㈠ 初中数学完全平方公式和立方和差公式
完全平方：(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
平方差：a^2-b^2=(a+b)(a-b)
平方和：1方+2方+3方+……+N方=n(n+1)(2n+1)/6
立方差：A^3-B^3=（a-b）*（a^2+ab+b^2）
立方和：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
这个
㈡ 什么叫完全平方式 9=3的平方，9算不算是一个完全平方式同理，a的平方是一个平方式吗
使A=B^2，则称A是完全平方式；
公式：
a²+2ab+b²=(a+b)²
a²-2ab+b²=(a-b)²
X的4次方+4X的平方+4=（X²+2）²
再加个数字4就行。
若对于整数A，存在整数B，使A=B^2成立，则称A是完全平方数。
例如0，1，4，9，16，25，36，……等，都是完全平方数。
9算完全平方数了。
㈢ 完全平方公式与完全平方差公式的作用!
完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用，重要的数学方法“配方法”的基础也是依据完全平方公式的。而且它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用.
有时可以起到使运算简洁的作用，并且是数学这门科学中，非常重要的基础公式。
完全平方差公式……这个名称没有听说过=_=
只能说是完全平方公式中包括完全平方和公式、完全平方差公式。所以作用基本同上。
完全平方差公式与平方差公式的区别在于：
前者——（a-b)~=a~-2ab+b~
后者——a~-b~=(a+b)(a-b)
指数打不出来。。。只好用“~”代替。
希望能对你有帮助。
㈣ 各位大侠，我对什么是完全平方式不了解，他们说(a+b)²=a²+2ab+b²是完全平方式，为什么
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。这就是完全平方公式的定义，没有为什么，数学家这么规定的
㈤ 数学中 什莫是 完全平方式
对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2，则称A是完全平方式。a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
例子
（1）7x^2+4(√21)xy+12y^2是一个完全平方式，因为7x^2+4√(21)xy+12y^2=[(√7)x+(2√3)y]^2； （2）x^4-4x^3+2x^2+4x+1是一个完全平方式，因为x^4-4x^3+2x^2+4x+1=(x^2-2x-1)^2； （3）因为(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BC(A^2)+2CA(B^2)+2AB(C^2)=(AB+BC+CA)^2，所以(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2是一个完全平方式。
几点注意
（1）以上多项式，指的都是实系数多项式。所以不能称A= -P^2+2PQ-Q^2为完全平方式，因为不存在以P、Q为变元的实系数多项式B，使A=B^2。 （2）以上所说多项式，都是简单变元的多项式。我们不能随便称一个代数式或三角函数式为完全平方式。例如 ①尽管有x^2-2+1/x^2=(x-1/x)^2，但是因为这里x^2-2+1/x^2和x-1/x都不是多项式，所以代数式x^2-2+1/x^2不能被称为完全平方式的。 ②尽管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x/2)+e^(-x/2)]^2，但是e^x+2+e^(-x)不能被称为完全平方式； ③尽管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2，但是1+sin2x也不能被称为完全平方式。
㈥ 什么是完全平方数
完全平方数
九章出版社提供
(一)完全平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后，得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明 已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为，则
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数，也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
证明 充分性：设b为平方数，则
==(ac)
必要性：若为完全平方数，=，则
性质11：如果质数p能整除a，但不能整除a，则a不是完全平方数。
证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若
<k<(n+1)
则k一定不是完全平方数。
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。
(二)重要结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
(三)范例
[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得
(m,n为自然数)
(2)-(1)可得
∴n>m
(
但89为质数，它的正因数只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。
分析 设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证
是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明 设这四个整数之积加上1为m，则
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
[例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。
分析 形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即
或
在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明 若，则
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
若，则
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
综上所述，不可能是完全平方数。
另证 由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
[例4]：试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数。
证明
=
=++1
=4+8+1
=4()(9+1)+8+1
=36 ()+12+1
=(6+1)
即为完全平方数。
[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600
3｜600 ∴3｜A
此数有3的因数，故9｜A。但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。
[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。
解：设此数为
此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11｜a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。
直接验算，可知此数为7744=88。
[例7]：求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数。
解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11｜N - 4或11｜N + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
[例8]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？
解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。
[例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数
∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。
又 ,得x+y=11。
∴∴9x+1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。
[例10]：求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。
解：设符合题意的四位数为，则，∴为五位数，为三位数，∴。经计算得，其中符合题意的只有2401一个。
[例11]：求自然数n，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。
解：显然，。为了便于估计，我们把的变化范围放大到，于是，即。∵，∴。
另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故及n都是3的倍数。这样，n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0，故30不合要求。经计算得
故所求的自然数n = 27。
(四)讨论题
1.(1986年第27届IMO试题)
设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。
2.求k的最大值
㈦ 初中数学 完全平方公式口诀 意思
完全平方公式的条件是展开后它共有三项：1：第一项,和第三项各是一个数或式的平方[严格的说还必须同号];第二项即中间一项是首尾两顶的积的二倍，且当它为正号时是和的平方为负号时是差的平方。
解答完毕
㈧ 完全平方数和完全平方式的准确定义
1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准,物理科学和技术中使用的数学符号》中,将自然数集记为
N={0,1,2,3,…}
而将原自然数集称为非零自然数集
N+(或N*)={1,2,3,…}.
自然数集扩充后,文[1]中的自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之起变化,这给数学教学与数学应用产生一定影响.为此,我们将自然数的基数理论讨论如下.
1 对自然数的来源的认识
由于自然数的概念是建立在基数理论[1]之上的,基数是由集合对等而来.最初人类对物品的计数,是将物品与人的手指(脚趾)数形成映射关系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“没有”,“没有”即可认为是空集,其计数应当是零.这就是说,零与非零自然数是人类认识同步的客观现象,而并非是6世纪才有零的概念.也许这就是将零补充到自然数集的缘由之一.事实上,国外许多文献和专家早就主张将零作为第一个自然数.
2 自然数的新概念
自然数扩充后,包含了空集的基数,要去掉原有自然数定义中“非空”的限制条件,即定义1 有限集合的基数叫做自然数.根据对等的概念,可以建立N与N+的一一映射关系f:
N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…}
由此可见,N与N+有相同的基数,即|N|=|N+|.
3 自然数的四则运算
自然数加法、乘法运算义定只要去掉原有定义中的“非空”二字即可,亦即
定义2 设有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分离).若记A∪B=C,集合A,B,C的基数分别是a,b和c,那么c叫做a与b的和,记作
a+b=c.
a和b叫做加数.求两个数的和的运算叫做加法.
定义3 设有m(m>1)个相互对等,且两两分离的有限集合A1,A2,A3,…,Am,它们的基数都是n.又设A=Umi=1Ai,A的基数记作
a,即有a=n+n+…+nm个,这个a就叫做n乘以m的积,记作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n称为被乘数,m称为乘数.求两个数积的运算叫做乘法.
对于数0,1,补充义定:n和0的积是0,n和1的积是n,即n.0=0,n.1=1.
在上述定义里,加法、乘法的交换律、结合律,乘法对于加法的分配律仍然成立.
关于减法运算的定义,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即
定义4 设有有限集合A和B,B A,若记A-B=C,且A,B,C的基数分别记作a,b,c,那么c叫做a,b的差,记作
a-b=c.
a叫做被减数,b叫做减数.求两个数差的运算叫做减法.
除法是乘法的逆运算,在原定义中要限定“除数非零”即可.
定义5 设a,b(b≠0)是两个自然数,如果存在一个自然数c,使得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,记作
ab=c,或a÷b=c.
a称为被除数,b称为除数.求两个数商的运算叫做除法.
4 自然数的有关性质
(1)自然数的有序性决定了自然数可以比较大小,即
定义6 如果两个有限集合A,B的基数分别为a,b,那么
1° 当A A′,A′～B时,a>b;
2° 当B′ B,A～B′时,a<b;
3° 当A～B时,a=b.
自然数有反身律:a=a;对称律:若a=b,则b=a;传递律:若a≥b,b≥c,则a≥c.
自然数从小到大的排序为
0,1,2,3,….
(2)自然数的单调性反映了不等量关系中的运算性质,扩充后的自然数其单调性有了局部性改变,即
若a≥b,则
1° a+c≥b+c;
2° 当c>0时,ac≥bc,
当c=0时,ac=bc.
对于与自然数有关的数学论证与原理,应随自然数扩充后作相应调整.如数学归纳法证明的步骤应是
1° 验证n=0时,命题成立;
2° 假设n=k-1时成立,则n=k时命题成立.
㈨ 请写出初中数学的完全平方公式
初中数学的完全平方公式：
（a+b)^2=a^2+2ab+b^2；
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2