应力分量，A为横截面的面积；Ix和Iy为横截面对x轴和y轴的惯性矩（见截面的几何性质）；N、Mx和My分别为作用在截面上的轴向合力、对x轴和y轴的弯矩。弯矩Mx、My是坐标z的线性函数，可用材料力学的方法求得。式（11）给出的与材料力学的解相同，但给出的剪应力比材料力学的结果精确。决定的问题最后可归为求解一个平面调和函数的边值问题。
③平面问题 平面问题是弹性力学中发展得比较成熟，应用得比较广的一类问题。平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题。两者的应用对象不同，但都可归为相同的数学问题——平面双调和函数的边值问题.
平面应力问题适用于薄板。若在薄板的两个表面上无外力，而在侧面上有沿厚度均匀分布的载荷（图1），则薄板中的位移和应力有如下特点：
且以及x、y方向的位移u、v都与坐标z无关。对于各向同性材料，上述五个不等于零的量可以用一个应力函数φ（x，y）（艾里应力函数）表示为：
而应力函数φ是一个平面双调和函数，即
平面应变问题适用于长柱体的中间部分。若柱体的两端面固定不动，而作用在侧面上的载荷和坐标z无关，且合力及合力矩等于零（图2），则柱体中间部分的应力和位移有如下特点：
纵向位移ω=0，且、u、v与坐标z无关。对于各向同性的材料，上述五个不等于零的量也可用一个双调和函数φ表示为公式（13），不过须将其中的E和v分别代以
④变截面轴扭转变截面轴受扭时，在截面的过渡区（图3）常有应力集中现象。分析这类问题以取圆柱坐标系（r，θ，z）为方便。在圆柱坐标系中的位移分量和应力分量分别记为u、v、w和
这类问题的力学特点是： u=w=0和
v、和与坐标z无关。上述不等于零的两个剪应力和可用一个应力函数（r，z）表示为：
而满足下列偏微分方程：
这类问题最后归为方程（15）的边值问题。
⑤回转体的轴对称变形各向同性的回转体在轴对称载荷作用下，必然产生轴对称的变形。在圆柱坐标系（r，θ，z）中，轴对称变形的特点是：v=0，=，且u、w、、、和与坐标θ无关。上述不等于零的六个量，可以用一个位移函数（x，y）表示为：
其中△是轴对称的拉昔拉斯算符，即
而是轴对称的双调和函数，即
⑥工程结构元件的实用理论 从广义上说，各种工程结构元件的实用理论（如杆、板、壳的实用理论）都是弹性力学的特殊分支，而且是最有实用价值的分支。这些实用理论分别依据结构元件形状及其受力的特点，对位移分布作一些合理的简化假设，对广义胡克定律也作相应的简化。这样，就能使数学方程既得到充分简化又保留了主要的力学特性。从弹性力学看，这些结构元件的实用理论都是近似理论，其近似性大多表现为按照这些理论计算得到的应力和应变不能严格满足胡克定律。

Ⅵ 如何推导出弹性势能的表达式

设想在重力作用下，一个物体缓慢从地面升至高度h处。
在有限高度内，重力可视为恒量mg。不随高度的变化而变化。
因此 重力对物体所做的功为 -mgh。（重力与位移方向相反，所以功为负）
重力属于保守力，保守力所做的功 + 保守力势能 = 常量。
因此，重力势能的表达式为 mgh。（以地面为势能零点）

------------------------------
而对一个弹性系统，弹性恢复力 F = - kx。
（k为弹性恢复系数，x表示离开平衡位置的距离）。
与重力不同，弹性恢复力不是常量，随着位移x的变化而变化。
因此 这个题目需要微积分知识的基础。

距离平衡位置为x时，恢复力为 F = -kx，负号表示恢复力的方向是指向平衡位置。其中k为弹性恢复系数。

从平衡位置 到达x位置，恢复力所做的功为 恢复力与位移乘积 从0到x 的定积分。即
W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 （从0到x）= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2

恢复力属于弹性系统的内力，和重力一样，也属于保守力。
保守力所做的功 = 保守势能变化的负值
以平衡位置为势能零参考点。因此
弹性势能 E = -W = kx^2/2
===================================================
做 F---x 关系曲线。从这条直线的 起点和终点 分别向x轴做垂线。
那么由 这两条垂线、x轴、F--x曲线 围成了一个闭合图形。
这个图形的面积 就是 力F所做的功 W。

上面讲的这段 在中学 接触过没？如果没有的话，那就直接承认。对于知识储备不足而尚不能证明的理论，先暂且直接承认，这也是常用的学习方法。

对于本题目，
以 弹性力 F = -kx 作为y轴，
以 伸缩量 x 作为 x轴
F--x“曲线”是通过坐标原点的一条直线。
经从该直线的起点和终点向x轴做投影后，得到第四象限的一个三角形。
三角形的面积为
S = 底*高/2 = (x-0)*kx/2 = kx^2/2
由于力的方向与位移方向相反（同时也因为是在x轴下方），所以 F所做的功是面积的负值，即
W = -S = -kx^2/2
而弹性势能为
E = -W = kx^2/2

Ⅶ 高等数学 边际与弹性，怎么推导出来的

你好！这就是用乘积的导数公式，注意P对P的导数是1。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

Ⅷ 弹簧的弹性势能表达式怎样推导

设想在重力作用下，一个物体缓慢从地面升至高度h处。
在有限高度内，重力可视为恒量mg。不随高度的变化而变化。
因此 重力对物体所做的功为 -mgh。（重力与位移方向相反，所以功为负）
重力属于保守力，保守力所做的功 + 保守力势能 = 常量。
因此，重力势能的表达式为 mgh。（以地面为势能零点）

------------------------------
而对一个弹性系统，弹性恢复力 F = - kx。
（k为弹性恢复系数，x表示离开平衡位置的距离）。
与重力不同，弹性恢复力不是常量，随着位移x的变化而变化。
因此 这个题目需要微积分知识的基础。

距离平衡位置为x时，恢复力为 F = -kx，负号表示恢复力的方向是指向平衡位置。其中k为弹性恢复系数。

从平衡位置 到达x位置，恢复力所做的功为 恢复力与位移乘积 从0到x 的定积分。即
W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 （从0到x）= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2

恢复力属于弹性系统的内力，和重力一样，也属于保守力。
保守力所做的功 = 保守势能变化的负值
以平衡位置为势能零参考点。因此
弹性势能 E = -W = kx^2/2
===================================================
做 F---x 关系曲线。从这条直线的 起点和终点 分别向x轴做垂线。
那么由 这两条垂线、x轴、F--x曲线 围成了一个闭合图形。
这个图形的面积 就是 力F所做的功 W。

上面讲的这段 在中学 接触过没？如果没有的话，那就直接承认。对于知识储备不足而尚不能证明的理论，先暂且直接承认，这也是常用的学习方法。

对于本题目，
以 弹性力 F = -kx 作为y轴，
以 伸缩量 x 作为 x轴
F--x“曲线”是通过坐标原点的一条直线。
经从该直线的起点和终点向x轴做投影后，得到第四象限的一个三角形。
三角形的面积为
S = 底*高/2 = (x-0)*kx/2 = kx^2/2
由于力的方向与位移方向相反（同时也因为是在x轴下方），所以 F所做的功是面积的负值，即
W = -S = -kx^2/2
而弹性势能为
E = -W = kx^2/2

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为什么说图像的面积就是弹簧弹性势能呢?

弹性势能的公式是中学阶段一个非常“基本”的物理公式，但在教科书上却见不到其推导过程。原因就在于其推导过程超出了中学生的知识范围。
求知欲强的学生 总是希望能知道其推导过程。但是把推导过程给出后，因为知识基础不够用，所以看不懂，会产生各种疑问。当这些疑问解决不了的时候，希望不要心急，因为你的知识储备不足。

简单回答你的疑问。
因变量F作为自变量x的函数，该曲线下的面积 就是 F所做的功。这是一个数学结论。
你可以设想，假设 F 是一个常量。那么经过位移 x-x0后，F所做的功就是 F*(x-x0)。现在把这个结论数学化！ 依然做 F-x函数图象。那么图象是一条与 x 轴平行的直线。该直线距离x轴的距离就是F。因此 功 F(x-x0) 就在该函数图象上对应着 一个矩形的面积，而该矩形由从F直线的起点和终点向x轴做投影而形成。
上一段讨论中 F 是一个常量。F所做的功的表达式也因此很简单。而当 函数图象不在是与x轴平行时，F所做的功就等于 F关于x的积分。而“积分”这个数学概念在中学阶段还没有接触，所以你会很难理解。而在数学上，“积分”的结果依然是函数曲线向x轴做投影后所围成的图形的面积。

Ⅸ 需求弹性函数公式是什么

需求价格弹性系数的计算：

（1）一般公式：需求收入弹性=需求变动百分比/收入变动百分比。即Ed=-(△Q/Q)/(△R/R）

（2）需求的价格弧弹性的中点公式：Ed=-△Q/△P●(（P1+P2）/2)/((Q1+Q2)/2)

如果仅仅是一般地计算需求曲线上某一段的需求的价格弧弹性，而不是具体地强调这种需求的价格弧弹性是作为涨价还是降价的结果，则为了避免不同的计算结果，一般采用中点公式。

一种商品的需求对另一种商品价格变动的反应程度或敏感程度。对于两种商品X,Y，商品X对商品Y的交叉弹性就等于商品X需求的相对变动与商品Y价格的相对变动之比。

(9)如何用数学推导解释弹性扩展阅读：

弹性沿着直线型需求曲线发生变化。 当沿着曲线向上、向左等量移动时，需求量的百分比变化增加,(基准数值变小），而价格的百分比变化下降（价格的基准数值变大）。因此，需求变得越来越有弹性。影响需求价格弹性的因素：

1、相似替代品的可获得性。有相似替代品的商品需求弹性往往很大。例如黄油和人造黄油就可以很轻易的替代。而代用品越多，当一种商品价格提高时，消费者就越容易转向其他商品，所以弹性就越大，反之则越小。

2、必需品与奢侈品。产品的性质，一般而言，生活必需的需求弹性较小，奢侈品需求弹性大。

3、市场的定义，任何一个市场的需求都取决于我们所划定的市场范围。市场小则容易找到替代品。

4、商品用途的广泛性，如果一种商品的用途很广泛，当商品的价格提高之后消费者在各种用途上可以适当地减少需求量，从而弹性越大，反之越小。

5、商品消费支出在消费者预算支出中所占的比重，当一种商品在消费者预算支出中占很小的部分时，消费者并不大注意其价格的变化，如买一包口香糖，你可能不大会注意价格的变动。

Ⅹ 如何用数学方法证明富有弹性的商品降价会增加厂商收入

其实可以完全不用求导，仅仅用一点无穷小知识的基本代数运算就出来了。。。

(P-△P)(Q+△Q)-PQ=P*△Q-△P*Q-△P*△Q

上式最后一项相对前两项是一个高阶无穷小，故上式的符号只需考虑P*△Q-△P*Q即可

根据(△Q/Q)/(△P/P)与1的关系，则一切相关的结论自明！

以上是价格的变动相对于原价是一个微小的变动下成立的，

其实楼上各位的求导也是为了说明这只是在原来固定价格上的点弹性

实质是一样的

本文来自: 人大经济论坛 微观经济学 版，详细出处参考：