A. 物理中自由度怎么理解
物理中自由度怎么理解
自由度是系统约束流形的切空间的维度；在通常的有穷维流形上，切空间和流形维度相同。
哈密顿和拉格朗日力学中，研究对象是受到约束的物体的运动。我这里把情况简化到刚体或质点受到完备的（holonomic）约束。
所谓完备约束，就是说系统中所有质点的位置满足如下形式的方程组F(x1,x2,...xm)=0, 其中x们是质点在R^3中的位置。F是一个映射到R^n的光滑函数,且dF在任何开集上不为0。于是，系统中的对象在约束下的所有可能位置就是一个3m-n维的流形。比如单摆的可能位置是一个球壳（2维流形）；过山车的可能位置是它的轨道（1维流形）；宇宙中的一个石块（不是质点）的可能位置是它的重心位置和它的欧拉角指向（6维流形），位置是个R^3，指向是个SO3（欧拉角是SO3的一种表示方法）。流形就是光滑曲面/线/体的严格说法。
所谓描述一个n维系统中质点的位置，就是用R^n去光滑的参数化这个系统。比如经纬度参数化地球表面一个运动的质点。
流形的切空间就是对象处于某位置时，所有可能的速度。尽管流形，即对象的所有可能位置，不一定是平的；对象在某点的速度却一定是个R^n中的向量，也就是说切空间一定是平的。宇宙中的石块在某一点，可能有线速度和角速度，都是3维向量，我们就说它的切空间（速度的空间）是6维向量空间。单摆的轨迹是曲线，可是某一点处，它的速度一定是圆的某条切线，是个平坦的空间。
所谓自由度就是切空间，或者说速度空间的维度，通常也是流形的维度。
这里只是很潦草的解释，具体可以参照
B. 什么是自由释放
就是只受重力，初速度为0