固体物理晶面方程怎么得出

❶ 晶带方程的应用

根据晶带方程，可以方便地解决晶体计算中的诸多问题，下面是几个最基本的实例。

实例一已知两个晶面，求包含此二晶面之晶带的符号。

设两个已知晶面(h₁k₁l₁)和(h₂k₂l₂)是属于［uvw］晶带的两个互不平行的晶面，则有

结晶学导论

(4.16)式可证明如下。根据(4.14)式，此时应有

结晶学导论

以l₂乘(4.17)式，l₁乘(4.18)式，然后使两式相减，则得

结晶学导论

类似地还可得出

结晶学导论

将(4.19)式及(4.20)式合并写成连比的形式，即为(4.16)式所表示的结果。

(4.16)式也可改用行列式的形式表达写为:

结晶学导论

由此可知，假如把两个已知晶面的指数各自依次写两遍，并对应地排成上下两行，然后将左右两边的两列指数去掉不要，使剩下的指数自左起交叉相乘，并依次取每两个乘积之差，即可得出(4.16)式等号右边的结果:

结晶学导论

如果将上下两行互换位置，则所得出结果的绝对值不变而正负号全部相反。但已经知道，［uvw］与 所代表的就是同一根晶棱，故两者并无差异。

例如欲求包含(110)和 二晶面的该晶带之符号，根据(4.22)式可得出:

结晶学导论

实例二求同时属于某两个已知晶带的该晶面之晶面符号。

设某一(hkl)晶面同时属于已知的［u₁v₁w₁］和［u₂v₂w₂］两个晶带，则有

结晶学导论

对(4.23)式的证明与对(4.16)式的证明完全类似。同时，也可将(4.23)式作出与(4.22)式完全相似的处理，亦即有

结晶学导论

如果将上下两行互换位置时，所得出的结果绝对值不变而正负号全部相反。所以，同时属于某两个晶带的晶面，实际上不是一个而是一对，但两者必定相互平行。

例如，欲求同时属于［102］和 两个晶带的晶面之符号，根据(4.24)式可得:

结晶学导论

故该晶面之符号为 。如将式中的两行系数互换上下位置，则得出的结果将变为 ，它与 是一对相互平行的晶面，两者均同时属于［102］和 两个晶带。

实例三判断某一已知晶面是否属于某个已知的晶带。

例如，已知 晶带，现要求确定晶面(021)及(130)是否属于此晶带。由(4.14)式可知，属于 晶带的任一晶面(hkl)，都必须满足

h-k+2l=0

由此不难作出判断，(021)晶面属于 晶带;但(130)晶面则不是。

实例四由四个互不平行的已知晶面(其中任意三个晶面均不属于同一晶带)或四个已知晶带(其中任意三个晶带轴均不在同一平面内)，求出晶体上一切可能的晶面与晶带(即晶棱)。

这一应用实际上只是实例一和实例二两项应用的多次反复交替所导致的结果。

本节中以上叙述的所有关系式，对于按布拉维四轴定向的三方和六方晶系晶体也都适用。但在具体运算过程中，应将晶面符号中对应于d轴的那个指数i暂时略去，而在最后结果中则可根据(4.9)式的关系再补上对应于d轴的该晶面指数;晶带符号则必须采用始终撇开d轴、只由三个系数组成的三轴布拉维定向的晶棱符号。

❷ 另一个固体物理题,有兴趣的请进画出简单立方中的[213]晶向和（213）晶面

把简单立方想象成一个单位正方体,八个顶点有8个原子.（213）晶面等价于（1/3,1/6,1/2）,就相当于在x上取1/3,在y上取1/6,在z上去1/2,把这三个点连起来就得到晶面.晶向何晶面垂直.

❸ 简单立方晶体(108)晶面

524524434

❹ （100）晶面法线方程怎么求解

（100）晶面的的法线很简答啊，R=a+0+0,即{100}

❺ 固体物理难点

周期结构的物理量是相同的（如静电势能）。其函数可以写作

是以 , , 为周期的三维周期函数。为了将其展开成傅里叶级数，可以引入倒格子。
引入基本矢量

其矢量方向垂直于晶面。

根据倒格子基矢，可以构建倒格子“格点”。格点构成倒格子空间

与波矢K有相同的量纲，属同一“空间”。
满足

因此原胞内一点 （ ）晶格的周期函数为 ；用傅里叶级数展开为： 为整数
其逆变换为：

可得： ，将其带入

进而得到：

而之前有定义 ，代入得到

其逆变换为：

用 代入，可得：

因此， 是 在到空间的“映像和表述”，他们之间满足傅里叶变换的关系。

倒格子体积：

由于
令
可得
最终得到：
根据空间的维度n，乘以

晶面 与最短倒格矢 正交

晶面族 中最靠近原点的晶面ABC在基矢 , , 上的截距为 ， ， ，只需证明 与ABC中两边垂直即可；其中， ， ；如果 并且 。
因为 ，因此满足条件。

因为倒格子矢量 为晶面的法线方向。
晶面族面间距

定义：在倒易格子中取某一倒易阵点为原点，作所有倒格矢的垂直平分面，倒易格子被这些面划分为一系列的区域，这些区域就是布里渊区。其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由另一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。各布里渊区体积相等，都等于倒易格子的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布拉格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上（即倒格矢的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒格矢的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。

第一布里渊区就是倒格子的维格纳-塞茨原胞，如果对每一倒格子作此元胞，它们会毫无缝隙的填满整个波矢空间。由于完整晶体中运动的电子、声子、磁振子、……等元激发的能量和状态都是倒格子的周期函数，因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态，并确定它们的能量（频率）和波矢关系。

第一布里渊区又称约化布里渊区或简约布里渊区，在文献中不加定语的布里渊区指的往往就是它。简约布里渊区中的一个波矢可能对应有几个不同的能量状态。该区域内的波矢即称为简约波矢。简约布里渊区的形状因晶体结构而异；实际上可由晶格的倒格子的Wigner-Seitz原胞给出。

布拉格反射公式
劳厄方程：Bragg方程给出了格点上的点电荷散射波相干的条件，是点阵周期性导致
的结果，但是只能给出衍射加强的条件，不能给出衍射强度的分布。当一束光子入射到晶体上，由于受核外电子的散射，将从一个光子态跃迁到另一个光子态。假设散射势正比于晶体中电子密度， 。根据微扰论，出态和末态之间的跃迁矩阵元为

已知光子的平面波态
得到
X射线的散射振幅正比于跃迁几率，因此 方向散射波振幅可写为：
从经典衍射理论来看， 给出了入射波和出射波的位相差,而 是相因子。因此，波振幅 还可以看做 方向上散射波的总振幅比例于电子密度及其相因子的乘积在整个晶体体积内的积分。

若整个空间内只有一个电子（点电荷） ，则

因此，比例系数 相当于一个电子的散射振幅。

拓展——因为晶体中电子密度分布具有晶格周期性 ,可以将电子密度函数作傅里叶展开：

代入 得到：
又因：
可得散射波振幅：
其意义为—— 为散射波矢。当其等于倒格矢 时，指数的幅角为零 。当散射波矢不等于倒格矢时， 小到可以忽略。

结论——仅当波矢满足 时，可以观察到衍射束。
意义——实质上是光子在周期结构中传播时，动量守恒的体现，光子将动量转移给了晶体，由于晶体质量太大，以至观察不到晶体的平动。

而 ， ， 。可得到 即 即

因此，一个由倒格矢 确定的劳厄衍射峰对应于一族正点阵平面的一个布拉格反射，该晶面垂直于 ，布拉格反射的级数是n,即 与该方向上最短倒格矢 的长度之比。一组晶面的面间距是一定的，所以高级衍射实际上是同一族晶面不同角度的衍射，其衍射角大于一级衍射角。在晶体衍射中，通常把 对应的指数 称为衍射面指数，而在晶面密勒指数中，公因子n已消去。

由劳厄定理可知， X射线衍射强度决定于电子密度函数的傅立叶变换分量

如已知 ，则可得到

假设每一个正点阵的格点上有一个电子
[图片上传中...(-270a1f-1623138298771-0)]

则散射波振幅

当满足劳厄条件 时，散射波振幅为所有电子散射波振幅之和，其散射光强度为

N为总格点（原胞）数，令 ，有
利用
——称为原子散射（形状）因子

此时散射波振幅

所以原子散射因子实际上是原子内所有电子的散射幅与一个电子的散射幅之比。

给出一个特殊情况，如果电子密度函数是球面对称的，则上式可以简化，将自变量由 改为 ，为此引入径向分布函数：
表示电子在半径为r 到r + dr 的球壳内的几率，
如果取 为极轴,则：

由此可见，原子散射因子和散射波矢 有关，在 的特殊情况下，
——等于原子中电子的数目。进而，由于原子内电子数目和分布不同， 不同原子的原子散射因子不同， 同时与散射波矢有关。

得到新函数 ——称为原胞几何结构因子(对原胞中所有原子求和)
——被称为原子散射（形状）因子

将 代入散射波振幅，得到

式中

因此原胞几何结构因子

根据散射波振幅

讨论即使在满足劳厄方程 时，如果原胞几何结构因子 ，也可能导致散射幅为零，称衍射消光。
即

❻ 晶面间距的计算公式

晶面间距计算公式：

正交晶系：1/d=h/a+k/b+l/c

单斜晶系：1/d2={h2/a2+k2sin 2β/b2+l2/c2－2hlcos β/(ac)}/ sin2β 2立方晶系

d=a/(h+k+l) 222

空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位。

空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。

(6)固体物理晶面方程怎么得出扩展阅读：

不同的{hkl}晶面，其面间距(即相邻的两个平行晶面之间的距离)各不相同。总的来说，低指数的晶面其面间距较大，而高指数面的面间距小。

晶面指数是固体物理中以初基晶胞（原胞）为坐标轴确定的指数，而密勒指数是以结晶学中的单胞晶轴为基确定的指数。但不管是哪种指数，必须使其三个指数互质。

在sc结构中，两组参数是一样的，但对于fcc和bcc结构则大不相同。按d=2π/∣G〡确定晶面间距的公式只适用于晶面指数。

晶面间距最大的面总是阵点(或原子)最密排的晶面，晶面间距越小则晶面上的阵点排列就越稀疏。正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现为各向异性。

❼ 固体物理高手请进

只有8种独立的对称操作，就你上面写的
(h1 h2 h3) (hkl)只是用的单位长度不一样(hkl)是以abc为单位元，(h1 h2 h3)是以1为三轴单位元

❽ 晶面指数 (1, -1,0)如何理解呢 c坐标的知道为0，a，b坐标轴的不理解 谢谢您的解答，我看的固体物理的书

这是密勒指数, 是一种用来确定晶面的指数.

确定一个晶面的密勒指数(h k l)的步骤：

1. 确定该晶面在晶胞坐标轴上的截距(依序为x, y, z轴);

2. 取这些值的倒数;

3. 将这些倒数化作最简整数比, 所得的一组数即为密勒指数.

以你图中的.

此外，不同括号中的密勒指数具有不同的含义, 例如:

(100)表示唯一的确定平面(100)，即该晶胞/立方体的正面;

{100}表示所有和(100)晶体学上的等价平面，即该立方体个6个表面.

[窍门]: 密勒指数在意义上标识的是晶体中的晶面，但从数学角度看，这个指数恰好等于该晶面的法向量.