什么叫数学的形式化

❶ 形式化方法的基本信息

在计算机科学和软件工程领域，形式化方法是基于数学的特种技术，适合于软件和硬件系统的描述、开发和验证。将形式化方法用于软件和硬件设计，是期望能够像其它工程学科一样，使用适当的数学分析以提高设计的可靠性和鲁棒性。但是，由于采用形式化方法的成本高意味着它们通常只用于开发注重安全性的高度整合的系统。
形式化方法在古代就运用了,而在现代逻辑中又有了进一步的发展和完善。这种方法特别在数学、计算机科学、人工智能等领域得到广泛运用。它能精确地揭示各种逻辑规律,制定相应的逻辑规则,使各种理论体系更加严密。同时也能正确地训练思维、提高思维的抽象能力。

❷ 规范场论的数学形式化

规范理论通常用微分几何的语言讨论。数学上，一个规范就是某个流形的（局部）坐标系的一个选择。一个规范变换也就是一个坐标变换。
注意，虽然规范理论被联络的研究占据了大部分（主要是因为它主要在高能物理中研究），联络的思想一般不是规范理论的基本或者中心概念。事实上，一般规范理论的一个结果表明规范变换的仿射表示（也就是仿射模）可以分类到一种满足特定属性的Jet丛的截面。有些表示在每一点共变（物理学家称其为第一类规范变换），有些表示象联络形式一样变换（物理学家称其为第二类规范变换）（注意折实一种仿射表示），还有其它更一般的表示，例如BF理论中的B场。当然，我们可以考虑更一般的表示（实现），但那很复杂。但是，非线性σ模型非线性地变换，所以它们也有用处。
若我们有一个主丛P其基空间是空间或时空而结构群是一个李群，则P的截面组成一个群称为规范变换群。
我们可以在该主丛上定义一个联络（规范联络），这可以在每个相伴矢量丛上产生一个共变导数∇。若我们选择一个局部标架（截面的局部基），我们就可以用联络形式A表示这个共变导数，A是一个李代数-值的1-形式，在物理学中称为规范势，它显然不是内在的量，而是一个依赖于标架的选择的量。从这个联络形式，我们可以构造曲率形式F，这是一个李代数-值的2-形式，这是一个内在量，定义为
其中d代表外微分而代表楔积。
无穷小规范变换形成一个李代数，可以表述为一个光滑李代数值的标量，ε。在这样一个无穷小规范变换下，
其中是李括号。
一个有趣的结果是，若，则 其中D是共变导数
而且，，这意味着F共变地变换。
需要注意的一点是不是所有的一般规范变换都可以用无穷小规范变换生成；例如，当基流形是一个无边界的紧致流形使得从该流形到李群的映射的同伦类非平凡的时候。参看瞬子（instanton）中的例子。
杨-米尔斯作用可以如下给出
其中 * 代表霍奇对偶而积分和在微分几何中的定义一样。
一个规范-不变量也就是在规范变换下的不变量的例子是威尔逊环（Wilson loop），它定义在闭合路径γ上，定义如下：
其中χ是复表示ρ的特征标；而表示路径排序算子。

❸ 数学抽象的基本形式有哪些

数学抽象的四种形式：
1、实物层面的抽象
这个层面的抽象，实际上是立足于已有的生活经验和社会现实，进行第一步抽象，即以实物为对象进行抽象，到刚刚超越实物而尚未完全脱离实物即结束。例如：在七年级上册《有理数的乘方》这一节中，用文字和图片一起呈现出细胞分裂的过程，细胞每过30min便由1个分裂成2个，经过5h，这种细胞由1个能分裂成多少个？从这样一个有趣的过程中抽象出数学问题，能够很快的激发学生的学习兴趣。在七年级上册《丰富的图形世界》这一节中，教科书提供了几幅图片，引导学生感受图形世界的多姿多彩，并且通过给出各种实物模型，让学生认识圆柱、圆锥、正方体、长方体和球这五种几何体。在八年级下册《图形的旋转》中，呈现出一幅旋转的摩天轮，瞬间把学生带入旋转的情境中去感受旋转，继而思考什么样的图形运动可以称之为图形的旋转。这些都是典型的借助“实物”的直接抽象。在这些过程中，通过设计好的情境，加上教师的有意引导，学生在仔细观察图片中物体的基础上，思考有理数的乘方、几何体、图形的内在本质属性，形成自己对这些知识的初步认识。
2、半符号层面的抽象
这个阶段实际上是简约阶段的一种，是建立在实物抽象的基础之上的进一步发展。此时，有关的属性已经从实物中提取出来、抽象出来，但是并没有完全脱离实物，或者更确切的说，是部分属性脱离了实物，而其中的关键属性已经初见端倪。例如：在七年级下册《单项式乘多项式》这一节中，教科书要求在一幅长x米宽mx米的画左右两边各留1/8x米的空白，求画的面积是多少？接着展示了两种算法，通过对同一面积的不同表达，可以得到: x(mx-1/4x)=mx2-1/4x2 此时单项式乘多项式的有关属性已经呈现出来。在《图形的全等》这一节中，在学生已经了解了什么是全等图形之后，教科书呈现出多个形态各异的图形，要求学生从中找出全等图形，这也是实物直观层面的第二次抽象。在这个过程中，全等图形是能够完全重合的图形这一关键属性已经凸显出来，学生要做的便是依据全等图形的概念来找出能够完全重合的图形。

3、符号层面的抽象
这个层面的抽象属于数学抽象的符号阶段，具有典型的阶段性、层次性。准确的说，符号层面的抽象已经去掉了具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物。例如：在七年级上册《合并同类项》这一节中，观察四组代数式，找出它们的共同特点，然后总结出同类项的概念，并进而得到合并同类项法则。在这个过程中，学生在观察代数式和探索合并同类项及其合并同类项法则的同时，尝试着用文字去表述自己的发现，这就是在进行符号层面的抽象。在八年级上册《勾股定理》的教学上，首先通过探索活动让学生们初步感受直角三角形三边长之间的特殊关系，接着引导学生用语言准确表述这样一种特殊关系，最后赋予直角三角形三边以符号表示，并用符号语言来描述出勾股定理。这样一种礼仪概念、图形、符号表述一类事物的方式就是典型的符号层面的抽象。在这个过程中，学生首先要通过观察“邮票”这一实物对研究勾股定理的这个基本图形形成一个直观认识，在经历分析、猜想、尝试等过程探求两个小直角三角形面积与大直角三角形面积之间的数量关系的方法，最后通过分析、推理得到直角三角形三条边长之间的特殊关系。这样一个过程能够让学生在经历勾股定理的探索过程后，更深刻的认识、理解这个定理。在九年级上册《相似多边形》这一节总，在学生已对相似图形有了最初的直观感受后，通过观察、分析五组形态各异的图形的内在共同特征，总结归纳出相似图形的定义，学生从初步认识相似图形，到深入了解相似图形，这整个过程都参与其中，十分有利于学生对相似图形的全面理解。
4、形式化层面的抽象
这个层面的抽象属于数学抽象的普适阶段，即通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物。这个阶段的抽象在中小学也是时常存在的。例如：在七年级下册《二元一次方程组》这一节中，基于上一节《二元一次方程》已经完成了从“一元”到“二元”、新的数学模型的建立，该节内容的学习主要集中在类似于“鸡兔同笼”问题的解决上。建立模型后，将模型运用到一般问题的解决上，这一过程是典型的形式化抽象。再比如说，在九年级下册圆周角定理的呈现上，通过猜想、推理得到圆周角与圆心角之间的半倍关系，继而引导学生运用这一关系去解决一些具体的问题。在这一过程中，学生首先要形成对圆周角概念的认识，再在测量同一圆的圆心角和圆周角度数的基础上，大胆猜想圆心角与圆周角的数量关系，接着在教师的引导下逐步形成证明这一关系的思想和方法，最后能够将这一定理熟练地运用到解决实际问题当中。在九年级上册《相似三角形的性质》这一节中，通过深入分析探索得到证明相似三角形、相似多边形的周长比的方法，继而引导学生运用所得方法去尝试解决相似三角形、相似多边形的面积比、高比等，在这个过程中，学生不仅学到解决问题的方法，还知道了将习得的方法用在其他问题的解决上，符合新课标提出的重视“过程与方法”的目标。
总体来看，现行初中教材中情境中采用最多的是实物层面的抽象，正文中采用最多的是符号层面的抽象，练习中采用最多的是实物半符号层面的抽象，数学活动中最多采用的是形式化层面的抽象。

❹ 公理化定义和形式化定义有何不同

公理化方法发展的第一阶段是由亚里斯多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．
亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要着作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．
公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示．例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念．前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域．按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此，欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范．
公理化方法的发展

公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。
《几何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在以下几个方面：(1)有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；(2)有些定义是多余的；(3)有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理来证明或代替．这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善

❺ 形式化是什么意思

“形式化”是指分析、研究思维形式结构的方法。它把各种具有不同内容的思维形式(主要是命题和推理)加以比较，找出其中各个部分相互联结的方式，如命题中包含概念彼此间的联结，推理中则是各个命题之间的联结，抽取出它们共同的形式结构；再引入表达形式结构的符号语言，用符号与符号之间的联系表达命题或推理的形式结构。
形式化方法在古代就运用了，而在现代逻辑中又有了进一步的发展和完善。这种方法特别在数学、计算机科学、人工智能等领域得到广泛运用。它能精确地揭示各种逻辑规律，制定相应的逻辑规则，使各种理论体系更加严密。同时也能正确地训练思维、提高思维的抽象能力。
形式化方法是基于数学的特种技术，适合于证。将形式化方法用于软件和硬件设计，是期望能够像其它工程学科一样，使用适当的数学分析以提高设计的可靠性和鲁棒性。但是，由于采用形式化方法的成本高意味着它们通常只用于开发注重安全性的高度整合的系统。

❻ 什么是形式化什么是形式模型

形式化方法一般是用一种严格的，精准的方法（一般是数学语言）描述软件，对软件建模。
你可以理解为类似UML建模。只是形式化的方法更难学，你可以理解为离散数学里的各种规约、公式。形式化模型就是你用形式化方法构建出来的模型，可类比UML模型，也可以类比数学建模，甚至可以类比编程代码（编程同样是用编程语言对软件需求的精确描述）

❼ 3.数学的形式化定义与数学概念有什么不同以“分数”为例加以说明"

小学阶段所涉及的数学概念是都是非常重要、非常基本的，‘越是简单的往往是越本质的’，因此对小学阶段的基本数学概念内涵的理解是如何学习数学、掌握数学思想方法、形成恰当的数学观、真正使“情感、态度、价值观”的目标得以落实的载体。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表述，要强调对数学本质的认识，否则会把生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋中。一般来讲，数学教学之初，应该充分展示数学知识发生发展的过程，引导学生弄清本质，在熟练的基础是适度形式化，形成自己的技能，这样的知识学得牢固一些

❽ 什么是形式化，非形式化，半角式化

形式化、半角式化和非形式化是三种类型的规范风格。
形式化规范就是用一套基于明确定义的数学概念的符号来书写，并且通常伴随着支持性的解释（非形式化）语句。这些数学概念被用来定义符号的句法和语义，以及支持逻辑推理的证明规则。支持形式化符号的句法和语义规则应该定义如何明确地识别其结构和确定其含义。并且必须有证据表明矛盾不可能产生，支持符号的所有规则都有定义或者引用。
半角式化规范就是用一种受限制的句法语言来书写，并且通常伴随着支持性的解释（非形式化）语句。这里的受限制句法语言可以是一种带有受限制句子结构和具有特殊意义的关键字的自然语言，也可以是图表式的（如：数据流图、状态转换图、实体关系图、数据结构图、流程或程序结构图）。不论基于图表还是自然语言必须用一套规范来定义句法限制。
非形式化规范就是像散文一样用自然语言来书写。在这里使用自然语言作为任何普通口头语言（如：荷兰语、英语、法语、德语）中意思的沟通。非形式化规范不像常规语言的传统用法（如：文法和句法）一样受一些符号或特殊的限制。虽然没有符号限制，非形式化规范也要求为上下文中的术语定义其意思，除非作为常规用法已认可。

❾ 数学的形式化包括"符号化、逻辑化和公理化”三个层面

题目不够准确。

《普通高中数学课程标准》指出：“形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表述，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程的本质。”

所谓“数学形式”，就是用特定的数学语言,包括数学的符号语言、图象语言和文字语言,表达自然现象和社会现象的空间结构和数量关系，即具有相对固定样式的数学概念、法则、结论，它具有如下特征：

（1）稳定性。数学概念、法则、结论等内容一旦成为“形式”，就有相对稳定的特征，决不会因环境、条件的变更而发生变化。

（2）概括性。数学形式是无数具体事物经抽象概括的结果，应该是研究数量关系或图形本质属性的反应。

（3）简洁性。最简单的往往是最深刻的，越简洁的东西就越具有生命力，越具使用价值。数学形式就以其表述方式的简洁而称道。

（4）广泛性。数学形式的概括性决定了它具有广泛性，可真正达到华罗庚教授所说的“数学是一个原则，无数内容，一个方法，到处有用。”

（5）可操作性。按照相关数学形式进行的程式化操作可称为行为模式。人的行为模式有两种，一种是需要智力投入、思维参与的行为模式；一种是较少需要智力投入、思维参与的行为模式。在数学学习和解决数学问题的所有活动中，创造性思维的含量只占少部分，运用更多的是程式化的操作。这种操作讲究的是熟练、准确、快速、高效。学生大多数解题是按既定法则进行模式化操作。即使是难度较大的需要一定的创造思维，但创造的“根”仍然扎在坚实的基本数学形式的土壤中。基本数学形式是创造的源泉与原型。当然，即便进行的是简单化、机械化、程序化的操作，也要在其中努力加大智力与思维的含量。

❿ 形式化方法的定义

用于开发计算机系统的形式化方法是描述系统性质的基于数学的技术，这样的形式化方法提供了一个框架，可以在框架中以系统的而不是特别的方式刻划、开发和验 证系统。 如果一个方法有良好的数学基础，那么它就是形式化的，典型地以形式化规约语言给出。这个基础提供一系列精确定义的概念，如：一致性和完整性，以及定义规范 的实现和正确性。 形式化方法的本质是基于数学的方法来描述目标软件系统属性的一种技术。不同的形式化方法的数学基础是不同的，有的以集合论和一阶谓词演算为基础（如Z和 VDM），有的则以时态逻辑为基础。形式化方法需要形式化规约说明语言的支持。