数学物理方程定解问题怎么求

‘壹’ 【数学物理方程】求解定解问题

这是个微分方程。若你没学过微分方程的解法我 到可以帮你解一下，若已学还是自己动手做一下那样能比较好的掌握一下知识。请留言！！！！！

‘贰’ 数学物理方法题目：求解下列定解问题Ut-a²Uxx=2sin2x/l,0<x<l,t>0

解:特征函数法
设u(x,t)=∑T(t)sin(nπx/l),n=1..∞
代入范定方程及初值条件有
∑[T'(t)+(nπa/l)²T(t)]sin(nπx/l)=2sin(2x/l)
u(x,t)=∑T(0)sin(nπx/l)=0,得T(0)=0
利用函数系{sin(nπx/l)|n=0..n}在(0,l)上的正交性有
T'(t)+(nπa/l)²T(t)=(4/l)∫(0~l)sin(nπx/l)sin(2x/l)dx
=(-1)^n(4nπsin2)/[4-(nπ)²]=q(n)（记）
则T(t)=exp[-(nπa/l)²t]∫(0~t)q(n)exp[(nπa/l)²t]dt
=(l/nπa)²q(n){1-exp[-(nπa/l)²t]}
定解u(x,t)=∑T(t)sin(nπx/l)
=∑(l/nπa)²q(n){1-exp[-(nπa/l)²t]}sin(nπx/l),n=1..∞

‘叁’ 数学物理方法中的定解问题

边界非齐次 齐次化 后 分离变量。。设U(x,t)=V(x,t)+W(x,t)
而 W=Ax+B
【AB为系数 根据 W(0,t)=0与 Wx(l,t)=t】即可有w =tx+0=tx
Wx=t Wxx=0 Wt=x Wtt=0 Vtt=a^2Vxx v(0,t)=0 v(l,t)=0 v(x,0)=0 vt=-x 然后自己看吧

‘肆’ 定解问题及叠加原理

根据数学物理方程的理论（谷超豪等，2002），控制方程、边界条件和初始条件构成地下水流的定解问题或数学模型。其中边界条件和初始条件被合称为控制方程的定解条件。如果水头不随时间变化，则初始条件是不必要的，这样的定解问题为稳定流数学模型；否则为非稳定流数学模型，定解条件中必须有初始条件。如果定解问题有解、且只有一个解、又是稳定的，则该定解问题是适定的，否则是不适定的。地下水流的数学模型必须满足适定性才能求解。

如果地下水流控制方程采用线性偏微分方程，如承压含水层水流方程（1.26），则这种方程满足二阶线性偏微分方程的叠加原理（见附录1）。设H_i是方程

地下水运动方程

的解，而H_j是方程

地下水运动方程

的解。令

地下水运动方程

其中a_i，a_j为常数。则H（x，y，t）必然是以下方程

地下水运动方程

的解。

特别的，如果H₀是以下齐次方程

地下水运动方程

的解，则

地下水运动方程

也是方程（1.39）的解。

这种叠加原理意味着：如果源汇项可以分解为各项的线性组合，即

地下水运动方程

则水头的结果也可以表示为各个解的线性组合：

地下水运动方程

其中每个H_i（x，y，t）都满足形如式（1.36）的方程。

但是，当叠加原理用于定解问题时，定解条件也必须具有同样的可叠加性。如果定解条件和控制方程同时是非齐次的，使用叠加原理往往比较困难。

‘伍’ 数学物理方程：傅立叶变换求定解问题