圆面积的推导过程体现了什么的数学思想

‘壹’ 在探索圆的面积计算公式时采用了什么的数学方法把直径是d的一的的圆分成若干

利用了割补等面积转化的思想。首先小学学习的圆面积的公式，证明过程是将圆若干偶数等份，得到很多个小扇形，当分的份数越多的时候，每一个小扇形越接近一个三角形，圆的半径就越接近于三角形的高，然后进行两两拼会形成一个长方形，然后长方形的长是圆的半周长π×r，高为圆的半径r，所以长方形的面积也就是圆的面积＝π×r²。网上搜圆面积的证明过程有相关的动画，更好理解。

‘贰’ 人们在推导圆面积的计算公式,用了什么的数学思想

探究圆的面积用了转化的数学思想，把圆切成若干小份之后，近似于长方形，于是可以运用长方形来计算面积

‘叁’ 我们在量圆的周长时用了什么的数学思想 我们在找圆的面积的计算公式时用了什么数学思想

周长：逐渐逼近
用圆的内接正3边形、4边形、5边形一直到正n边形状，当n不断增大是，正多边形的周长就越逼近圆的周长
面积：类比转化
圆面积公式的推导过程定义为转化的过程,即把圆通过切拼转化为近似的长方形,这种转化思想的范型来自于平行四边形面积公式的推导。

‘肆’ 列举下述圆的面积公式推导中蕴含了什么数学思想

几何形的等积转化有两种：一是硬转化思想；二是软转化思想。
由一种固化的平面或立体图形等积割补成另外一种固化的平面或立体图形为硬转化思想。

如：正6x2ⁿ边形面积公式：πR²就是根据硬转化思想推出的近似、接近或相当于圆面积。
由一种液化的平面或立体图形等积软化成另外一种液化的平面或立体图形为软转化思想。
如：圆面积公式：S=7(d/3)²就是根据软转化思想推出的。

‘伍’ 我们在找圆面积公式时，用了什么的数学思想

应该是数学思想中的 转化思想！把圆的面积转化为长方形的面积！

因为，把一个圆沿半径剪成若干等份，再让一系列圆心角互相咬合，便拼成了一个近似的长方形；而且，平分的份数越多，拼成的与长方形越近似；可以想象，若能无限分割，则就拼成了一个长方形，长相当于圆周长的一半，宽就是圆的半径，所以 S长=a*b=πr*r=πr²
所以S圆=πr²

‘陆’ 圆改变形状后，成为长方形推出圆面积，这个推导过程体现了（ ）的数学思想

这利用的是拓扑学，体现了转化的数学思想。

‘柒’ 推导圆的面积公式时，应用了什么数学思想

微积分，其实就是无限接近的方法，把弧线分为无数个直线区间，然后有之前的方法证明，其实弧线就是无限小的折线合成的

‘捌’ 探究圆的面积计算方法时，蕴含了什么数学思想

微分和积分的思想。就是无限分割的思想。希望采纳谢谢

‘玖’ 圆的面积的推导过程

圆面积s=7(d/3)²

人们都清楚的认识到：正6边形1次倍边成的是正12边形、2次倍边成的是正24边形、3次倍边成的是正48边形、……n次倍边成的就给它叫正6×2ⁿ边形(简称正n边形)。“正n边形的周长与过中心点的对角线之比(是3.1415926……比1)叫做正n边率”。(n是一个不可丢失或忽略的0、1、2、3…无限无穷大的无极限的自然数)。

由于n是表示无限无穷大的无极限的自然数，所以正n边率(3.1415926……所谓π值)也是一个无限无穷大无极限的数。

当圆的直径与正n边形过中心点的对角线重叠时，虽然直径和对角线的长短相等。但是二者的周长并没有重叠，只是近似、接近、趋近或相当于就是不等于。原因是任一条线上的点都是无限的，内接正n边形周长上的点也就永久都不会与圆上的点完全重叠，

若内接正n边形与圆分开，那么求正n边率还依然是正n边率、求圆周率也依然是圆周率。

正n边率不等于圆周率；圆周率也不等于正n边率。

因为圆周率是指：“圆周长与直径的比”，它们的比是6+2√3比3；而正n边率是指：“正n边形的周长与过中心点的对角线的比”，它们的比是3.1415926……比1。

为此，正n边形的周长公式2πR只是代替圆周长公式，并非等于圆周长；正n边形的面积公式πR²只是代替圆面积公式，并非等于圆面积。

从客观上讲：圆是圆，正n边形是正n边形。当正n边形套上外接圆时，用圆内接正n边形的周长公式2πR来计算周长、周长必然小于圆周长；当圆套上外切正n边形时，用圆外切正n边形的面积公式πR²来计算面积、面积必然大于圆面积(注意：其实πR²是圆的外切正n边形面积与长方形面积的相互等积转化，并非圆面积与长方形面积的相互等积转化)。

为此π取正n边率的同一个值时，会给公式2πR和πR²存在着：π要想满足公式2πR,就会背离公式πR²；π要想满足公式πR²,就会背离公式2πR的自相矛盾的问题。

根据爱因斯坦的“相对论”原理推出：“物质与物质聚集结合成一个(固、液、汽)整体叫物体；一个被空间包围着的物体的大小所含单位立方的多少叫做体积。非物质与非物质聚集结合成一个完整的真空叫空间；一个被物体包围着的空间的大小所含单位立方的多少叫做容积。”

由于物体与空间的区别是物质与非物质的区别，所以宇宙是由物质和非物质构建的、是物体和空间共同占据了大自然。

因此, 世上所有物体和所有空间都是与生俱有相对共存的。二者静止状态下，根本就不存在“物体占据空间或空间占据物体”的问题。只有物体与空间以等量的一个物体体积与一个空间容积对换位置、产生物体与空间互动，才会出现“物体占据空间的同时、空间又占据了物体”。因为物体体积和空间容积是相对的，所以体积与容积也是相对的。二者缺一不可，否则物体就无法运动或搬运。

由于体积与容积相对的最小极限是零(也就是几何点是指：零体积或零容积、零面积或零空积、零长度或零距离的零点)；而物体的体积与空间的容积都大小无限不为零，(也就是：体积或容积、面积或空积、长度或距离都大于零)不存在最大或最小，大小无极限。

所以无限等份几何中的体、面、线的每个无穷小依然是一个无限无穷小，无极限。无限无穷小就是无限无穷小，无限无穷小不等于最小的极限零点。

以上是“相对论”当中《正负几何论》与“极限”的冰山一角。

因此，过去人们等份圆面、来等积转化拼成长方形面的起点就是一个误解。也就是圆面积s不等于长方形面积πR²，确切的讲：“圆面积s=7(d/3)² ”(d表示直径)。π取3.1415926……也不是圆的周长与直径的比，准确的说：“它是正n边形的周长与过中心点的对角线的比”。

那么，为什么说：“圆面积等于直径三分之一平方的七倍”呢?

这得要从软化等积变形说起。

例如：一块长7米、宽1米、高1米的长方体橡皮泥，它的上面或下面的长方形面积分别都是7平方米。当7立方米的长方体橡皮泥等积变成高1米的一个圆柱体时，它的上底或下底圆面积会依然是7平方米。也就是一个7平方米的长方形面积软化等积变成了一个7平方米的圆面积。如果把1个单位长用a表示，那么一个7平方米的圆面积就是7a² 。为此任一个圆面积S都可以看做为7a²。

向左转|向右转

下面由棋盘上的每个方格为一个a²来分析：七个a² 软化等积变成一个(图-1)圆面积是7a²；圆面积7a²再软化等积变成一个(图-2)H形面积也是7a²；在(图-2)H形上，另外增加两个a²就拼成了一个(图-3)大正方形面积9a²；把这三个图形称为(上三图)。它们各自面积的大小都是一同随着a的大小变化着的。

一个棋子为一个圆点,七个棋子就是七个圆点,圆点的直径Q叫点径。中间一个圆点,外围六个圆点，围绕一周排列相切构成一个(图-4)圆形轮廓,轮廓的外切圆面积是s、直径是3Q；再由七个圆点排列相切构成一个(图-5）H形轮廓,轮廓的外切H形面积是7Q²；最后用九个圆点排列相切构成一个(图-6)正方形轮廓,轮廓的外切正方形面积是9Q²。把这三个图形称为(下三图),它们各自外切形面积的大小都是一同随着点径Q的大小变化着的。

以上六个图形不难看出：

(图-1)圆面积7a²和(图-2)H形面积7a²分别都是(图-3)大正方形面积9a²的九分之七，(图-4)外切圆是(图-6)外切正方形的内切圆。

从六个图形的上下对着看：由于，第一组、（图-1）圆与(图-4）外切圆相似；第二组、(图-2)H形与(图-5)外切H形相似；第三组、(图-3)大正方形与（图-6）外切正方形相似。所以它们每一组相似形的面积和面积是否相等,都与a和Q有关；或a和Q是否相等,都与每一组相似形的面积和面积有关。

当a=Q时，很明显：第二组和第三组的相似形都是：a和Q相等，相似形的面积与面积就相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)；或相似形的面积与面积相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)，a和Q就相等。

但第一组相似形是否a和Q相等、面积与面积就相等呢？

这得需要通过数据来推理证实：

已知：(图-4)外切圆面积s是63平方厘米、a和Q又相等。此时(图-4)这个63平方厘米的圆面积，它既锁定了(下三图)各自对应的面积也锁定了(上三图)各自对应的面积。

因为a等于Q，所以(图-4) 63平方厘米的一个圆既是（图-6）正方形的内切圆也是(图-3)大正方形的内切圆。为此（图-6）和(图-3)的内切圆面积也分别都是63平方厘米。

由于(图-3)大正方形能做为63平方厘米的圆的外切正方形，是根据大正方形的边长3a等于内切圆的直径3Q(内切圆的直径3Q又是根据63平方厘米的圆面积产生的)。

所以(图-3)内切圆面积的任意大小，都会改变(图-3)大正方形的边长3a的大小，使边长3a不等于63平方厘米的圆的直径3Q，(图-3)大正方形也就不能做为63平方厘米的圆的外切正方形。

如果(图-3)内切圆面积大于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。显示出9a²的大正方形向外扩展，脱离了已知63平方厘米的内切圆)，产生边长3a大于直径3Q，违背了a等于Q。

如果(图-3)内切圆面积小于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。显示出9a²的大正方形向内收缩，也会脱离了已知63平方厘米的内切圆，产生边长3a小于直径3Q，也违背了a等于Q。

因此，只有(图-3)内切圆面积等于(图-4)外切圆面积63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作为63平方厘米的圆的外切正方形。同时大正方形的边长3a也等于内切圆的直径3Q，保持a与Q相等。所以(图-3)大正方形的大小是根据已知63平方厘米的内切圆确定的。

由此可见：对任一个圆面积的大小都是如此。当(图-1)圆与(图-3) 63平方厘米的内切圆重叠时。

如果(图-1)圆面积7a²大于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。显示出9a²的大正方形向外扩展，脱离了已知63平方厘米的内切圆，产生边长3a大于直径3Q，出现a也大于Q。

如果(图-1)圆面积7a²小于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。显示出9a²的大正方形向内收缩,也会脱离了已知63平方厘米的内切圆,产生边长3a小于直径3Q，出现a也小于Q。

因此，只有(图-1)圆面积7a²等于(图-3)内切圆面积63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作为63平方厘米的圆的外切正方形。同时正方形的边长3a也与63平方厘米的圆的直径3Q相等，保持a等于Q。所以(图-1)圆面积7a²的大小是根据(图-3)内切圆面积确定的。

证实了：(图-1)圆面积7a²等于(图-4)外切圆面积s。也说明了：“圆面积是它外切正方形面积的9分之7”。

因为圆面积S=7a²，所以a=√s/7. 也就是说：如果(图-3)正方形的内切圆面积是7平方厘米，那么a=√7/7=1厘米。如果(图-3)正方形的内切圆面积是28平方厘米，那么a=√28/7=2厘米。如果(图-3)正方形的内切圆面积是63平方厘米，那么a=√63/7=3厘米。

上述证明了：第一组相似形同样是：a和Q相等、相似形的面积与面积就相等。

为此，推出它们三组相似形：每一组相似形的面积和面积相等,a和Q就相等；或a和Q相等,每一组相似形的面积和面积就相等。

同时也发现了这样一部公理：“如果圆面积是7a²，那么它的外切正方形面积就是9a²”。

根据公理推出定理：“圆面积等于直径三分之一平方的七倍”。

圆的面积公式：∵s=7a². d=3a.

∴s=7(d/3)². 向国庆“70”周年献礼！

HPFYKG 一位不识字的数学发现 dongjingui二〇一四年六月二十七日