如何判断两个物理量是否线性相关

A. 怎么判断两个量之间是否具有线性相关关系

回归分析里，进行模型拟合，比较数据对哪个模型拟合的好，如果对线性拟合的好，就说明线性相关。
具体可以看辛涛的
《回归分析与实验设计》

B. 怎么判断是线性相关，还是线性无关，要完整的

1、显式向量组：

将向量按列向量构造矩阵A，对A实施初等行变换，将A化成梯矩阵，梯矩阵的非零行数即向量组的秩。

向量组线性相关 <=> 向量组的秩 < 向量组所含向量的个数

2、隐式向量组：

一般是设向量组的一个线性组合等于0，若能推出其组合系数只能全是0，则向量组线性无关，否则线性相关。

(2)如何判断两个物理量是否线性相关扩展阅读：

线性相关增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

常数对是否构成直线关系没影响（假定常数不为0）如：x=k*y+l*z+a（k，l是常数，y，z是变量，a是常数）那么x与y，z还是线性的，因为项：k*y是一次的，l*z这项也是一次的，常数项a没影响。

如：x=7*y+8*z是线性的，x=－y－2*z是线性的。x=2*y*z是非线性的（因为2yz这一项不是一次的）。

从二维图像来讲（假定只有y跟x这两个变量），线性的方程一定是直线的，曲的不行，有转折的也不行。

C. 怎样判断向量组是线性相关还是线性无关

判断：若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。

线性是从相互关联的两个角度来界定的：

（1）叠加原理成立；

（2）物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：

1、“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足。

2、对（aφ ，bψ）的*做，等于分别对φ*和ψ*做外，再加上对φ与ψ的交叉项（耦合项）的*做，或者φ、ψ是不连续（有突变或断裂）、不可微（有折点）的。

将向量按列向量构造矩阵A。对A实施初等行变换, 将A化成梯矩阵。梯矩阵的非零行数即向量组的秩。向量组线性相关 <=> 向量组的秩 < 向量组所含向量的个数。

(3)如何判断两个物理量是否线性相关扩展阅读：

函数线性相关的定理：

1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

D. 怎样简单的判断线性相关和线性无关

一、 定义与例子 :定义 9.1 对向量组 ，如果存在一组不全为零的数 , 使得 那么, 称向量组 线性相关. 如果这样的 个数不存在, 即上述向量等式仅当 时才能成立, 就称向量组 线性无关. 含零向量的向量组 一定线性相关 , 因为 其中, 不全为零. 只有一个向量 组成的向量组线性无关的充分必要条件是 , 线性相关的充分必要条件是 . 考虑齐次线性方程组 (*) 它可以写成 ， 或 , 其中 . 由此可见, 向量组 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 有非零解. 也就是说, 向量组 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 只有零解. 例1 向量组 是线性无关的 . 解: 设有 使 , 即 , 得齐次线性方程组 . 解此方程组得 , 所以向量组 线性无关. 例2 设向量组 线性无关, 又设 , 证明向量组 也线性无关. 证明: 设有 使 , 即 , 因为 线性无关, 故有 此线性方程组只有零解 , 也即向量组 线性无关. 定理 9.1 向量组 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余 个向量线性表示 . 证明: 必要性 设 线性相关, 即存在一组不全为零的数 , 使得 . 不妨设 , 则有 , 即 可以由其余 个向量 线性表示. 其实, 在向量等式 中, 任何一个系数 的向量 都可以由其余 个向量线性表示 . 充分性 设向量组 中有一个向量能由其余 个向量线性表示 . 不妨设 , 则 , 因为 不全为零, 所以 线性相关. 二、向量组线性相关和线性无关判别定理 :设矩阵 的列向量组为 , 矩阵 的列向量组为 ,其中矩阵 是通过对矩阵 做行初等变换后得到的.我们有以下定理: 定理 9.2 向量组 与向量组 有相同的线性相关性. 证明 :记 .那么,当且仅当齐次线性方程组 有非零解时向量组 线性相关.当且仅当齐次线性方程组 有非零解时向量组 线性相关.由于齐次线性方程组 或者只是对调了 的第 个方程与第 个方程的位置,或者只是用非零数 承 的第 个方程,或者只是把 的第 个方程的 倍加到第 个方程上去,这连个方程组一定是同解的,所以,对应的向量组 有相同的线性相关性. 定理 9.3 如果向量组 线性相关,那么 也线性相关. 证明 :向量组 线性相关,即存在不全为零的数 使 , 于是 , 但是 , 仍不全为零,因此,向量组 线性相关. 推论 9.4 线性无关向量组的任意一个非空部分组仍是线性无关向量组. 定理 9.5 设有 维向量组 与 维向量组 如果向量组 线性无关,那么,向量组 也线性无关. 推论 9.6 维向量组的每一个向量添加 个分量成为 维向量.如果 维向量组线性无关,那么, 维向量组也线性无关.反言之,如果 维向量组线性相关,那么, 维向量组也线性相关. 定义 9.2 在 型的矩阵 中,任取 行 列 ,位于这些行列交叉处的 个元素,不改变它们在 中所处的位置次序而得的 阶矩阵行列式,称为矩阵 的 阶子式. 型矩阵 的 阶子式共有 个. 定理 9.7 设 维向量组 构成矩阵 则向量组 线性无关的充分必要条件是矩阵 中存在一个不等于零的 阶子式. 推论 9.8 个 维向量组线性无关的充分必要条件是它们所构成的 阶矩阵的行列式不等于零. 推论 9.9 当 时, 个 维向量 必线性相关. 思考题：1、 举例说明下列各命题是错误的 (1) 若向量组 线性无关，则 可由 线性表示; (2) 若有不全为零的数 使 则 线性相关, 也线性相关; (3) 若只有当 全为零时, 等式 才能成立 线性无关, 也线性无关; (4) 若 线性相关, 也线性相关, 则有不全为零的数 , 使 同时成立. 2、 判断下列向量组是否线性相关 : (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 3． 设向量组 线性无关, 讨论向量组 的线性相关性 . 4、 设向量组 线性无关, 线性相关, 则 必可由向量组 线性表示. 5 、选择题 (1) 维向量组 线性无关的充分必要条件是 A. 存在一组不全为零的数 , 使 ; B. 中任意两个向量都线性无关 ; C. 中存在一个向量 , 它不能由其他向量线性表示 ; D. 中任意一个向量都不能被其他向量线性表示 . (2) 已知向量组 线性无关, 则向量组 A. 也线性无关; B. 也线性无关; C. 也线性无关; D. 也线性无关. (3) 设有任意两个 维向量组 与 . 如果存在两组不全为零的数 与 使 则 A. 与 . 线性相关; B. 与 . 线性无关; C. 线性无关; D. 线性相关.

E. 如何判断向量组是否线性相关

判断向量组线性相关性的方法:写成矩阵形式,然后通过行变换,化为行最简形,得到矩阵的秩；得出矩阵的秩,用来和向量个数比较；因为向量组组成的矩阵的秩小于向量个数,所以得出。
在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearlyindependent)，反之称为线性相关(linearlydependent)。
例如在三维欧几里得空间R3的三个矢量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)线性无关。但(2,_1,1)，(1,0,1)和(3,_1,2)线性相关，因为第三个是前两个的和。向量a1,a2,···,an(n_2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。
两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。空间中任意四个向量总是线性相关。