‘壹’ 数学书上的例题是小辣椒吗
数学书上的例题很多,不一定是以小辣椒为主题的,主要的是讲述数学原理和具体的实例没有什么相关。
‘贰’ 数学排列的经典例题
通项都告你了:
h(n)=c(2n,n)/(n+1)
Catalan数h(n)与h(n-1)之间的关系你写不出来???
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) 是用生成函数解决的……
生成函数(也有叫做“母函数”的,但是我觉得母函数不太好听)是说,构造这么一个多项式函数g(x),使得x的n次方系数为f(n)。
生成函数最绝妙的是,某些生成函数可以化简为一个很简单的函数。也就是说,不一定每个生成函数都是用一长串多项式来表示的。比如,这个函数f(n)=1 (n当然是属于自然数的),它的生成函数就应该是g(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...(每一项都是一,即使n=0时也有x^0系数为1,所以有常数项)。再仔细一看,这就是一个有无穷多项的等比数列求和嘛。如果-1<x<1,那么g(x)就等于1/(1-x)了。在研究生成函数时,我们都假设级数收敛,因为生成函数的x没有实际意义,我们可以任意取值。于是,我们就说,f(n)=1的生成函数是g(x)=1/(1-x)。
我们举一个例子说明,一些具有实际意义的组合问题也可以用像这样简单的一个函数全部表示出来。
考虑这个问题:从二班选n个MM出来有多少种选法。学过简单的排列与组合的同学都知道,答案就是C(4,n)。也就是说。从n=0开始,问题的答案分别是1,4,6,4,1,0,0,0,...(从4个MM中选出4个以上的人来方案数当然为0喽)。那么它的生成函数g(x)就应该是g(x)=1+4x+6x^2+4x^3+x^4。这不就是……二项式展开吗?于是,g(x)=(1+x)^4。
你或许应该知道,(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k;但你或许不知道,即使k为负数和小数的时候,也有类似的结论:(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k+C(k,k+1)x^(k+1)+C(k,k+2)x^(k+2)+...(一直加到无穷;式子看着很别扭,自己写到草稿纸上吧,毕竟这里输入数学式子很麻烦)。其中,广义的组合数C(k,i)就等于k(k-1)(k-2)(k-i+1)/i!,比如C(4,6)=4*3*2*1*0*(-1)/6!=0,再比如C(-1.4,2)=(-1.4)*(-2.4)/2!=1.68。后面这个就叫做牛顿二项式定理。当k为整数时,所有i>k时的C(k,i)中分子都要“越过”0这一项,因此后面C(k,k+1),C(k,k+2)之类的都为0了,与我们的经典二项式定理结论相同;不同的是,牛顿二项式定理中的指数k可以是任意实数。
我们再举一个例子说明一些更复杂的生成函数。n=x1+x2+x3+...+xk有多少个非负整数解?这道题是学排列与组合的经典例题了。把每组解的每个数都加1,就变成n+k=x1+x2+x3+...+xk的正整数解的个数了。教材上或许会出现这么一个难听的名字叫“隔板法”:把n+k个东西排成一排,在n+k-1个空格中插入k-1个“隔板”。答案我们总是知道的,就是C(n+k-1,k-1)。它就等于C(n+k-1,n)。它关于n的生成函数是g(x)=1/(1-x)^k。这个生成函数是怎么来的呢?其实,它就是(1-x)的-k次方。把(1-x)^(-k)按照刚才的牛顿二项式展开,我们就得到了x^n的系数恰好是C(n+k-1,n),因为C(-k,n)*(-x)^n=[(-1)^n*C(n+k-1,n)]*[(-1)^n*x^n]=C(n+k-1,n)x^n。这里看晕了不要紧,后文有另一种方法可以推导出一模一样的公式。事实上,我们有一个纯组合数学的更简单的解释方法。因为我们刚才的几何级数1+x+x^2+x^3+x^4+...=1/(1-x),那么(1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k就等于1/(1-x)^k。仔细想想k个(1+x+x^2+x^3+x^4+...)相乘是什么意思。(1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k的展开式中,n次项的系数就是我们的答案,因为它的这个系数是由原式完全展开后k个指数加起来恰好等于n的项合并起来得到的。
现在我们引用《组合数学》上暴经典的一个例题。很多书上都会有这类题。
我们要从苹果、香蕉、橘子和梨中拿一些水果出来,要求苹果只能拿偶数个,香蕉的个数要是5的倍数,橘子最多拿4个,梨要么不拿,要么只能拿一个。问按这样的要求拿n个水果的方案数。
结合刚才的k个(1+x+x^2+x^3+x^4+...)相乘,我们也可以算出这个问题的生成函数。
引用内容
g(x)=(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+..)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x)
=[1/(1-x^2)]*[1/(1-x^5)]*[(1-x^5)/(1-x)]*(1+x) (前两个分别是公比为2和5的几何级数,
第三个嘛,(1+x+x^2+x^3+x^4)*(1-x)不就是1-x^5了吗)
=1/(1-x)^2 (约分,把一大半都约掉了)
=(1-x)^(-2)=C(1,0)+C(2,1)x+C(3,2)x^2+C(4,3)x^3... (参见刚才对1/(1-x)^k的展开)
=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....
于是,拿n个水果有n+1种方法。我们利用生成函数,完全使用代数手段得到了答案!
如果你对1/(1-x)^k的展开还不熟悉,我们这里再介绍一个更加简单和精妙的手段来解释1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....。
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...是前面说过的。我们对这个式子等号两边同时求导数。于是,1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....。一步就得到了我们所需要的东西!不断地再求导数,我们同样可以得到刚才用复杂的牛顿二项式定理得到的那个结论(自己试试吧)。生成函数还有很多其它的处理手段,比如等式两边同时乘以、除以常数(相当于等式右边每一项乘以、除以常数),等式两边同时乘以、除以一个x(相当于等式右边的系数“移一位”),以及求微分积分等。神奇的生成函数啊。
我们用两种方法得到了这样一个公式:1/(1-x)^n=1+C(n,1)x^1+C(n+1,2)x^2+C(n+2,3)x^3+...+C(n+k-1,k)x^k+...。这个公式非常有用,是把一个生成函数还原为数列的武器。而且还是核武器。
接下来我们要演示如何使用生成函数求出Fibonacci数列的通项公式。
Fibonacci数列是这样一个递推数列:f(n)=f(n-1)+f(n-2)。现在我们需要求出它的生成函数g(x)。g(x)应该是一个这样的函数:
g(x)=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+...
等式两边同时乘以x,我们得到:
x*g(x)=x^2+x^3+2x^4+3x^5+5x^6+8x^7+...
就像我们前面说过的一样,这相当于等式右边的所有系数向右移动了一位。
现在我们把前面的式子和后面的式子相加,我们得到:
g(x)+x*g(x)=x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+...
把这最后一个式子和第一个式子好好对比一下。如果第一个式子的系数往左边移动一位,然后把多余的“1”去掉,就变成了最后一个式子了。由于递推函数的性质,我们神奇地得到了:g(x)+x*g(x)=g(x)/x-1。也就是说,g(x)*x^2+g(x)*x-g(x)=-x。把左边的g(x)提出来,我们有:g(x)(x^2+x-1)=-x。于是,我们得到了g(x)=x/(1-x-x^2)。
现在的任务是要把x/(1-x-x^2)还原成通项公式。这不是我们刚才的1/(1-x)^n的形式,我们要把它变成这种形式。我们发现,1-x-x^2=[1-(1-√5)x/2]*[1-(1+√5)x/2] ((1-√5)/2和(1+√5)/2是怎么算出来的?显然它们应该是x^2-x-1=0的两个根)。那么x/(1-x-x^2)一定能表示成?/[1-(1-√5)x/2]+?/[1-(1+√5)x/2]的形式(再次抱歉,输入数学公式很麻烦,将就看吧)。这是一定可以的,因为适当的?的取值可以让两个分式通分以后分子加起来恰好为一个x。?取值应该是多少呢?假设前面一个?是c1,后面那个是c2,那么通分以后分子为c1*[1-(1+√5)x/2]+c2*[1-(1-√5)x/2],它恰好等于x。我们得到这样两个式子:常数项c1+c2=0,以及一次项-c1*(1+√5)/2-c2*(1-√5)/2=1。这两个式子足够我们解出c1和c2的准确值。你就不用解了,我用的Mathematica 5.0。解出来c1=-1/√5,c2=1/√5。你不信的话你去解吧。现在,我们把x/(1-x-x^2)变成了-(1/√5)/[1-(1-√5)x/2] + (1/√5)/[1-(1+√5)x/2]。我们已经知道了1/[1-(1-√5)x/2]的背后是以(1-√5)/2为公比的等比数列,1/[1-(1+√5)x/2]所表示的数列公比为(1+√5)/2。那么,各乘以一个常数,再相加,我们就得到了Fibonacci数列的通项公式:f(n)=-(1/√5)*[(1-√5)/2]^n + (1/√5)*[(1+√5)/2]^n。或许你会问,这么复杂的式子啊,还有根号,Fibonacci数列不都是整数吗?神奇的是,这个充满根号的式子对于任何一个自然数n得到的都是整数。熟悉用特征方程解线性递推方程的同学应该知道,以上过程实质上和找特征根求解没有区别。事实上,用上面所说的方法,我们可以求出任何一个线性齐次递推方程的通项公式。什么叫做线性齐次递推呢?就是这样的递推方程:f(n)等于多少个f(n-1)加上多少个f(n-2)加上多少个f(n-3)等等。Fibonacci数列的递推关系就是线性齐次递推关系。
我们最后看一个例子。我们介绍硬币兑换问题:我有1分、2分和5分面值的硬币。请问凑出n分钱有多少种方法。想一下刚才的水果,我们不难得到这个问题的生成函数:g(x)=(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+..)=1/[(1-x)(1-x^2)(1-x^5)]。现在,我们需要把它变成通项公式。我们的步骤同刚才的步骤完全相同。我们把(1-x)(1-x^2)(1-x^5)展开,得到1-x-x^2+x^3-x^5+x^6+x^7-x^8。我们求出-1+x+x^2-x^3+x^5-x^6-x^7+x^8=0的解,得到了以下8个解:-1,1,1,1,-(-1)^(1/5),(-1)^(2/5),-(-1)^(3/5),(-1)^(4/5)。这个不是我解出来的,我还是用的Mathematica 5.0。不是我不想解,而是我根本不会解这个8次方程。这也是为什么信息学会涉及这些东西的原因:次数稍微一高,只好交给计算机解决了。于是,(1-x)(1-x^2)(1-x^5)=(1+x)(1-x)^3(1+(-1)^(1/5) x)()()() (省略不写了)。注意那个(1-x)^3。由于等根的出现,我们不得不把(1-x)^3所包含的(1-x)和(1-x)^2因子写进一会儿的分母里,不然会导致解不出合适的c来。你可以看到很多虚数。不过没关系,这些虚数同样参与运算,就像刚才的根式一样不会影响到最后结果的有理性。然后,我们像刚才一样求出常数满足1/(1-x)(1-x^2)(1-x^5)=c1/()+c2/(1-x)+c3/(1-x)^2+c4/(1-x)^3...+c8/()。这个解太复杂了,我用Mathematica解了几分钟,打印出了起码几十KB的式子。虽然复杂,但我确实是得到了通项公式。你有兴趣的话可以尝试用Mathematica解决一下1/[(1-x)(1-x^3)] (只有1分和3分的硬币)。解c的值时可以用SolveAlways[]函数。你可以亲眼见到,一个四五行的充满虚数的式子最后总是得到正确的整数答案。
生成函数还有很多东西,推导Catalan数列啊,指数生成函数啊,之类的。我有空再说吧,已经5000多个字了。
huyichen一直在问那道题。很显然,那道题目和上面的兑换硬币有些联系。事实上,很多与它类似的题目都和生成函数有关。但那个题却没有什么可以利用生成函数的地方(或许我没想到吧)。或许每个max的值有什么方法用生成函数解出来,但整个题目是不大可能用生成函数解决的。
近来有个帖子问一道“DP天牛”题目的。那个题目也是这样,很多与它类似的题目都和DP有关,但那道题却不大可能动规。我总觉得它可以归约到装箱问题(考虑体积关系,最少要几个箱子才能把物品放完),而后者貌似属于NPC。或许我错了吧,现在没事就在研究理论的东西,很久没有想过OI题了,这方面的能力已经开始退化了。
‘叁’ 数学例题是什么意思
首先根据运算法则先算有括号的,即把2和括号内的式子相乘,得到16-2x再与4x相加,右边照搬。因为4x和2x含有同样的未知数,即是同类项,可以将同类项系数直接相加减,在这里4x-2x就=2x所以能转化成2x
16=26
‘肆’ 数学问题~求些例题
例1一列慢车车身长125米,车速是每秒17米;一列快车车身长140米,车速是每秒22米。慢车在前面行驶,快车从后面追上到完全超过需要多少秒? 思路点拨:快车从追上到超过慢车时,快车比慢车多走两个车长的和,而每秒快车比慢车多走(22-17)千米,因此快车追上慢车并且超过慢车用的时间是可求的。 (125+140)÷(22-17)=53(秒) 答:快车从后面追上到完全超过需要53秒。 例2 甲火车从后面追上到完全超过乙火车用了110秒,甲火车身长120米,车速是每秒20米,乙火车车速是每秒18米,乙火车身长多少米? (20-18)×110-120=100(米) 例3 甲火车从后面追上到完全超过乙火车用了31秒,甲火车身长150米,车速是每秒25米,乙火车身长160米,乙火车车速是每秒多少米? 25-(150+160)÷31=15(米) 小结:超车问题中,路程差=车身长的和 超车时间=车身长的和÷速度差 (二)错车问题(反向运动,相遇问题) 例4 两列火车相向而行,甲车车身长220米,车速是每秒10米;乙车车身长300米,车速是每秒16米。两列火车从碰上到错过需要多少秒? (220+300)÷(10+16)=20(秒)
‘伍’ 初中数学知识点公式和一些典型例题
初中数学知识点大全
一、基本知识
一、数与代数
A、数与式:
1、有理数
有理数:①整数→正整数/0/负整数
②分数→正分数/负分数
数轴: ①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
有理数的运算:
加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。
②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。
乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。
乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。
混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。
2、实数
无理数:无限不循环小数叫无理数
平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。
立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。
实数:①实数分有理数和无理数。
②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。
③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。
3、代数式
代数式:单独一个数或者一个字母也是代数式。
合并同类项:①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。
4、整式与分式
整式:①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式。
②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
整式运算:加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。
幂的运算:AM+AN=A(M+N)
(AM)N=AMN
(A/B)N=AN/BN 除法一样。
整式的乘法:①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作为积的因式。
②单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
③多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
公式两条:平方差公式/完全平方公式
整式的除法:
①单项式相除,把系数,同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同他的指数一起作为商的一个因式。
②多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。
分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式。
方法:提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。
分式:①整式A除以整式B,如果除式B中含有分母,那么这个就是分式,对于任何一个分式,分母不为0。
②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变。
分式的运算:
乘法:把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。
除法:除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
加减法:①同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。
②异分母的分式先通分,化为同分母的分式,再加减。
分式方程:①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。
B、方程与不等式
1、方程与方程组
一元一次方程:①在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式,所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1。
二元一次方程:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组:两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法:代入消元法/加减消元法。
一元二次方程:只有一个未知数,并且未知数的项的最高系数为2的方程
1)一元二次方程的二次函数的关系
大家已经学过二次函数(即抛物线)了,对他也有很深的了解,好像解法,在图象中表示等等,其实一元二次方程也可以用二次函数来表示,其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况,就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来,一元二次方程就是二次函数中,图象与X轴的交点。也就是该方程的解了
2)一元二次方程的解法
大家知道,二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a),这大家要记住,很重要,因为在上面已经说过了,一元二次方程也是二次函数的一部分,所以他也有自己的一个解法,利用他可以求出所有的一元一次方程的解
(1)配方法
利用配方,使方程变为完全平方公式,在用直接开平方法去求出解
(2)分解因式法
提取公因式,套用公式法,和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样,利用这点,把方程化为几个乘积的形式去解
(3)公式法
这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了,方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a,X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a
3)解一元二次方程的步骤:
(1)配方法的步骤:
先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式
(2)分解因式法的步骤:
把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式
(3)公式法
就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a,一次项的系数为b,常数项的系数为c
4)韦达定理
利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和=-b/a,二根之积=c/a
也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理,可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用
5)一元一次方程根的情况
利用根的判别式去了解,根的判别式可在书面上可以写为“△”,读作“diao ta”,而△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:
I当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;
II当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根;
III当△<0时,一元二次方程没有实数根(在这里,学到高中就会知道,这里有2个虚数根)
2、不等式与不等式组
不等式:①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。
不等式的解集:①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式:左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组:①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程,叫做解不等式组。
一元一次不等式的符号方向:
在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,他是随着你加或乘的运算改变。
在不等式中,如果加上同一个数(或加上一个正数),不等式符号不改向;例如:A>B,A+C>B+C
在不等式中,如果减去同一个数(或加上一个负数),不等式符号不改向;例如:A>B,A-C>B-C
在不等式中,如果乘以同一个正数,不等号不改向;例如:A>B,A*C>B*C(C>0)
在不等式中,如果乘以同一个负数,不等号改向;例如:A>B,A*C<B*C(C<0)
如果不等式乘以0,那么不等号改为等号
所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立;
、函数
变量:因变量,自变量。在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴上的点自变量,用竖直方向的数轴上的点表示因变量。
一次函数:①若两个变量X,Y间的关系式可以表示成Y=KX+B(B为常数,K不等于0)的形式,则称Y是X的一次函数。②当B=0时,称Y是X的正比例函数。
一次函数的图象:①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中,当K〈0,B〈O,则经234象限;当K〈0,B〉0时,则经124象限;当K〉0,B〈0时,则经134象限;当K〉0,B〉0时,则经123象限。④当K〉0时,Y的值随X值的增大而增大,当X〈0时,Y的值随X值的增大而减少。
二空间与图形
A、图形的认识
1、点,线,面
点,线,面:①图形是由点,线,面构成的。②面与面相交得线,线与线相交得点。③点动成线,线动成面,面动成体。
展开与折叠:①在棱柱中,任何相邻的两个面的交线叫做棱,侧棱是相邻两个侧面的交线,棱柱的所有侧棱长相等,棱柱的上下底面的形状相同,侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。
截一个几何体:用一个平面去截一个图形,截出的面叫做截面。
视图:主视图,左视图,俯视图。
多边形:他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。
弧、扇形:①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。
2、角
线:①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。
比较长短:①两点之间的所有连线中,线段最短。②两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。角的度量与表示:①角由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分,一分的1/60是一秒。
角的比较:①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角。始边继续旋转,当他又和始边重合时,所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
平行:①同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行,那么这两条直线互相平行。
垂直:①如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂直平分线:垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。
垂直平分线垂直平分的一定是线段,不能是射线或直线,这根据射线和直线可以无限延长有关,再看后面的,垂直平分线是一条直线,所以在画垂直平分线的时候,确定了2点后(关于画法,后面会讲)一定要把线段穿出2点。
垂直平分线定理:
性质定理:在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等;
判定定理:到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上
角平分线:把一个角平分的射线叫该角的角平分线。
定义中有几个要点要注意一下的,就是角的角平分线是一条射线,不是线段也不是直线,很多时,在题目中会出现直线,这是角平分线的对称轴才会用直线的,这也涉及到轨迹的问题,一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点
性质定理:角平分线上的点到该角两边的距离相等
判定定理:到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上
正方形:一组邻边相等的矩形是正方形
性质:正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质
判定:1、对角线相等的菱形2、邻边相等的矩形
四、基本方法
1、配方法
所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法
因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。
5、待定系数法
在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法
在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是、不是;存在、不存在;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个、一个也没有;至少有n个、至多有(n一1)个;至多有一个、至少有两个;唯一、至少有两个。
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。
几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
10、客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有考查目标明确,知识复盖面广,评卷准确迅速,有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点,不同的是填空题未给出答案,可以防止学生猜估答案的情况。
要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、严密的推理外,还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
(1)直接推演法:直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法。
(2)验证法:由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时,常用此法。
(3)特殊元素法:用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去,从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
(4)排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
(5)图解法:借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断,作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
(6)分析法:直接通过对选择题的条件和结论,作详尽的分析、归纳和判断,从而选出正确的结果,称为分析法。
‘陆’ 数学高中典型例题是什么
高考大题;
必做;
1、解三角形、三角函数、数列
三选一。
2、立体几何
3、统计与概率
4、圆锥曲线
5、导数(2/3有可能颠倒顺序)
选做题;1、平面几何
2、极坐标与参数方程
3、不等式
找以上例题做就可以,大题做得差不多了,客观题也差不多。基本上就是多了个线性规划、函数、向量、复数、框图和命题。
‘柒’ 数学课本上的例题..不懂..教我
(1)EFGH是平行四边形
证明:
连接AC
因为AE\EB=AH\HD=CF\FB=CG\GD
所以EF平行于AC
同时HG平行于AC
所以EF平行于HG
并且因为AE\EB=AH\HD=CF\FB=CG\GD比例相等
所以EF=HG
同理可以证明EH平行于FG
并且EH=FG
又因为AE\EB=AH\HD=CF\FB=CG\GD不等于1
所以EF=HG不等于EH=FG
所以四边形EFGH是长方形
(2)
证明EFGH是平行四边形如(1)省略
因为EFGH分别是AB,BC,CD,DA的中点
所以HG=EF=二分之一的AC=二分之一的BD=EH=FG
所以HG=EF=EH=FG
所以EFGH是正方形
‘捌’ 人教版初一数学所有例题
一、
填空(本大题共有15题,每题2分,满分30分)
1、如图:在数轴上与a点的距离等于5的数为
。
2、用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是
,用科学记数法表示302400,应记为
,近似数3.0×
精确到
位。
3、已知圆的周长为50,用含π的代数式表示圆的半径,应是
。
4、铅笔每支m元,小明用10元钱买了n支铅笔后,还剩下
元。
5、当a=-2时,代数式
的值等于
。
6、代数式2x3y2
3x2y-1是
次
项式。
7、如果4amb2与
abn是同类项,那么m
n=
。
8、把多项式3x3y-
xy3
x2y2
y4按字母x的升幂排列是
。
9、如果∣x-2∣=1,那么∣x-1∣=
。
10、计算:(a-1)-(3a2-2a
1)
=
。
11、用计算器计算(保留3个有效数字):
=
。
12、“24点游戏”:用下面这组数凑成24点(每个数只能用一次)。
2,6,7,8.算式
。
13、计算:(-2a)3
=
。
14、计算:(x2
x-1)•(-2x)=
。
15、观察规律并计算:(2
1)(22
1)(24
1)(28
1)=
。(不能用计算器,结果中保留幂的形式)
二、选择(本大题共有4题,每题2分,满分8分)
16、下列说法正确的是…………………………(
)
(a)2不是代数式
(b)
是单项式
(c)
的一次项系数是1
(d)1是单项式
17、下列合并同类项正确的是…………………(
)
(a)2a
3a=5
(b)2a-3a=-a
(c)2a
3b=5ab
(d)3a-2b=ab
18、下面一组按规律排列的数:1,2,4,8,16,……,第2002个数应是(
)
a、
b、
-1
c、
d、以上答案不对
19、如果知道a与b互为相反数,且x与y互为倒数,那么代数式
|a
b|
-
2xy的值为(
)
a.
0
b.-2
c.-1
d.无法确定
三、解答题:(本大题共有4题,每题6分,满分24分)
20、计算:x
5
21、求值:(x
2)(x-2)(x2
4)-(x2-2)2
,其中x=-
22、已知a是最小的正整数,试求下列代数式的值:(每小题4分,共12分)
(1)
(2)
;
(3)由(1)、(2)你有什么发现或想法?
23、已知:a=2x2-x
1,a-2b
=
x-1,求b
‘玖’ 小学数学课本上的习题是指什么
答案是:
习题指的是练习题
希望能帮到你望采纳!
‘拾’ 数学书上的例题有什么用
数学课本上的例题就是让你加深印象的作用。