定积分在几何和物理中的应用有哪些

A. 高数定积分物理应用涉及哪些公式

如下图：

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

B. 定积分在物理学上的应用

§6-3
定积分在物理学中的应用
（一）引言
定积分的应用十分广泛，自然科学、工程技术中的许多问题都可以使用定积分来求解。下面我们来讨论一些物理方面的实例，旨在加强我们运用微元法解决一些物理学中的一些实际问题。
问题一
变力作功
由物理学可知，在常力f的作用下，物体沿力的方向作直线运动，当物体移动一段距离s时，力f所作的功为
但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的，这就是我们下面要讨论的变力作功问题。
【例1】把一个带
电量的点电荷放在
轴上坐标原点
处，它产生一个电场.这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点
为
的地方，那么电场对它的作用力的大小为
（
为常数）
当这个单位正电荷在电场中从
处沿
轴移动到
处时，计算电场力
对它所作的力。
解：（1）取积分变量为
，积分区间为
；
（2）在区间
上任取一小区间
，与它相应的电场力
所作的功近似于把
作为常力所作的功，从而得到功微元
=
；
（3）所求的电场力
所作的功为
通过复习已经掌握的有关力学方面的概念和微元法，并对变力作功问题进行分析，将变力作功的过程进行无限细分为若干个子过程，把每一个子过程近似看作常力作功，从而求出功微元。
通过学习使学生能够用微元法，分析解决实际问题和灵活运用这一数学模型。
主
要
内
容
教
学
设
计
=
=
=
一般地，若变力
将某一物体沿力的方向从
移到
处，则变力
所作的功为
.
（6-6）
下面再举一个计算功的例子，它虽不是一个变力作功问题，但它通过定积分的微元法，先求功微元，再求定积分，并给出了一个解决此类问题的数学模型。
注意1：本方法的实质就是将变力的作功过程进行无限细分为若干个子过程，再将分割的每一子过程的变力作功近似看成常力作功问题来求解，并取任意一子过程变力所作的功为所求的功微元。
【例2】修建一座大桥的桥墩时先要下围囹，并抽尽其中的水以便施工，已知半径是10米的圆柱形围囹上沿高出水面2米，河水深18米，问抽尽围囹内的水作多少功？
解：以围囹上沿的圆心为原点，向下的方向为
轴的正向，建立坐标系.
（1）
取水深
为积分变量，它的变化区间为
；
（2）
相应于
上任一小区间
的一薄层水的高度为
，
水的密度为
牛顿/米
3
，这薄层水的重力为
（其中
是薄水的底面积）.把这薄层水抽出围囹外时，需要提升的距离近似为
，因此需作的功近似为
（3）
即所求功微元。在
上求定积分，就得到所求的功为
=
（焦耳）
注意2：为什么该问题的定积分积分区间取作[2，20]，而不取作[0，20]？